Una función con valores de conjunto (o correspondencia ) es una función matemática que asigna elementos de un conjunto, el dominio de la función , a subconjuntos de otro conjunto. Las funciones con valores establecidos se utilizan en una variedad de campos matemáticos, incluida la optimización , la teoría de control y la teoría de juegos .
Las funciones con valores establecidos también se conocen como funciones multivaluadas en algunas referencias, [1] pero en este documento y en muchas otras referencias en análisis matemático , una función multivaluada es una función f con valores establecidos que tiene una propiedad de continuidad adicional , a saber, que la elección de un elemento en el conjunto define un elemento correspondiente en cada conjunto para y cerca de x y, por lo tanto, define localmente una función ordinaria.
El argmax de una función es, en general, multivalor. Por ejemplo, .
El análisis de conjuntos valorados es el estudio de conjuntos en el espíritu del análisis matemático y la topología general .
En lugar de considerar colecciones de solo puntos, el análisis de valores de conjuntos considera colecciones de conjuntos. Si una colección de conjuntos está dotada de una topología, o hereda una topología apropiada de un espacio topológico subyacente, entonces se puede estudiar la convergencia de conjuntos.
Gran parte del análisis de conjuntos de valores surgió a través del estudio de la economía matemática y el control óptimo , en parte como una generalización del análisis convexo ; El término " análisis variacional " lo utilizan autores como R. Tyrrell Rockafellar y Roger JB Wets , Jonathan Borwein y Adrian Lewis , y Boris Mordukhovich . En la teoría de la optimización, la convergencia de la aproximación de subdiferenciales a un subdiferencial es importante para comprender las condiciones necesarias o suficientes para cualquier punto minimizador.
Existen extensiones con valores conjuntos de los siguientes conceptos del análisis con valores puntuales: continuidad , diferenciación , integración , [2] teorema de función implícita , mapeos de contracción , teoría de la medida , teoremas de punto fijo , [3] optimización y teoría de grados topológicos . En particular, las ecuaciones se generalizan a inclusiones , mientras que las ecuaciones diferenciales se generalizan a inclusiones diferenciales .
Se pueden distinguir múltiples conceptos que generalizan la continuidad , como la propiedad del grafo cerrado y la hemicontinuidad superior e inferior [a] . También existen varias generalizaciones de medida para multifunción.
Las funciones con valores conjuntos surgen en la teoría del control óptimo , especialmente las inclusiones diferenciales y temas relacionados como la teoría de juegos , donde el teorema del punto fijo de Kakutani para funciones con valores conjuntos se ha aplicado para demostrar la existencia de equilibrios de Nash . Esta, entre muchas otras propiedades vagamente asociadas con la aproximación de las multifunción hemicontinuas superiores a través de funciones continuas, explica por qué se prefiere más la hemicontinuidad superior que la hemicontinuidad inferior.
Sin embargo, las multifunción semicontinuas inferiores suelen poseer selecciones continuas como se indica en el teorema de selección de Michael , que proporciona otra caracterización de los espacios paracompactos . [4] [5] Otros teoremas de selección, como la selección continua direccional de Bressan-Colombo, el teorema de selección medible de Kuratowski y Ryll-Nardzewski , la selección medible de Aumann y la selección de Fryszkowski para mapas descomponibles son importantes en el control óptimo y la teoría de inclusiones diferenciales .
