La función lambda de Liouville , denotada por λ( n ) y nombrada en honor a Joseph Liouville , es una función aritmética importante . Su valor es +1 si n es producto de un número par de números primos , y −1 si es producto de un número impar de primos.
Explícitamente, el teorema fundamental de la aritmética establece que cualquier entero positivo n puede representarse únicamente como un producto de potencias de números primos: n = p 1 a 1 ⋯ p k a k , donde p 1 < p 2 < ... < p k son números primos y los aj son números enteros positivos. ( 1 está dado por el producto vacío). Las funciones omega primas cuentan el número de primos, con ( Ω ) o sin ( ω ) multiplicidad:
λ( n ) está definida por la fórmula
(secuencia A008836 en la OEIS ).
λ es completamente multiplicativo ya que Ω( n ) es completamente aditivo , es decir: Ω( ab ) = Ω( a ) + Ω( b ) . Como 1 no tiene factores primos, Ω(1) = 0 , entonces λ(1) = 1 .
Está relacionado con la función de Möbius μ( n ) . Escriba n como n = a 2 b , donde b no tiene cuadrados , es decir, ω( b ) = Ω( b ) . Entonces
La inversa de Dirichlet de la función de Liouville es el valor absoluto de la función de Möbius, λ –1 ( n ) = |μ( n )| = μ 2 ( n ) , la función característica de los enteros libres de cuadrados. También tenemos que λ( n ) = μ 2 ( n ) .
el problema pregunta si para n > 1. La respuesta resulta ser no. El contraejemplo más pequeño es n = 906150257, encontrado por Minoru Tanaka en 1980. Desde entonces se ha demostrado que L ( n ) > 0,0618672 √ n para una infinidad de enteros positivos n , [1] aunque también se puede mostrar mediante el mismo métodos que L ( n ) < -1.3892783 √ n para infinitos enteros positivos n . [2]
Para cualquier , asumiendo la hipótesis de Riemann, tenemos que la función sumatoria está acotada por
donde es una constante límite absoluta. [2]
Definir la suma relacionada
Durante algún tiempo estuvo abierto si T ( n ) ≥ 0 para n ≥ n 0 suficientemente grande (esta conjetura se atribuye ocasionalmente, aunque incorrectamente, a Pál Turán ). Esto fue luego refutado por Haselgrove (1958), quien demostró que T ( n ) toma valores negativos con una frecuencia infinita. Una confirmación de esta conjetura de positividad habría llevado a una prueba de la hipótesis de Riemann , como demostró Pál Turán .
Generalizaciones
De manera más general, podemos considerar las funciones sumatorias ponderadas sobre la función de Liouville definida para cualquiera de la siguiente manera para enteros positivos x donde (como arriba) tenemos los casos especiales y [2]
Estas funciones sumatorias ponderadas están relacionadas con la función de Mertens , o funciones sumatorias ponderadas de la función de Moebius . De hecho, tenemos que la llamada función no ponderada u ordinaria corresponde precisamente a la suma
Además, estas funciones satisfacen relaciones asintóticas limitantes similares. [2] Por ejemplo, siempre que , vemos que existe una constante absoluta tal que
que luego se puede invertir mediante la transformada inversa para mostrar que para , y
donde podemos tomar , y con los términos restantes definidos tal que y como .
En particular, si asumimos que la hipótesis de Riemann (RH) es verdadera y que todos los ceros no triviales, denotados por , de la función zeta de Riemann son simples , entonces para cualquiera y existe una secuencia infinita de la cual satisface que para todo v tal que
donde para cualquier cada vez más pequeño definimos
y donde el término restante
que por supuesto tiende a 0 como . Estas expansiones exactas de fórmulas analíticas nuevamente comparten propiedades similares a las correspondientes a los casos ponderados de la función de Mertens . Además, tenemos otra similitud en la forma de to , ya que el término principal dominante en las fórmulas anteriores predice un sesgo negativo en los valores de estas funciones sobre los números naturales positivos x .
Referencias
^ Borwein, P.; Ferguson, R.; Mossinghoff, MJ (2008). "Cambios de signos en las sumas de la función de Liouville". Matemáticas de la Computación . 77 (263): 1681-1694. doi : 10.1090/S0025-5718-08-02036-X .
^ abcd Humphries, Peter (2013). "La distribución de sumas ponderadas de la función de Liouville y la conjetura de Pólya". Revista de teoría de números . 133 (2): 545–582. arXiv : 1108.1524 . doi : 10.1016/j.jnt.2012.08.011 .
Pólya, G. (1919). "Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 28 : 31–40.
Haselgrove, C. Brian (1958). "Una refutación de una conjetura de Pólya". Matemática . 5 (2): 141-145. doi :10.1112/S0025579300001480. ISSN 0025-5793. SEÑOR 0104638. Zbl 0085.27102.
Lehman, R. (1960). "Sobre la función de Liouville". Matemáticas de la Computación . 14 (72): 311–320. doi : 10.1090/S0025-5718-1960-0120198-5 . SEÑOR 0120198.
Tanaka, Minoru (1980). "Una investigación numérica sobre la suma acumulada de la función de Liouville". Revista de Matemáticas de Tokio . 3 (1): 187–189. doi : 10.3836/tjm/1270216093 . SEÑOR 0584557.