En matemáticas , una distribución degenerada es, según algunos, [1] una distribución de probabilidad en un espacio con apoyo sólo en una variedad de dimensión inferior , y según otros [2] una distribución con apoyo sólo en un único punto. Según la última definición, es una distribución determinista y toma un solo valor. Los ejemplos incluyen una moneda de dos caras y lanzar un dado cuyos lados muestran el mismo número. [2] [ se necesita una mejor fuente ] Esta distribución satisface la definición de "variable aleatoria" aunque no parece aleatoria en el sentido cotidiano de la palabra; de ahí que se considere degenerado . [ cita necesaria ]
En el caso de una variable aleatoria de valor real, la distribución degenerada es una distribución de un punto , localizada en un punto k 0 en la recta real . [2] [ se necesita una mejor fuente ] La función de masa de probabilidad es igual a 1 en este punto y a 0 en otros lugares. [ cita necesaria ]
La distribución univariante degenerada puede verse como el caso límite de una distribución continua cuya varianza llega a 0, lo que hace que la función de densidad de probabilidad sea una función delta en k 0 , con altura infinita allí pero área igual a 1. [ cita necesaria ]
La función de distribución acumulada de la distribución degenerada univariada es:
[ cita necesaria ]
En teoría de la probabilidad , una variable aleatoria constante es una variable aleatoria discreta que toma un valor constante , independientemente de cualquier evento que ocurra. Esto es técnicamente diferente de una variable aleatoria casi seguramente constante , que puede tomar otros valores, pero sólo en eventos con probabilidad cero. Las variables aleatorias constantes y casi seguramente constantes, que tienen una distribución degenerada, proporcionan una manera de abordar valores constantes en un marco probabilístico.
Sea X : Ω → R una variable aleatoria definida en un espacio de probabilidad (Ω, P ). Entonces X es una variable aleatoria casi seguramente constante si existe tal que
y además es una variable aleatoria constante si
Una variable aleatoria constante es casi con seguridad constante, pero no necesariamente al revés , ya que si X es casi con seguridad constante entonces puede existir γ ∈ Ω tal que X (γ) ≠ k 0 (pero entonces necesariamente Pr({γ}) = 0 , de hecho Pr(X ≠ k 0 ) = 0).
Para fines prácticos, la distinción entre X siendo constante o casi seguramente constante no es importante, ya que la función de distribución acumulativa F ( x ) de X no depende de si X es constante o "meramente" casi seguramente constante. En cualquier caso,
La función F ( x ) es una función escalonada ; en particular es una traducción de la función escalonada de Heaviside . [ cita necesaria ]
La degeneración de una distribución multivariada en n variables aleatorias surge cuando el soporte se encuentra en un espacio de dimensión menor que n . [1] Esto ocurre cuando al menos una de las variables es una función determinista de las demás. Por ejemplo, en el caso de 2 variables, supongamos que Y = aX + b para variables aleatorias escalares X e Y y constantes escalares a ≠ 0 y b ; aquí conocer el valor de uno de X o Y da un conocimiento exacto del valor del otro. Todos los puntos posibles ( x , y ) caen en la recta unidimensional y = ax + b . [ cita necesaria ]
En general, cuando una o más de n variables aleatorias están exactamente determinadas linealmente por las demás, si existe la matriz de covarianza , su rango es menor que n [1] [ se necesita verificación ] y su determinante es 0, por lo que es semidefinida positiva pero no es definida positiva y la distribución de probabilidad conjunta es degenerada. [ cita necesaria ]
La degeneración también puede ocurrir incluso con covarianza distinta de cero. Por ejemplo, cuando el escalar X está distribuido simétricamente alrededor de 0 e Y está exactamente dado por Y = X 2 , todos los puntos posibles ( x , y ) caen en la parábola y = x 2 , que es un subconjunto unidimensional de la parábola bidimensional. espacio dimensional. [ cita necesaria ]
