En matemáticas , el teorema de Wilkie es un resultado de Alex Wilkie sobre la teoría de campos ordenados con una función exponencial , o de manera equivalente sobre la naturaleza geométrica de las variedades exponenciales.
En términos de teoría de modelos , el teorema de Wilkie trata del lenguaje L exp = (+, −, ·, <, 0, 1, e x ), el lenguaje de anillos ordenados con una función exponencial e x . Supongamos que φ ( x 1 , ..., x m ) es una fórmula en este lenguaje. Entonces el teorema de Wilkie establece que existe un número entero n ≥ m y polinomios f 1 , ..., f r ∈ Z [ x 1 , ..., x n , e x 1 , ..., e x n ] tales que φ ( x 1 , ..., x m ) es equivalente a la fórmula existencial
Por lo tanto, si bien esta teoría no tiene una eliminación total de cuantificadores , las fórmulas se pueden expresar en una forma particularmente simple. Este resultado prueba que la teoría de la estructura R exp , es decir el campo ordenado real con la función exponencial , es modelo completo . [1]
En términos de geometría analítica , el teorema establece que cualquier conjunto definible en el lenguaje anterior (en particular el complemento de una variedad exponencial) es de hecho una proyección de una variedad exponencial. Una variedad exponencial sobre un campo K es el conjunto de puntos en K n donde una colección finita de polinomios exponenciales desaparece simultáneamente. El teorema de Wilkie establece que si tenemos cualquier conjunto definible en una estructura L exp K = ( K , +, −, ·, 0, 1, e x ), digamos X ⊂ K m , entonces habrá una variedad exponencial en algún conjunto superior dimensión K n tal que la proyección de esta variedad hacia abajo sobre K m será precisamente X .
El resultado puede considerarse como una variación del teorema de Gabrielov. Este teorema anterior de Andrei Gabrielov trataba sobre conjuntos subanalíticos , o el lenguaje L an de anillos ordenados con un símbolo de función para cada función analítica adecuada en R m restringido al cubo unitario cerrado [0, 1] m . El teorema de Gabrielov establece que cualquier fórmula en este idioma equivale a una existencial, como se indicó anteriormente. [2] Por tanto, la teoría del campo ordenado real con funciones analíticas restringidas es un modelo completo.
El teorema de Gabrielov se aplica al campo real con todas las funciones analíticas restringidas unidas, mientras que el teorema de Wilkie elimina la necesidad de restringir la función, pero solo permite agregar la función exponencial. Como resultado intermedio, Wilkie preguntó cuándo podría definirse el complemento de un conjunto subanalítico utilizando las mismas funciones analíticas que describían el conjunto original. Resulta que las funciones requeridas son las funciones de Pfaff . [1] En particular, la teoría del campo ordenado real con funciones Pfaffianas restringidas y totalmente definidas es un modelo completo. [3] El enfoque de Wilkie para este último resultado es algo diferente de su prueba del teorema de Wilkie, y el resultado que le permitió demostrar que la estructura de Pfaff es un modelo completo se conoce a veces como teorema del complemento de Wilkie. Ver también. [4]
