En matemáticas , el formalismo resolutivo es una técnica para aplicar conceptos del análisis complejo al estudio del espectro de operadores en espacios de Banach y espacios más generales. La justificación formal de las manipulaciones se puede encontrar en el marco del cálculo funcional holomorfo .
El resolutivo captura las propiedades espectrales de un operador en la estructura analítica del funcional . Dado un operador A , el resolutivo puede definirse como
Entre otros usos, el solvente se puede utilizar para resolver las ecuaciones integrales de Fredholm no homogéneas ; un enfoque comúnmente utilizado es una solución en serie, la serie de Liouville-Neumann .
El solvente de A se puede utilizar para obtener directamente información sobre la descomposición espectral de A. Por ejemplo, supongamos que λ es un valor propio aislado en el espectro de A. Es decir, supongamos que existe una curva cerrada simple en el plano complejo que separa λ del resto del espectro de A. Entonces el residuo
define un operador de proyección en el espacio propio λ de A . El teorema de Hille-Yosida relaciona el resolutivo mediante una transformada de Laplace con una integral sobre el grupo de transformaciones de un parámetro generado por A. [1] Así, por ejemplo, si A es una matriz sesgada-hermitiana , entonces U ( t ) = exp( tA ) es un grupo de operadores unitarios de un parámetro. Siempre , el resolutivo de A en z se puede expresar como la transformada de Laplace
donde la integral se toma a lo largo del rayo . [2]
El primer uso importante del operador resolutivo como serie en A (cf. serie de Liouville-Neumann ) fue por Ivar Fredholm , en un artículo histórico de 1903 en Acta Mathematica que ayudó a establecer la teoría moderna del operador .
El nombre resolutivo lo dio David Hilbert .
Para todo z, w en ρ ( A ) , el conjunto resolutivo de un operador A , tenemos que la primera identidad resolutiva (también llamada identidad de Hilbert) se cumple: [3]
(Tenga en cuenta que Dunford y Schwartz, citados, definen el resolutivo como ( zI −A ) −1 , de modo que la fórmula anterior difiere en signo de la de ellos).
La segunda identidad resolutiva es una generalización de la primera identidad resolutiva anterior, útil para comparar los resolutivos de dos operadores distintos. Dados los operadores A y B , ambos definidos en el mismo espacio lineal, y z en ρ ( A ) ∩ ρ ( B ), se cumple la siguiente identidad, [4]
Una prueba de una línea es la siguiente:
Al estudiar un operador cerrado ilimitado A : H → H en un espacio de Hilbert H, si existe un operador compacto , decimos que A tiene resolutivo compacto. El espectro de tal A es un subconjunto discreto de . Si además A es autoadjunto , entonces existe una base ortonormal de vectores propios de A con valores propios respectivamente. Además, no tiene un punto de acumulación finito . [5]
