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Función escalonada de Heaviside

La función escalonada de Heaviside , o función escalonada unitaria , normalmente denotada por H o ​​θ (pero a veces u , 1 o 𝟙 ), es una función escalonada que lleva el nombre de Oliver Heaviside , cuyo valor es cero para argumentos negativos y uno para argumentos positivos. Se utilizan diferentes convenciones en relación con el valor H (0) . Es un ejemplo de la clase general de funciones escalonadas, todas las cuales se pueden representar como combinaciones lineales de traslaciones de esta.

La función se desarrolló originalmente en cálculo operacional para la solución de ecuaciones diferenciales , donde representa una señal que se activa en un momento específico y permanece activa indefinidamente. Heaviside desarrolló el cálculo operacional como una herramienta en el análisis de las comunicaciones telegráficas y representó la función como 1 .

Formulación

Tomando la convención de que H (0) = 1 , la función de Heaviside puede definirse como:

Además, la función escalonada de Heaviside se puede representar como una hiperfunción como donde log z es el valor principal del logaritmo complejo de z .

También se puede expresar para x ≠ 0 en términos de la función de valor absoluto como

Relación con el delta de Dirac

La función delta de Dirac es la derivada de la función de Heaviside: Por lo tanto, la función de Heaviside puede considerarse como la integral de la función delta de Dirac. Esto a veces se escribe como aunque esta expansión puede no ser válida (o incluso no tener sentido) para x = 0 , dependiendo del formalismo que se use para dar significado a las integrales que involucran δ . En este contexto, la función de Heaviside es la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria que es casi seguramente 0. (Véase Variable aleatoria constante .)

Aproximaciones analíticas

Las aproximaciones a la función escalonada de Heaviside son útiles en bioquímica y neurociencia , donde se pueden utilizar aproximaciones logísticas de funciones escalonadas (como las ecuaciones de Hill y de Michaelis-Menten ) para aproximar interruptores celulares binarios en respuesta a señales químicas.

Un conjunto de funciones que se aproximan sucesivamente a la función escalonada

se aproxima a la función escalón cuando k → ∞ .

Para una aproximación suave a la función escalonada, se puede utilizar la función logística

donde un k mayor corresponde a una transición más aguda en x = 0. Si tomamos H (0) = 1/2 , la igualdad se cumple en el límite:

Existen muchas otras aproximaciones analíticas y suaves a la función escalonada. [1] Entre las posibilidades se encuentran:

Estos límites se cumplen puntualmente y en el sentido de distribuciones . Sin embargo, en general, la convergencia puntual no implica necesariamente convergencia distribucional, y viceversa, la convergencia distribucional no implica necesariamente convergencia puntual. (Sin embargo, si todos los miembros de una secuencia de funciones convergentes puntuales están uniformemente acotados por alguna función "buena", entonces la convergencia se cumple también en el sentido de distribuciones ).

En general, cualquier función de distribución acumulativa de una distribución de probabilidad continua que alcanza su punto máximo en torno a cero y tiene un parámetro que controla la varianza puede servir como aproximación, en el límite a medida que la varianza se acerca a cero. Por ejemplo, las tres aproximaciones anteriores son funciones de distribución acumulativa de distribuciones de probabilidad comunes: la logística , la distribución de Cauchy y la distribución normal , respectivamente.

Aproximaciones no analíticas

Se pueden realizar aproximaciones a la función escalonada de Heaviside a través de la función de transición suave como :

Representaciones integrales

A menudo es útil una representación integral de la función escalonada de Heaviside:

donde la segunda representación es fácil de deducir de la primera, dado que la función escalonada es real y por tanto es su propio conjugado complejo.

Cero argumento

Dado que H se utiliza habitualmente en la integración, y el valor de una función en un único punto no afecta a su integral, rara vez importa qué valor particular se elige de H (0) . De hecho, cuando H se considera como una distribución o un elemento de L (véase el espacio L p ) ni siquiera tiene sentido hablar de un valor en cero, ya que tales objetos solo se definen en casi todas partes . Si se utiliza alguna aproximación analítica (como en los ejemplos anteriores), a menudo se utiliza el límite relevante en cero.

Existen varias razones para elegir un valor determinado.

Además, H(x) + H(-x) = 1 para todo x.

Forma discreta

Una forma alternativa del paso unitario, definida en cambio como una función (es decir, tomando una variable discreta n ), es:

o utilizando la convención de medio máximo: [2]

donde n es un entero . Si n es un entero, entonces n < 0 debe implicar que n ≤ −1 , mientras que n > 0 debe implicar que la función alcanza la unidad en n = 1. Por lo tanto, la "función escalonada" exhibe un comportamiento de tipo rampa sobre el dominio de [−1, 1] y no puede ser auténticamente una función escalonada, utilizando la convención de máximo medio.

A diferencia del caso continuo, la definición de H [0] es significativa.

El impulso unitario de tiempo discreto es la primera diferencia del paso de tiempo discreto

Esta función es la suma acumulativa del delta de Kronecker :

dónde

es la función de impulso unitario discreto .

Antiderivada y derivada

La función rampa es una antiderivada de la función escalón de Heaviside:

La derivada distribucional de la función escalonada de Heaviside es la función delta de Dirac :

Transformada de Fourier

La transformada de Fourier de la función escalonada de Heaviside es una distribución. Si utilizamos una elección de constantes para la definición de la transformada de Fourier, tenemos

Aquí pv 1/s es la distribución que lleva una función de prueba φ al valor principal de Cauchy de. El límite que aparece en la integral también se toma en el sentido de distribuciones (templadas).

Transformada unilateral de Laplace

La transformada de Laplace de la función escalonada de Heaviside es una función meromórfica . Utilizando la transformada unilateral de Laplace tenemos:

Cuando se utiliza la transformada bilateral, la integral se puede dividir en dos partes y el resultado será el mismo.

Véase también

Referencias

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Función escalonada de Heaviside". MathWorld .
  2. ^ Bracewell, Ronald Newbold (2000). La transformada de Fourier y sus aplicaciones (3.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pág. 61. ISBN 0-07-303938-1.

Enlaces externos