Distribución de Maxwell-Boltzmann

Specific probability distribution function, important in physics

En física (en particular en mecánica estadística ), la distribución de Maxwell-Boltzmann , o distribución de Maxwell(ian) , es una distribución de probabilidad particular que lleva el nombre de James Clerk Maxwell y Ludwig Boltzmann .

Se definió y utilizó por primera vez para describir las velocidades de las partículas en gases idealizados , donde las partículas se mueven libremente dentro de un recipiente estacionario sin interactuar entre sí, excepto en colisiones muy breves en las que intercambian energía y momento entre sí o con su entorno térmico. El término "partícula" en este contexto se refiere únicamente a partículas gaseosas ( átomos o moléculas ), y se supone que el sistema de partículas ha alcanzado el equilibrio termodinámico . ^[1] Las energías de tales partículas siguen lo que se conoce como estadística de Maxwell-Boltzmann , y la distribución estadística de velocidades se deriva equiparando las energías de las partículas con la energía cinética .

Matemáticamente, la distribución de Maxwell-Boltzmann es la distribución chi con tres grados de libertad (los componentes del vector velocidad en el espacio euclidiano ), con un parámetro de escala que mide las velocidades en unidades proporcionales a la raíz cuadrada de (la relación entre temperatura y masa de partículas). ). ^[2] ${\displaystyle T/m}$

La distribución de Maxwell-Boltzmann es el resultado de la teoría cinética de los gases , que proporciona una explicación simplificada de muchas propiedades gaseosas fundamentales, incluidas la presión y la difusión . ^[3] La distribución de Maxwell-Boltzmann se aplica fundamentalmente a las velocidades de las partículas en tres dimensiones, pero resulta depender sólo de la velocidad (la magnitud de la velocidad) de las partículas. Una distribución de probabilidad de velocidad de una partícula indica qué velocidades son más probables: una partícula elegida al azar tendrá una velocidad seleccionada al azar de la distribución y es más probable que esté dentro de un rango de velocidades que de otro. La teoría cinética de los gases se aplica al gas ideal clásico , que es una idealización de los gases reales. En los gases reales, existen varios efectos (p. ej., interacciones de van der Waals , flujo vórtice , límites de velocidad relativistas e interacciones de intercambio cuántico ) que pueden hacer que su distribución de velocidad sea diferente de la forma de Maxwell-Boltzmann. Sin embargo, los gases enrarecidos a temperaturas ordinarias se comportan casi como un gas ideal y la distribución de velocidades de Maxwell es una excelente aproximación para tales gases. Esto también es válido para los plasmas ideales , que son gases ionizados de densidad suficientemente baja. ^[4]

La distribución fue deducida por primera vez por Maxwell en 1860 sobre bases heurísticas . ^[5] Boltzmann más tarde, en la década de 1870, llevó a cabo importantes investigaciones sobre los orígenes físicos de esta distribución. La distribución se puede derivar basándose en que maximiza la entropía del sistema. Una lista de derivaciones son:

1. Distribución de probabilidad de máxima entropía en el espacio de fase, con la restricción de conservación de la energía promedio. ${\displaystyle \langle H\rangle =E;}$
2. Conjunto canónico .

Función de distribución

Para un sistema que contiene una gran cantidad de partículas clásicas idénticas no relativistas y que no interactúan en equilibrio termodinámico, la fracción de partículas dentro de un elemento infinitesimal del espacio de velocidades tridimensional d ³ v , centrado en un vector de velocidad de magnitud v , es dado por

$${\displaystyle f(v)~d^{3}v={\biggl [}{\frac {m}{2\pi kT}}{\biggr ]}^{\frac {3}{2}}\,\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)~d^{3}v,}$$

• m es la masa de la partícula;
• k es la constante de Boltzmann ;
• T es la temperatura termodinámica ;
• f ( v ) es una función de distribución de probabilidad, adecuadamente normalizada para queen todas las velocidades sea la unidad. ${\textstyle \int f(v)\,d^{3}v}$

La densidad de probabilidad de velocidad es función de las velocidades de algunos gases nobles a una temperatura de 298,15 K (25 °C). El eje y está en s/m, de modo que el área bajo cualquier sección de la curva (que representa la probabilidad de que la velocidad esté en ese rango) no tiene dimensiones.

Se puede escribir el elemento del espacio de velocidades como , para velocidades en un sistema de coordenadas cartesiano estándar, o como en un sistema de coordenadas esféricas estándar, donde es un elemento de ángulo sólido y ${\displaystyle d^{3}v=dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}}$ ${\displaystyle d^{3}v=v^{2}\,dv\,d\Omega }$ ${\displaystyle d\Omega =\sin {\theta }d\phi d\theta }$ ${\displaystyle v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}$

La función de distribución de Maxwell para partículas que se mueven en una sola dirección, si esta dirección es x , es

$${\displaystyle f(v_{x})~dv_{x}={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\,\exp \left(-{\frac {mv_{x}^{2}}{2kT}}\right)~dv_{x},}$$

v _yv _z

Reconociendo la simetría de , se puede integrar sobre un ángulo sólido y escribir una distribución de probabilidad de velocidades como la función ^[6] ${\displaystyle f(v)}$

$${\displaystyle f(v)={\biggl [}{\frac {m}{2\pi kT}}{\biggr ]}^{\frac {3}{2}}\,4\pi v^{2}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right).}$$

Esta función de densidad de probabilidad da la probabilidad, por unidad de velocidad, de encontrar la partícula con una velocidad cercana a v . Esta ecuación es simplemente la distribución de Maxwell-Boltzmann (que figura en el cuadro de información) con parámetro de distribución. La distribución de Maxwell-Boltzmann es equivalente a la distribución chi con tres grados de libertad y parámetro de escala. ${\textstyle a={\sqrt {kT/m}}\,.}$ ${\textstyle a={\sqrt {kT/m}}\,.}$

La ecuación diferencial ordinaria más simple que satisface la distribución es:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&0=kTvf'(v)+f(v)(mv^{2}-2kT),\\[4pt]&f(1)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\biggl [}{\frac {m}{kT}}{\biggr ]}^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {m}{2kT}}\right);\end{aligned}}}$$

o en presentación sin unidades :

$${\displaystyle {\begin{aligned}&0=a^{2}xf'(x)+\left(x^{2}-2a^{2}\right)f(x),\\[4pt]&f(1)={\frac {1}{a^{3}}}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\exp \left(-{\frac {1}{2a^{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

método de valores medios de Darwin-Fowler

Simulación de un gas 2D que se relaja hacia una distribución de velocidades de Maxwell-Boltzmann

Relajación a la distribución 2D de Maxwell-Boltzmann

Para partículas confinadas a moverse en un plano, la distribución de velocidades está dada por

$${\displaystyle P(s<|{\vec {v}}|<s+ds)={\frac {ms}{kT}}\exp \left(-{\frac {ms^{2}}{2kT}}\right)ds}$$

Esta distribución se utiliza para describir sistemas en equilibrio. Sin embargo, la mayoría de los sistemas no comienzan en su estado de equilibrio. La evolución de un sistema hacia su estado de equilibrio se rige por la ecuación de Boltzmann . La ecuación predice que para interacciones de corto alcance, la distribución de velocidad de equilibrio seguirá una distribución de Maxwell-Boltzmann. A la derecha hay una simulación de dinámica molecular (MD) en la que 900  partículas de esferas duras están obligadas a moverse en un rectángulo. Interactúan mediante colisiones perfectamente elásticas . El sistema se inicializa fuera de equilibrio, pero la distribución de velocidad (en azul) converge rápidamente a la distribución 2D de Maxwell-Boltzmann (en naranja).

Velocidades típicas

La distribución de Maxwell-Boltzmann correspondiente a la atmósfera solar. Las masas de las partículas son la masa de un protón , m _p =1,67 × 10 ⁻²⁷  kg ≈1  Da , y la temperatura es la temperatura efectiva de la fotosfera del Sol , T = 5800 K.,y V _rms marcan las velocidades más probable, media y media cuadrática, respectivamente. Sus valores son≈ ${\displaystyle {\tilde {V}}}$ ${\displaystyle {\bar {V}}}$ ${\displaystyle {\tilde {V}}}$9,79 km/s , ≈ ${\displaystyle {\bar {V}}}$11,05 km/s y V _rms ≈12,00 km/s .

La velocidad media , la velocidad más probable ( moda ) v _p y la velocidad cuadrática media se pueden obtener a partir de las propiedades de la distribución de Maxwell. ${\displaystyle \langle v\rangle }$ ${\textstyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}}$

Esto funciona bien para gases monoatómicos casi ideales como el helio , pero también para gases moleculares como el oxígeno diatómico . Esto se debe a que, a pesar de la mayor capacidad calorífica (mayor energía interna a la misma temperatura), debido a su mayor número de grados de libertad , su energía cinética de traslación (y por tanto su velocidad) no cambia. ^[7]

• La velocidad más probable, vp _, es la velocidad que más probablemente posee cualquier molécula (de la misma masa m ) en el sistema y corresponde al valor máximo o la moda de f ( v ) . Para encontrarlo, calculamos la derivada , la ponemos a cero y resolvemos para v : ${\displaystyle {\tfrac {df}{dv}},}$
  $${\displaystyle {\frac {df(v)}{dv}}=-8\pi {\biggl [}{\frac {m}{2\pi kT}}{\biggr ]}^{\frac {3}{2}}\,v\,\left[{\frac {mv^{2}}{2kT}}-1\right]\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)=0}$$
  con la solución:
  $${\displaystyle {\frac {mv_{\text{p}}^{2}}{2kT}}=1;\quad v_{\text{p}}={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}={\sqrt {\frac {2RT}{M}}}}$$
  dónde:
  • R es la constante del gas ;
  • M es la masa molar de la sustancia y, por tanto, puede calcularse como producto de la masa de la partícula, m , y la constante de Avogadro , N _A : ${\displaystyle M=mN_{\mathrm {A} }.}$

Para nitrógeno diatómico ( N ₂ , el componente principal del aire ) ^[8] a temperatura ambiente (300 K ), esto da

$${\displaystyle v_{\text{p}}\approx {\sqrt {\frac {2\cdot 8.31\ {\text{J}}\cdot {\text{mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}\ 300\ {\text{K}}}{0.028\ {\text{kg}}\cdot {\text{mol}}^{-1}}}}\approx 422\ {\text{m/s}}.}$$

• La velocidad media es el valor esperado de la distribución de velocidades, estableciendo : ${\textstyle b={\frac {1}{2a^{2}}}={\frac {m}{2kT}}}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle v\rangle &=\int _{0}^{\infty }v\,f(v)\,dv\\[2pt]&=4\pi \left[{\frac {b}{\pi }}\right]^{\frac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }v^{3}e^{-bv^{2}}dv\\[2pt]&=4\pi \left[{\frac {b}{\pi }}\right]^{\frac {3}{2}}{\frac {1}{2b^{2}}}={\sqrt {\frac {4}{\pi b}}}\\[2pt]&={\sqrt {\frac {8kT}{\pi m}}}={\sqrt {\frac {8RT}{\pi M}}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}v_{\text{p}}\end{aligned}}}$$
• La velocidad media cuadrática es el momento bruto de segundo orden de la distribución de velocidades. La "raíz cuadrática media de la velocidad" es la raíz cuadrada de la velocidad cuadrática media, correspondiente a la velocidad de una partícula con energía cinética promedio , estableciendo : ${\displaystyle \langle v^{2}\rangle }$ ${\displaystyle v_{\mathrm {rms} }}$ ${\textstyle b={\frac {1}{2a^{2}}}={\frac {m}{2kT}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{\mathrm {rms} }&={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}=\left[\int _{0}^{\infty }v^{2}\,f(v)\,dv\right]^{\frac {1}{2}}\\[2pt]&=\left[4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{\frac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }v^{4}e^{-bv^{2}}dv\right]^{\frac {1}{2}}\\[2pt]&=\left[4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{\frac {3}{2}}{\frac {3}{8}}\left({\frac {\pi }{b^{5}}}\right)^{\frac {1}{2}}\right]^{\frac {1}{2}}={\sqrt {\frac {3}{2b}}}\\[2pt]&={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}}={\sqrt {\frac {3}{2}}}v_{\text{p}}\end{aligned}}}$$

En resumen, las velocidades típicas se relacionan de la siguiente manera:

$${\displaystyle v_{\text{p}}\approx 88.6\%\ \langle v\rangle <\langle v\rangle <108.5\%\ \langle v\rangle \approx v_{\mathrm {rms} }.}$$

La velocidad cuadrática media está directamente relacionada con la velocidad del sonido c en el gas, por

$${\displaystyle c={\sqrt {\frac {\gamma }{3}}}\ v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\frac {f+2}{3f}}}\ v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\frac {f+2}{2f}}}\ v_{\text{p}},}$$

índice adiabáticofgrados de libertadaire ${\textstyle \gamma =1+{\frac {2}{f}}}$300 K^[9] ${\displaystyle f=5}$

$${\displaystyle c={\sqrt {\frac {7}{15}}}v_{\mathrm {rms} }\approx 68\%\ v_{\mathrm {rms} }\approx 84\%\ v_{\text{p}}\approx 353\ \mathrm {m/s} ,}$$

aire29 g/mol347 m/s300 K (las correcciones para humedad

La velocidad relativa promedio

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{\rm {rel}}\equiv \langle |{\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}|\rangle &=\int \!d^{3}v_{1}\,d^{3}v_{2}\left|{\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}\right|f({\vec {v}}_{1})f({\vec {v}}_{2})\\[2pt]&={\frac {4}{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\frac {kT}{m}}}={\sqrt {2}}\langle v\rangle \end{aligned}}}$$

$${\displaystyle f({\vec {v}})\equiv \left[{\frac {2\pi kT}{m}}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {m{\vec {v}}^{2}}{kT}}\right).}$$

La integral se puede hacer fácilmente cambiando a coordenadas y ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {U}}={\tfrac {{\vec {v}}_{1}\,+\,{\vec {v}}_{2}}{2}}.}$

Limitaciones

La distribución de Maxwell-Boltzmann supone que las velocidades de las partículas individuales son mucho menores que la velocidad de la luz, es decir, que . Para los electrones, la temperatura de los electrones debe ser K. ${\displaystyle T\ll {\frac {mc^{2}}{k_{B}}}}$ ${\displaystyle T_{e}\ll 5.93\times 10^{9}}$

Derivación y distribuciones relacionadas

Maxwell-Boltzmann estadísticas

La derivación original en 1860 por James Clerk Maxwell fue un argumento basado en las colisiones moleculares de la teoría cinética de los gases, así como en ciertas simetrías en la función de distribución de velocidad; Maxwell también dio un argumento inicial de que estas colisiones moleculares implican una tendencia hacia el equilibrio. ^{[5] [10]} Después de Maxwell, Ludwig Boltzmann en 1872 ^[11] también derivó la distribución sobre bases mecánicas y argumentó que los gases deberían tender con el tiempo hacia esta distribución, debido a las colisiones (ver teorema H ). Más tarde (1877) ^[12] dedujo nuevamente la distribución bajo el marco de la termodinámica estadística . Las derivaciones en esta sección siguen la línea de la derivación de Boltzmann de 1877, comenzando con el resultado conocido como estadística de Maxwell-Boltzmann (de la termodinámica estadística). La estadística de Maxwell-Boltzmann proporciona el número promedio de partículas encontradas en un microestado de una sola partícula determinado . Bajo ciertas suposiciones, el logaritmo de la fracción de partículas en un microestado dado es lineal en la relación entre la energía de ese estado y la temperatura del sistema: hay constantes y tales que, para todos , ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle i}$

$${\displaystyle -\log \left({\frac {N_{i}}{N}}\right)={\frac {1}{k}}\cdot {\frac {E_{i}}{T}}+C.}$$

^{[1] [13]}

Esta relación se puede escribir como una ecuación introduciendo un factor de normalización:

dónde:

• N _i es el número esperado de partículas en el microestado de una sola partícula i ,
• N es el número total de partículas en el sistema,
• E _i es la energía del microestado i ,
• la suma sobre el índice j tiene en cuenta todos los microestados,
• T es la temperatura de equilibrio del sistema,
• k es la constante de Boltzmann .

El denominador en la ecuación ( 1 ) es un factor de normalización para que las razones sumen la unidad; en otras palabras, es una especie de función de partición (para el sistema de una sola partícula, no la función de partición habitual de todo el sistema). ${\displaystyle N_{i}:N}$

Debido a que la velocidad y la rapidez están relacionadas con la energía, la ecuación ( 1 ) se puede utilizar para derivar relaciones entre la temperatura y las velocidades de las partículas de gas. Todo lo que se necesita es descubrir la densidad de los microestados en energía, que se determina dividiendo el espacio de momento en regiones de igual tamaño.

Distribución del vector de impulso.

La energía potencial se considera cero, por lo que toda la energía está en forma de energía cinética. La relación entre la energía cinética y el momento de partículas masivas no relativistas es

donde p ² es el cuadrado del vector momento p = [ p _x , p _y , p _z ] . Por lo tanto, podemos reescribir la ecuación ( 1 ) como:

dónde:

• Z es la función de partición , correspondiente al denominador de la ecuación ( 1 );
• m es la masa molecular del gas;
• T es la temperatura termodinámica;
• k es la constante de Boltzmann .

Esta distribución de N _i  : N es proporcional a la función de densidad de probabilidad f _p para encontrar una molécula con estos valores de componentes de momento, entonces:

La constante de normalización se puede determinar reconociendo que la probabilidad de que una molécula tenga algún momento debe ser 1. Integrando la exponencial en ( 4 ) sobre todos p _x , p _y y p _z se obtiene un factor de

$${\displaystyle \iiint _{-\infty }^{+\infty }\exp \left(-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right)dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}={\Bigl [}{\sqrt {\pi }}{\sqrt {2mkT}}{\Bigr ]}^{3}}$$

De modo que la función de distribución normalizada es:

${\displaystyle f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})=\left[{\frac {1}{2\pi mkT}}\right]^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right)}$   ( 6 )

Se considera que la distribución es el producto de tres variables independientes distribuidas normalmente , , y , con varianza . Además, se puede ver que la magnitud del impulso se distribuirá como una distribución de Maxwell-Boltzmann, con . La distribución de Maxwell-Boltzmann para el momento (o igualmente para las velocidades) se puede obtener de manera más fundamental utilizando el teorema H en equilibrio dentro del marco de la teoría cinética de los gases . ${\displaystyle p_{x}}$ ${\displaystyle p_{y}}$ ${\displaystyle p_{z}}$ ${\displaystyle mkT}$ ${\displaystyle a={\sqrt {mkT}}}$

Distribución de la energía.

La distribución de energía resulta imponente.

donde es el volumen de momentos del espacio de fase infinitesimal correspondiente al intervalo de energía dE . Haciendo uso de la simetría esférica de la relación de dispersión energía-momento, esto se puede expresar en términos de dE como ${\displaystyle d^{3}{\textbf {p}}}$ ${\displaystyle E={\tfrac {|{\textbf {p}}|^{2}}{2m}},}$

Usando entonces ( 8 ) en ( 7 ), y expresando todo en términos de la energía E , obtenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{E}(E)dE&=\left[{\frac {1}{2\pi mkT}}\right]^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {E}{kT}}\right)4\pi m{\sqrt {2mE}}\ dE\\[2pt]&=2{\sqrt {\frac {E}{\pi }}}\,\left[{\frac {1}{kT}}\right]^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {E}{kT}}\right)\,dE\end{aligned}}}$$

${\displaystyle f_{E}(E)=2{\sqrt {\frac {E}{\pi }}}\,\left[{\frac {1}{kT}}\right]^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {E}{kT}}\right)}$   ( 9 )

Dado que la energía es proporcional a la suma de los cuadrados de los tres componentes del momento distribuidos normalmente, esta distribución de energía se puede escribir de manera equivalente como una distribución gamma , utilizando un parámetro de forma y un parámetro de escala, ${\displaystyle k_{\text{shape}}=3/2}$ ${\displaystyle \theta _{\text{scale}}=kT.}$

Usando el teorema de equipartición , dado que la energía se distribuye uniformemente entre los tres grados de libertad en equilibrio, también podemos dividirla en un conjunto de distribuciones chi-cuadrado , donde la energía por grado de libertad, ε, se distribuye como chi-cuadrado. distribución con un grado de libertad, ^[14] ${\displaystyle f_{E}(E)dE}$

$${\displaystyle f_{\varepsilon }(\varepsilon )\,d\varepsilon ={\sqrt {\frac {1}{\pi \varepsilon kT}}}~\exp \left(-{\frac {\varepsilon }{kT}}\right)\,d\varepsilon }$$

En equilibrio, esta distribución será válida para cualquier número de grados de libertad. Por ejemplo, si las partículas son dipolos de masa rígida de momento dipolar fijo, tendrán tres grados de libertad de traslación y dos grados de libertad de rotación adicionales. La energía en cada grado de libertad se describirá según la distribución chi-cuadrado anterior con un grado de libertad, y la energía total se distribuirá según una distribución chi-cuadrado con cinco grados de libertad. Esto tiene implicaciones en la teoría del calor específico de un gas.

Distribución del vector de velocidad.

Reconociendo que la densidad de probabilidad de velocidad f _v es proporcional a la función de densidad de probabilidad de momento por

$${\displaystyle f_{\mathbf {v} }d^{3}v=f_{\mathbf {p} }\left({\frac {dp}{dv}}\right)^{3}d^{3}v}$$

y usando p = m v obtenemos

${\displaystyle f_{\mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})={\biggl [}{\frac {m}{2\pi kT}}{\biggr ]}^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT}}\right)}$

que es la distribución de velocidades de Maxwell-Boltzmann. La probabilidad de encontrar una partícula con velocidad en el elemento infinitesimal [ dv _x , dv _y , dv _z ] aproximadamente con velocidad v = [ v _x , v _y , v _z ] es

$${\displaystyle f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}.}$$

Al igual que el impulso, esta distribución se considera el producto de tres variables independientes distribuidas normalmente , y , pero con varianza . También se puede ver que la distribución de velocidad de Maxwell-Boltzmann para el vector velocidad [ v _x , v _y , v _z ] es el producto de las distribuciones para cada una de las tres direcciones: ${\displaystyle v_{x}}$ ${\displaystyle v_{y}}$ ${\displaystyle v_{z}}$ ${\textstyle {\frac {kT}{m}}}$

$${\displaystyle f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)=f_{v}(v_{x})f_{v}(v_{y})f_{v}(v_{z})}$$

$${\displaystyle f_{v}(v_{i})={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\exp \left(-{\frac {mv_{i}^{2}}{2kT}}\right).}$$

Cada componente del vector velocidad tiene una distribución normal con media y desviación estándar , por lo que el vector tiene una distribución normal tridimensional, un tipo particular de distribución normal multivariada , con media y covarianza , donde está la matriz identidad de 3 × 3 . ${\displaystyle \mu _{v_{x}}=\mu _{v_{y}}=\mu _{v_{z}}=0}$ ${\textstyle \sigma _{v_{x}}=\sigma _{v_{y}}=\sigma _{v_{z}}={\sqrt {\frac {kT}{m}}}}$ ${\displaystyle \mu _{\mathbf {v} }=\mathbf {0} }$ ${\textstyle \Sigma _{\mathbf {v} }=\left({\frac {kT}{m}}\right)I}$ ${\displaystyle I}$

Distribución de la velocidad.

La distribución de Maxwell-Boltzmann para la velocidad se deriva inmediatamente de la distribución del vector de velocidad, arriba. Tenga en cuenta que la velocidad es

$${\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}$$

elemento de volumencoordenadas esféricas

$${\displaystyle dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}=v^{2}\sin \theta \,dv\,d\theta \,d\phi =v^{2}\,dv\,d\Omega }$$

coordenados esféricosLa integración ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d\Omega }$ ${\displaystyle 4\pi }$

${\displaystyle f(v)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\biggl [}{\frac {m}{kT}}{\biggr ]}^{\frac {3}{2}}v^{2}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right).}$

En el espacio n -dimensional

En norte -espacio dimensional, la distribución de Maxwell-Boltzmann se convierte en:

$${\displaystyle f(v)~d^{n}v={\biggl [}{\frac {m}{2\pi kT}}{\biggr ]}^{\frac {n}{2}}\,\exp \left(-{\frac {m|v|^{2}}{2kT}}\right)~d^{n}v}$$

La distribución de velocidad se convierte en:

$${\displaystyle f(v)~dv={\text{const.}}\times \exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)\times v^{n-1}~dv}$$

El siguiente resultado integral es útil:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{+\infty }v^{a}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)dv&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{\frac {a+1}{2}}\int _{0}^{+\infty }e^{-x}x^{a/2}\,dx^{1/2}\\[2pt]&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{\frac {a+1}{2}}\int _{0}^{+\infty }e^{-x}x^{a/2}{\frac {x^{-1/2}}{2}}\,dx\\[2pt]&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{\frac {a+1}{2}}{\frac {\Gamma \left({\frac {a+1}{2}}\right)}{2}}\end{aligned}}}$$

función Gammamomentos ${\displaystyle \Gamma (z)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle v\rangle &={\frac {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }v\cdot v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2kT}}\right)\,dv}{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2kT}}\right)\,dv}}\\[4pt]&={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}\ {\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\end{aligned}}}$$

media ${\textstyle v_{\mathrm {avg} }=\langle v\rangle ={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}\ {\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle v^{2}\rangle &={\frac {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }v^{2}\cdot v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2kT}}\right)\,dv}{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2kT}}\right)\,dv}}\\[2pt]&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]{\frac {\Gamma ({\frac {n+2}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\\[2pt]&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]{\frac {n}{2}}={\frac {nkT}{m}}\end{aligned}}}$$

${\textstyle v_{\rm {rms}}={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {nkT}{m}}}.}$

La derivada de la función de distribución de velocidad:

$${\displaystyle {\frac {df(v)}{dv}}={\text{const.}}\times \exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right){\biggl [}-{\frac {mv}{kT}}v^{n-1}+(n-1)v^{n-2}{\biggr ]}=0}$$

Esto produce la velocidad más probable ( modo ) ${\textstyle v_{\rm {p}}={\sqrt {\frac {(n-1)kT}{m}}}.}$

Ver también

• Ecuación cuántica de Boltzmann
• Maxwell-Boltzmann estadísticas
• Distribución Maxwell-Jüttner
• Distribución Boltzmann
• distribución de Rayleigh
• Teoría cinética de los gases.

Referencias

1. Física estadística (segunda edición), F. Mandl, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN  9780471915331
2. Física universitaria: con física moderna (12.a edición), HD Young, RA Freedman (edición original), Addison-Wesley (Pearson International), 1.a edición: 1949, 12.a edición: 2008, ISBN 978-0-321-50130-1 
3. Enciclopedia de física (segunda edición), RG Lerner , GL Trigg, editores VHC, 1991, ISBN 3-527-26954-1 (Verlagsgesellschaft), ISBN 0-89573-752-3 (VHC Inc.)  
4. NA Krall y AW Trivelpiece, Principios de física del plasma, San Francisco Press, Inc., 1986, entre muchos otros textos sobre física básica del plasma
5. Ver:
   • Maxwell, JC (1860 A): Ilustraciones de la teoría dinámica de los gases. Parte I. Sobre los movimientos y colisiones de esferas perfectamente elásticas. Revista filosófica y revista científica de Londres, Edimburgo y Dublín , cuarta serie, vol.19, págs.19–32. [1]
   • Maxwell, JC (1860 B): Ilustraciones de la teoría dinámica de los gases. Parte II. Sobre el proceso de difusión de dos o más tipos de partículas en movimiento entre sí. Revista filosófica y revista científica de Londres, Edimburgo y Dublín , cuarta edición, vol.20, págs.21–37. [2]
6. HJW Müller-Kirsten (2013), Conceptos básicos de física estadística , 2.ª ed., World Scientific , ISBN 978-981-4449-53-3 , Capítulo 2. 
7. Raymond A. Serway; Jerry S. Faughn y Chris Vuille (2011). Física universitaria, volumen 1 (9ª ed.). pag. 352.ISBN​ 9780840068484.
8. El cálculo no se ve afectado por el hecho de que el nitrógeno sea diatómico. A pesar de la mayor capacidad calorífica (mayor energía interna a la misma temperatura) de los gases diatómicos en comparación con los gases monoatómicos, debido a su mayor número de grados de libertad , sigue siendo la energía cinética de traslación media . El nitrógeno al ser diatómico solo afecta el valor de la masa molar M = ${\displaystyle {{3RT} \over {M_{\text{m}}}}}$ 28 g/mol . Véase, por ejemplo, K. Prakashan, Engineering Physics (2001), 2.278.
9. El nitrógeno a temperatura ambiente se considera un gas diatómico "rígido", con dos grados de libertad rotacionales adicionales a los tres traslacionales, y el grado de libertad vibracional no accesible.
10. Gyenis, Balazs (2017). "Maxwell y la distribución normal: una colorida historia de probabilidad, independencia y tendencia hacia el equilibrio". Estudios de Historia y Filosofía de la Física Moderna . 57 : 53–65. arXiv : 1702.01411 . Código Bib : 2017SHPMP..57...53G. doi :10.1016/j.shpsb.2017.01.001. S2CID  38272381.
11. Boltzmann, L., "Weitere studien über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen". Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften en Viena, mathematisch-naturwissenschaftliche Classe , 66 , 1872, págs.
12. Boltzmann, L., "Über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung respektive den Sätzen über das Wärmegleichgewicht". Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften en Viena, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Classe . Abt. II, 76 , 1877, págs. 373–435. Reimpreso en Wissenschaftliche Abhandlungen , vol. II, págs. 164–223, Leipzig: Barth, 1909. Traducción disponible en : http://crystal.med.upenn.edu/sharp-lab-pdfs/2015SharpMatschinsky_Boltz1877_Entropy17.pdf Archivado el 5 de marzo de 2021 en Wayback Machine.
13. Enciclopedia de física de McGraw Hill (segunda edición), CB Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3 
14. Laurendeau, Normand M. (2005). Termodinámica estadística: fundamentos y aplicaciones. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 434.ISBN​ 0-521-84635-8., Apéndice N, página 434

Otras lecturas

• Física para científicos e ingenieros: con física moderna (sexta edición), PA Tipler, G. Mosca, Freeman, 2008, ISBN 0-7167-8964-7 
• Termodinámica, de los conceptos a las aplicaciones (segunda edición), A. Shavit, C. Gutfinger, CRC Press (Taylor and Francis Group, EE. UU.), 2009, ISBN 978-1-4200-7368-3 
• Termodinámica química , DJG Ives, Química Universitaria, Macdonald Technical and Scientific, 1971, ISBN 0-356-03736-3 
• Elementos de termodinámica estadística (segunda edición), LK Nash, Principios de química, Addison-Wesley, 1974, ISBN 0-201-05229-6 
• Ward, CA y Fang, G 1999, "Expresión para predecir el flujo de evaporación de líquidos: enfoque de la teoría de la tasa estadística", Physical Review E , vol. 59, núm. 1, págs. 429–40.
• Rahimi, P & Ward, CA 2005, "Cinética de la evaporación: enfoque de la teoría de la tasa estadística", Revista Internacional de Termodinámica , vol. 8, núm. 9, págs. 1-14.

enlaces externos

• "La distribución de velocidad de Maxwell" del proyecto de demostraciones Wolfram en Mathworld