Función matemática que caracteriza la pertenencia a conjuntos.
En matemáticas , una función indicadora o una función característica de un subconjunto de un conjunto es una función que asigna elementos del subconjunto a uno y todos los demás elementos a cero. Es decir, si A es un subconjunto de algún conjunto X , entonces , si y en caso contrario, donde es una notación común para la función indicadora. Otras notaciones comunes son y
La función indicadora de A es el corchete de Iverson de la propiedad de pertenecer a A ; eso es,
La función indicadora de un subconjunto A de un conjunto X es una función
definido como
1 A ( x ) := { 1 si x ∈ A , 0 si x ∉ A . {\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x):={\begin{cases}1~&{\text{ if }}~x\in A~,\\0~&{\text{ if }}~x\notin A~.\end{casos}}}
El corchete de Iverson proporciona la notación equivalente, o ⟦ x ∈ A ⟧ , que se utilizará en lugar de
La función a veces se denota I A , χ A , K A o incluso simplemente A . [a] [b]
Un concepto relacionado en estadística es el de variable ficticia . (Esto no debe confundirse con "variables ficticias", ya que ese término se usa generalmente en matemáticas, también llamado variable ligada ).
El término " función característica " tiene un significado no relacionado en la teoría de probabilidad clásica . Por esta razón, los probabilistas tradicionales utilizan el término función indicadora para la función definida aquí casi exclusivamente, mientras que los matemáticos de otros campos son más propensos a utilizar el término función característica [a] para describir la función que indica pertenencia a un conjunto.
De manera más general, supongamos que es una colección de subconjuntos de X. Para cualquier
es claramente un producto de 0 s y 1 s. Este producto tiene el valor 1 precisamente en aquellos que no pertenecen a ninguno de los conjuntos y es 0 en caso contrario. Eso es
Función característica en la teoría de la recursividad, función representativa de Gödel y Kleene
Kurt Gödel describió la función representativa en su artículo de 1934 "Sobre proposiciones indecidibles de sistemas matemáticos formales" (el "¬" indica inversión lógica, es decir, "NO"): [1] : 42
A cada clase o relación R corresponderá una función representativa si y si
Kleene ofrece la misma definición en el contexto de las funciones recursivas primitivas como una función φ de un predicado P toma valores 0 si el predicado es verdadero y 1 si el predicado es falso. [2]
Por ejemplo, debido a que el producto de funciones características siempre que cualquiera de las funciones es igual a 0 , desempeña el papel de O lógico: SI O O... O ENTONCES su producto es 0 . Lo que al lector moderno le parece la inversión lógica de la función representativa, es decir, la función representativa es 0 cuando la función R es "verdadera" o satisfecha", juega un papel útil en la definición de Kleene de las funciones lógicas O, Y e IMPLY, [ 2] : 228 los operadores mu acotados- [2] : 228 e ilimitados [2] : 279 y siguientes y la función CASE [2] : 229 .
Función característica en la teoría de conjuntos difusos
En matemáticas clásicas, las funciones características de conjuntos sólo toman valores 1 (miembros) o 0 (no miembros). En la teoría de conjuntos difusos , las funciones características se generalizan para tomar valor en el intervalo unitario real [0, 1] , o más generalmente, en alguna álgebra o estructura (generalmente se requiere que sea al menos un poset o retículo ). Estas funciones características generalizadas suelen denominarse funciones de membresía y los "conjuntos" correspondientes se denominan conjuntos difusos . Los conjuntos difusos modelan el cambio gradual en el grado de membresía que se observa en muchos predicados del mundo real como "alto", "cálido", etc.
Suavidad
En general, la función indicadora de un conjunto no es fluida; es continuo si y sólo si su soporte es un componente conexo . En la geometría algebraica de cuerpos finitos , sin embargo, cada variedad afín admite una función indicadora continua ( Zariski ). [3] Dado un conjunto finito de funciones, sea su lugar de fuga. Entonces, la función actúa como función indicadora de . Si entonces , de lo contrario, para algunos , tenemos , lo que implica que , por lo tanto .
Por tanto, la derivada de la función escalonada de Heaviside puede verse como la derivada normal hacia adentro en el límite del dominio dado por la media línea positiva. En dimensiones superiores, la derivada se generaliza naturalmente a la derivada normal interna, mientras que la función escalonada de Heaviside se generaliza naturalmente a la función indicadora de algún dominio D. La superficie de D se denotará por S. A continuación, se puede deducir que la derivada normal interna del indicador da lugar a una 'función delta de superficie', que puede indicarse como :
donde n es la normal externa de la superficie S. Esta 'función delta de superficie' tiene la siguiente propiedad: [4]
^ ab La letra griega χ aparece porque es la letra inicial de la palabra griega χαρακτήρ , que es el origen último de la palabra característica .
^ El conjunto de todas las funciones del indicador en X se puede identificar con el conjunto de potencia de X. En consecuencia, ambos conjuntos a veces se denotan por Este es un caso especial ( ) de la notación para el conjunto de todas las funciones.
Referencias
^ Davis, Martín , ed. (1965). Lo Indecidible . Nueva York, NY: Raven Press Books. págs. 41–74.
^ abcde Kleene, Stephen (1971) [1952]. Introducción a las metamatemáticas (Sexta reimpresión, con correcciones ed.). Países Bajos: Wolters-Noordhoff Publishing y North Holland Publishing Company. pag. 227.
^ Serré. Curso de Aritmética . pag. 5.
^ Lange, Rutger-Jan (2012). "Teoría del potencial, integrales de trayectoria y el laplaciano del indicador". Revista de Física de Altas Energías . 2012 (11): 29–30. arXiv : 1302.0864 . Código Bib : 2012JHEP...11..032L. doi :10.1007/JHEP11(2012)032. S2CID 56188533.
Fuentes
Folland, GB (1999). Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones (Segunda ed.). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-31716-6.
Davis, Martín , ed. (1965). Lo Indecidible . Nueva York, NY: Raven Press Books.
Kleene, Stephen (1971) [1952]. Introducción a las metamatemáticas (Sexta reimpresión, con correcciones ed.). Países Bajos: Wolters-Noordhoff Publishing y North Holland Publishing Company.
Zadeh, LA (junio de 1965). "Conjuntos difusos". Información y Control . 8 (3). San Diego: 338–353. doi : 10.1016/S0019-9958(65)90241-X . ISSN 0019-9958. Zbl 0139.24606. Wikidata Q25938993.
Goguen, José (1967). " L- conjuntos difusos". Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 18 (1): 145-174. doi :10.1016/0022-247X(67)90189-8. hdl : 10338.dmlcz/103980 .