Mapa multilineal alterno

Mapa multilineal que es 0 siempre que los argumentos sean linealmente dependientes

En matemáticas , más específicamente en álgebra multilineal , una función multilineal alternada es una función multilineal cuyos argumentos pertenecen al mismo espacio vectorial (por ejemplo, una forma bilineal o una forma multilineal ) que es cero siempre que cualquier par de sus argumentos sea igual. Esto se generaliza directamente a un módulo sobre un anillo conmutativo .

La noción de alternatización (o alternatización ) se utiliza para derivar un mapa multilineal alterno de cualquier mapa multilineal cuyos argumentos pertenecen al mismo espacio.

Definición

Sea un anillo conmutativo y , módulos sobre . Se dice que una función multilineal de la forma es alterna si satisface las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f:V^{n}\to W}$

1. siempre que exista tal que entonces . ^{[1] [2]} ${\textstyle 1\leq i\leq n-1}$ ${\displaystyle x_{i}=x_{i+1}}$ ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$
2. siempre que exista tal que entonces . ^{[1] [3]} ${\textstyle 1\leq i\neq j\leq n}$ ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$ ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$

Espacios vectoriales

Sean espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo. Entonces, una función multilineal de la forma es alternada si satisface la siguiente condición: ${\displaystyle V,W}$ ${\displaystyle f:V^{n}\to W}$

• Si son linealmente dependientes entonces . ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$

Ejemplo

En un álgebra de Lie , el corchete de Lie es una función bilineal alternada. El determinante de una matriz es una función alternada multilineal de las filas o columnas de la matriz.

Propiedades

Si cualquier componente de un mapa multilineal alterno se reemplaza por para cualquier y en el anillo base , entonces el valor de ese mapa no cambia. ^[3] ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}+cx_{j}}$ ${\displaystyle j\neq i}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle R}$

Toda función multilineal alternada es antisimétrica, ^[4] lo que significa que ^[1] o equivalentemente, donde denota el grupo de permutación de grado y es el signo de . ^[5] Si es una unidad en el anillo base , entonces toda forma antisimétrica -multilineal es alternada. $${\displaystyle f(\dots ,x_{i},x_{i+1},\dots )=-f(\dots ,x_{i+1},x_{i},\dots )\quad {\text{ for any }}1\leq i\leq n-1,}$$ $${\displaystyle f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})=(\operatorname {sgn} \sigma )f(x_{1},\dots ,x_{n})\quad {\text{ for any }}\sigma \in \mathrm {S} _{n},}$$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$

Alternatización

Dado un mapa multilineal de la forma el mapa multilineal alterno definido por se dice que es la alternatización de . ${\displaystyle f:V^{n}\to W,}$ ${\displaystyle g:V^{n}\to W}$ $${\displaystyle g(x_{1},\ldots ,x_{n})\mathrel {:=} \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )f(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})}$$ ${\displaystyle f}$

Propiedades

• La alternatización de una función alternada -multilineal es multiplicada por sí misma. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!}$
• La alternatización de una función simétrica es cero.
• La alternancia de una función bilineal es bilineal. En particular, la alternancia de cualquier cociclo es bilineal. Este hecho desempeña un papel crucial en la identificación del segundo grupo de cohomología de una red con el grupo de formas bilineales alternantes en una red.

Véase también

• Álgebra alternada
• Mapa bilineal
• Álgebra exterior § Formas multilineales alternas
• Mapa (matemáticas)
• Álgebra multilineal
• Mapa multilineal
• Forma multilineal
• Simetrización

Notas

1. Lang 2002, págs. 511–512
2. Bourbaki 2007, A III.80, §4
3. Dummit y Foote 2004, pág. 436
4. Rotman 1995, pág. 235
5. Tu 2011, pág. 23

Referencias

• Bourbaki, N. (2007). Elementos matemáticos . vol. Algèbre Chapitres 1 à 3 (reimpresión ed.). Saltador.
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3.ª ed.). Wiley.
• Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 211 (3.ª edición revisada). Springer. ISBN 978-0-387-95385-4.OCLC 48176673  .
• Rotman, Joseph J. (1995). Introducción a la teoría de grupos . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 148 (4.ª ed.). Springer. ISBN 0-387-94285-8.OCLC 30028913  .
• Tu, Loring W. (2011). Introducción a las variedades . Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 978-1-4419-7400-6.