En matemáticas , las funciones de Liouvillian comprenden un conjunto de funciones que incluyen las funciones elementales y sus integrales repetidas . Las funciones de Liouvillian se pueden definir recursivamente como integrales de otras funciones de Liouvillian.
Más explícitamente, una función de Liouvillian es una función de una variable que es la composición de un número finito de operaciones aritméticas (+, −, ×, ÷) , exponenciales , constantes , soluciones de ecuaciones algebraicas (una generalización de n -ésimas raíces ), y antiderivadas . No es necesario incluir explícitamente la función logaritmo ya que es la integral de .
De la definición se deduce directamente que el conjunto de funciones de Liouvillian está cerrado bajo operaciones aritméticas, composición e integración. También está cerrado bajo diferenciación . No está cerrado bajo límites y sumas infinitas . [ ejemplo necesario ]
Las funciones de Liouvillian fueron introducidas por Joseph Liouville en una serie de artículos de 1833 a 1841.
Todas las funciones elementales son liouvillianas.
Ejemplos de funciones bien conocidas que son liouvillianas pero no elementales son las antiderivadas no elementales , por ejemplo:
Todas las funciones de Liouvillian son soluciones de ecuaciones diferenciales algebraicas , pero no a la inversa. Ejemplos de funciones que son soluciones de ecuaciones diferenciales algebraicas pero no de Liouvillian incluyen: [1]
Ejemplos de funciones que no son soluciones de ecuaciones diferenciales algebraicas y, por tanto, no liouvillenas incluyen todas las funciones trascendentalmente trascendentales , como:
