función binaria

Función que toma dos entradas.

En matemáticas , una función binaria (también llamada función bivariada , o función de dos variables ) es una función que toma dos entradas.

Dicho con precisión, una función es binaria si existen conjuntos tales que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$

${\displaystyle \,f\colon X\times Y\rightarrow Z}$

¿Dónde está el producto cartesiano de y? ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Definiciones alternativas

En teoría de conjuntos , una función binaria se puede representar como un subconjunto del producto cartesiano , donde pertenece al subconjunto si y solo si . Por el contrario, un subconjunto define una función binaria si y solo si para cualquiera y existe un tal único que pertenece a . entonces se define como esto . ${\displaystyle X\times Y\times Z}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle f(x,y)=z}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle z\in Z}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle z}$

Alternativamente, una función binaria puede interpretarse simplemente como una función de a . Sin embargo, incluso cuando se piensa de esta manera, generalmente se escribe en lugar de . (Es decir, se utiliza el mismo par de paréntesis para indicar tanto la aplicación de la función como la formación de un par ordenado ). ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle f((x,y))}$

Ejemplos

La división de números enteros se puede considerar como una función. Si es el conjunto de los números enteros , es el conjunto de los números naturales (excepto el cero) y es el conjunto de los números racionales , entonces la división es una función binaria . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \times \mathbb {N} ^{+}\to \mathbb {Q} }$

En un espacio vectorial V sobre un campo F , la multiplicación escalar es una función binaria. Un escalar a ∈ F se combina con un vector v ∈ V para producir un nuevo vector av ∈ V .

Otro ejemplo es el de los productos internos, o más generalmente funciones de la forma , donde x , y son vectores con valores reales de tamaño apropiado y M es una matriz. Si M es una matriz definida positiva , esto produce un producto interno . ^[1] ${\displaystyle (x,y)\mapsto x^{\mathrm {T} }My}$

Funciones de dos variables reales.

Las funciones cuyo dominio es un subconjunto de a menudo también se denominan funciones de dos variables incluso si su dominio no forma un rectángulo y, por tanto, el producto cartesiano de dos conjuntos. ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Restricciones a las funciones ordinarias

A su vez, también se pueden derivar funciones ordinarias de una variable a partir de una función binaria. Dado cualquier elemento , existe una función , o , de a , dada por . De manera similar, dado cualquier elemento , existe una función , o , de a , dada por . En informática, esta identificación entre una función de a y una función de a , donde es el conjunto de todas las funciones de a , se llama curry . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f^{x}}$ ${\displaystyle f(x,\cdot )}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f^{x}(y)=f(x,y)}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f_{y}}$ ${\displaystyle f(\cdot ,y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f_{y}(x)=f(x,y)}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z^{Y}}$ ${\displaystyle Z^{Y}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$

Generalizaciones

Los diversos conceptos relacionados con funciones también se pueden generalizar a funciones binarias. Por ejemplo, el ejemplo de división anterior es sobreyectivo (o sobre ) porque cada número racional puede expresarse como un cociente de un número entero y un número natural. Este ejemplo es inyectivo en cada entrada por separado, porque las funciones f ^x y f _y siempre son inyectivas. Sin embargo, no es inyectivo en ambas variables simultáneamente, porque (por ejemplo) f (2,4) = f (1,2).

También se pueden considerar funciones binarias parciales , que pueden definirse sólo para ciertos valores de las entradas. Por ejemplo, el ejemplo de división anterior también puede interpretarse como una función binaria parcial de Z y N a Q , donde N es el conjunto de todos los números naturales, incluido el cero. Pero esta función no está definida cuando la segunda entrada es cero.

Una operación binaria es una función binaria donde los conjuntos X , Y y Z son todos iguales; Las operaciones binarias se utilizan a menudo para definir estructuras algebraicas .

En álgebra lineal , una transformación bilineal es una función binaria donde los conjuntos X , Y y Z son todos espacios vectoriales y las funciones derivadas f ^x y f _y son todas transformaciones lineales . Una transformación bilineal, como cualquier función binaria, se puede interpretar como una función de X × Y a Z , pero esta función en general no será lineal. Sin embargo , la transformación bilineal también se puede interpretar como una transformación lineal única del producto tensorial a Z. ${\displaystyle X\otimes Y}$

Generalizaciones a funciones ternarias y otras.

El concepto de función binaria se generaliza a función ternaria (o 3-aria ) , función cuaternaria (o 4-aria ) o, más generalmente, a función n-aria para cualquier número natural n . Una función 0-aria para Z está dada simplemente por un elemento de Z. También se puede definir una función A-aria donde A es cualquier conjunto ; hay una entrada para cada elemento de A .

Teoría de categorías

En la teoría de categorías , las funciones n -arias se generalizan a morfismos n -arios en una multicategoría . La interpretación de un morfismo n -ario como morfismos ordinarios cuyo dominio es algún tipo de producto de los dominios del morfismo n -ario original funcionará en una categoría monoide . La construcción de los morfismos derivados de una variable funcionará en una categoría monoide cerrada . La categoría de conjuntos es monoidea cerrada, pero también lo es la categoría de espacios vectoriales, dando la noción de transformación bilineal anterior.

Ver también

• arity

Referencias

1. Clarke, Bertrand; Fokoue, Ernest; Zhang, Hao Helen (21 de julio de 2009). Principios y teoría para la minería de datos y el aprendizaje automático. pag. 285.ISBN _ 9780387981352. Consultado el 16 de agosto de 2016 .
2. Stewart, James (2011). Conceptos básicos del cálculo multivariado . Toronto: Educación Nelson. pag. 591.