Decimal periódico

Representación decimal de un número cuyos dígitos son periódicos.

Un decimal periódico o repetitivo es una representación decimal de un número cuyos dígitos son eventualmente periódicos (es decir, después de algún lugar, la misma secuencia de dígitos se repite para siempre); si esta secuencia consta solo de ceros (es decir, si solo hay un número finito de dígitos distintos de cero), se dice que el decimal es terminal y no se considera repetitivo.

Se puede demostrar que un número es racional si y solo si su representación decimal es periódica o finita. Por ejemplo, la representación decimal de ⁠1/3⁠ se vuelve periódico justo después del punto decimal , repitiendo el único dígito "3" para siempre, es decir, 0,333... Un ejemplo más complicado es ⁠3227/555⁠ , cuyo decimal se vuelve periódico en el segundo dígito después del punto decimal y luego repite la secuencia "144" para siempre, es decir, 5.8144144144.... Otro ejemplo de esto es ⁠593/53⁠ , que se vuelve periódico después del punto decimal, repitiendo el patrón de 13 dígitos "1886792452830" para siempre, es decir, 11.18867924528301886792452830....

La secuencia de dígitos que se repite infinitamente se llama repetend o reptend . Si el repetend es un cero, esta representación decimal se llama decimal terminal en lugar de decimal periódico, ya que los ceros se pueden omitir y el decimal termina antes de estos ceros. ^[1] Cada representación decimal terminal se puede escribir como una fracción decimal , una fracción cuyo denominador es una potencia de 10 (por ejemplo, 1,585 = ⁠1585/1000⁠ ); también puede escribirse como una relación de la forma ⁠a/2 ⁿ · 5 ^m⁠ (por ejemplo 1,585 = ⁠317/2 ³ · 5 ²⁠ ). Sin embargo, cada número con una representación decimal terminal también tiene trivialmente una segunda representación alternativa como un decimal periódico cuyo repetidor es el dígito 9 . Esto se obtiene disminuyendo el dígito final (más a la derecha) distinto de cero en uno y agregando un repetidor de 9. Dos ejemplos de esto son 1.000... = 0.999... y 1.585000... = 1.584999... . (Este tipo de decimal periódico se puede obtener por división larga si se usa una forma modificada del algoritmo de división habitual . ^[2] )

Cualquier número que no se puede expresar como cociente de dos números enteros se dice que es irracional . Su representación decimal no es ni finita ni se repite infinitamente, sino que se extiende eternamente sin repetición (véase § Todo número racional es un decimal finito o periódico). Ejemplos de tales números irracionales son √ 2 y π . ^[3]

Fondo

Notación

Existen varias convenciones de notación para representar decimales periódicas, pero ninguna de ellas es aceptada universalmente.

• Vinculum : En Estados Unidos , Canadá , India , Francia , Alemania , Italia , Suiza , República Checa , Eslovaquia , Eslovenia , Chile y Turquía , la convención es dibujar una línea horizontal (un vinculum) sobre el repetend. ^{[ cita requerida ]}
• Puntos : En algunos países islámicos, como Malasia , Marruecos , Pakistán , Túnez , Irán , Argelia y Egipto , así como en el Reino Unido , Nueva Zelanda , Australia , Sudáfrica , Japón , Tailandia , India, Corea del Sur , Singapur y la República Popular China , la convención es colocar puntos sobre los números más externos del repitido. ^{[ cita requerida ]}
• Paréntesis : en algunas partes de Europa , como Austria , Dinamarca , Finlandia , los Países Bajos , Noruega , Polonia , Rusia y Ucrania , así como Vietnam e Israel , la convención es encerrar la repetición entre paréntesis. Esto puede causar confusión con la notación para la incertidumbre estándar . ^{[ cita requerida ]}
• Arco : En España y algunos países de Latinoamérica , como Argentina , Brasil y México , también se utiliza la notación de arco sobre el repetend como alternativa al vinculum y la notación de puntos. ^{[ cita requerida ]}
• Elipsis : informalmente, los decimales periódicos se representan a menudo con puntos suspensivos (tres puntos, 0,333...), especialmente cuando las convenciones de notación anteriores se enseñan por primera vez en la escuela. Esta notación introduce incertidumbre en cuanto a qué dígitos deben repetirse e incluso si la repetición se está produciendo en absoluto, ya que tales elipsis también se emplean para números irracionales ; π , por ejemplo, puede representarse como 3,14159... ^{[ cita requerida ]}

En inglés, hay varias formas de leer en voz alta los decimales periódicos. Por ejemplo, 1.2 34 se puede leer como "uno coma dos que se repite tres cuatro", "uno coma dos que se repite tres cuatro", "uno coma dos que se repite tres cuatro" o "uno coma dos hasta el infinito tres cuatro". Del mismo modo, 11. 1886792452830 se puede leer como "once coma que se repite uno doble ocho seis siete nueve dos cuatro cinco dos ocho tres cero", "once coma que se repite uno doble ocho seis siete nueve dos cuatro cinco dos ocho tres cero", "once coma que se repite uno doble ocho seis siete nueve dos cuatro cinco dos ocho tres cero", "once coma que se repite uno doble ocho seis siete nueve dos cuatro cinco dos ocho tres cero" o "once coma hasta el infinito uno doble ocho seis siete nueve dos cuatro cinco dos ocho tres cero".

Expansión decimal y secuencia de recurrencia

Para convertir un número racional representado como fracción a forma decimal, se puede utilizar la división larga . Por ejemplo, considere el número racional ⁠5/74:​

  0.0 675 74 ) 5.00000 4.44 560 518 420 370 500

etc. Observe que en cada paso tenemos un resto; los restos sucesivos que se muestran arriba son 56, 42, 50. Cuando llegamos a 50 como resto, y bajamos el "0", nos encontramos dividiendo 500 por 74, que es el mismo problema con el que comenzamos. Por lo tanto, el decimal se repite: 0.0675 675 675 ....

Para cualquier fracción enteraA/B⁠ , el resto en el paso k, para cualquier entero positivo k , es A × 10 ^k (módulo B ).

Todo número racional es un decimal terminal o periódico.

Para cualquier divisor dado, solo puede haber un número finito de residuos diferentes. En el ejemplo anterior, los 74 residuos posibles son 0, 1, 2, ..., 73. Si en cualquier punto de la división el residuo es 0, la expansión termina en ese punto. Entonces, la longitud de la repetición, también llamada "período", se define como 0.

Si nunca aparece 0 como resto, entonces el proceso de división continúa para siempre y, eventualmente, debe aparecer un resto que ya haya aparecido antes. El siguiente paso en la división dará como resultado el mismo dígito nuevo en el cociente y el mismo resto nuevo que la vez anterior en que el resto era el mismo. Por lo tanto, la siguiente división repetirá los mismos resultados. La secuencia repetida de dígitos se llama "repeticiones" y tiene una longitud determinada mayor que 0, también llamada "período". ^[4]

En base 10, una fracción tiene un decimal periódico si y solo si , en términos más bajos , su denominador tiene factores primos además de 2 o 5, o en otras palabras, no se puede expresar como 2 ^m  5 ⁿ , donde m y n son números enteros no negativos.

Todo decimal periódico o finito es un número racional

Cada número decimal periódico satisface una ecuación lineal con coeficientes enteros y su única solución es un número racional. En el ejemplo anterior, α = 5,8144144144... satisface la ecuación

A continuación se describe el proceso de cómo encontrar estos coeficientes enteros.

Prueba formal

Dado un decimal periódico donde , , y son grupos de dígitos, sea , el número de dígitos de . Al multiplicar por se separan los grupos periódicos y terminales: ${\displaystyle x=a.b{\overline {c}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n=\lceil {\log _{10}b}\rceil }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 10^{n}}$

${\displaystyle 10^{n}x=ab.{\bar {c}}.}$

Si los decimales terminan en ( ), la prueba está completa. ^[5] Para los dígitos, sea donde es un grupo terminal de dígitos. Entonces, ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x=y.{\bar {c}}}$ ${\displaystyle y\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle c=d_{1}d_{2}\,...d_{k}}$

donde denota el i- ésimo dígito , y ${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle x=y+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c}{{(10^{k})}^{n}}}=y+\left(c\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{{(10^{k})}^{n}}}\right)-c.}$

Desde , ^[6] ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{{(10^{k})}^{n}}}={\frac {1}{1-10^{-k}}}}$

${\displaystyle x=y-c+{\frac {10^{k}c}{10^{k}-1}}.}$

Dado que es la suma de un entero ( ) y un número racional ( ), también es racional. ^[7] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y-c}$ ${\textstyle {\frac {10^{k}c}{10^{k}-1}}}$ ${\displaystyle x}$

Tabla de valores

Por lo tanto, la fracción es la fracción unitaria .1/norte⁠ y ℓ ₁₀ es la longitud de la repetición (decimal).

Las longitudes ℓ ₁₀ ( n ) de las repeticiones decimales de ⁠1/norte⁠ , n = 1, 2, 3, ..., son:

0, 0, 1, 0, 0, 1, 6, 0, 1, 0, 2, 1, 6, 6, 1, 0, 16, 1, 18, 0, 6, 2, 22, 1, 0, 6, 3, 6, 28, 1, 15, 0, 2, 16, 6, 1, 3, 18, 6, 0, 5, 6, 21, 2, 1, 22, 46, 1, 42, 0, 16, 6, 13, 3, 2, 6, 18, 28, 58, 1, 60, 15, 6, 0, 6, 2, 33, 16, 22, 6, 35, 1, 8, 3, 1, 18, 6, 6, 13, 0, 9, 5, 41, 6, 16, 21, 28, 2, 44, 1, 6, 22, 15, 46, 18, 1, 96, 42, 2, 0... (secuencia A051626 en la OEIS ).

A modo de comparación, las longitudes ℓ ₂ ( n ) de las repeticiones binarias de las fracciones ⁠1/norte⁠ , n = 1, 2, 3, ..., son:

0, 0, 2, 0, 4, 2, 3, 0, 6, 4, 10, 2, 12, 3, 4, 0, 8, 6, 18, 4, 6, 10, 11, 2, 20, 12, 18, 3, 28, 4, 5, 0, 10, 8, 12, 6, 36, 18, 12, 4, 20, 6, 14, 10, 12, 11, ... (=A007733[ n ], si n no es una potencia de 2, de lo contrario = 0).

Las repeticiones decimales de ⁠1/norte⁠ , n = 1, 2, 3, ..., son:

0, 0, 3, 0, 0, 6, 142857, 0, 1, 0, 09, 3, 076923, 714285, 6, 0, 0588235294117647, 5, 052631578947368421, 0, 047619, 45, 34782608695652173913, 6, 0, 384615, 037, 571428, 0344827586206896551724137931, 3, 032258064516129, 0, 03, 2941176470588235, 285714... (secuencia A036275 en la OEIS ).

Las longitudes de repetición decimales de ⁠1/pag⁠ , p = 2, 3, 5, ... ( n -ésimo primo), son:

0, 1, 0, 6, 2, 6, 16, 18, 22, 28, 15, 3, 5, 21, 46, 13, 58, 60, 33, 35, 8, 13, 41, 44, 96, 4, 34, 53, 108, 112, 42, 130, 8, 46, 148, 75, 78, 81, 166, 43, 178, 180, 95, 192, 98, 99, 30, 222, 113, 228, 232, 7, 30, 50, 256, 262, 268, 5, 69, 28, 141, 146, 153, 155, 312, 79... (secuencia A002371 en la OEIS ).

Los menores primos p para los cuales ⁠1/pag⁠ tiene una longitud de repetición decimal n , n = 1, 2, 3, ..., son:

3, 11, 37, 101, 41, 7, 239, 73, 333667, 9091, 21649, 9901, 53, 909091, 31, 17, 2071723, 19, 1111111111111111111, 3541, 43, 23, 11111111111111111111111, 99990001, 21401, 859, 757, 29, 3191, 211, 2791, 353, 67, 103, 71, 999999000001, 2028119, 909090909090909091, 900900900900990990990991, 1676321, 83, 127, 173... (secuencia A007138 en la OEIS ).

Los menores primos p para los cuales ⁠a/pag⁠ tiene n ciclos diferentes ( 1 ≤ k ≤ p −1 ), n = 1, 2, 3, ..., son:

7, 3, 103, 53, 11, 79, 211, 41, 73, 281, 353, 37, 2393, 449, 3061, 1889, 137, 2467, 16189, 641, 3109, 4973, 11087, 1321, 101, 7151, 7669, 757, 38629, 1231, 49663, 12289, 859, 239, 27581, 9613, 18131, 13757, 33931... (secuencia A054471 en la OEIS ).

Fracciones con denominadores primos

Una fracción en términos mínimos con un denominador primo distinto de 2 o 5 (es decir, coprimo con 10) siempre produce un decimal periódico. La longitud del segmento decimal periódico de ⁠1/pag⁠ es igual al orden de 10 módulo p . Si 10 es una raíz primitiva módulo p , entonces la longitud de repetición es igual a p  − 1; si no, entonces la longitud de repetición es un factor de p  − 1. Este resultado se puede deducir del pequeño teorema de Fermat , que establece que 10 ^{p −1} ≡ 1 (mod p ) .

La raíz digital de base 10 del recíproco de cualquier número primo mayor que 5 es 9. ^[8]

Si la longitud de repetición de ⁠1/pag⁠ para primo p es igual a p  − 1 entonces el repetido, expresado como un entero, se llama número cíclico .

Números cíclicos

Ejemplos de fracciones pertenecientes a este grupo son:

• ⁠1/7⁠ = 0. 142857 , 6 dígitos repetidos
• ⁠1/17⁠ = 0. 0588235294117647 , 16 dígitos repetidos
• ⁠1/19⁠ = 0. 052631578947368421 , 18 dígitos repetidos
• ⁠1/23⁠ = 0. 0434782608695652173913 , 22 dígitos repetidos
• ⁠1/29⁠ = 0. 0344827586206896551724137931 , 28 dígitos repetidos
• ⁠1/47⁠ = 0. 0212765957446808510638297872340425531914893617 , 46 dígitos repetidos
• ⁠1/59⁠ = 0. 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 , 58 dígitos repetidos
• ⁠1/61⁠ = 0. 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 , 60 dígitos repetidos
• ⁠1/97⁠ = 0. 010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567 , 96 dígitos repetidos

La lista puede continuar incluyendo las fracciones .1/109⁠ , ⁠1/113⁠ , ⁠1/131⁠ , ⁠1/149⁠ , ⁠1/167⁠ , ⁠1/179⁠ , ⁠1/181⁠ , ⁠1/193⁠ , ⁠1/223⁠ , ⁠1/229⁠ , etc. (secuencia A001913 en la OEIS ).

Todo múltiplo propio de un número cíclico (es decir, un múltiplo que tiene el mismo número de dígitos) es una rotación:

• ⁠1/7⁠ = 1 × 0, 142857 = 0, 142857
• ⁠2/7⁠ = 2 × 0, 142857 = 0, 285714
• ⁠3/7⁠ = 3 × 0, 142857 = 0, 428571
• ⁠4/7⁠ = 4 × 0, 142857 = 0, 571428
• ⁠5/7⁠ = 5 × 0, 142857 = 0, 714285
• ⁠6/7⁠ = 6 × 0, 142857 = 0, 857142

La razón del comportamiento cíclico se desprende de un ejercicio aritmético de división larga de ⁠1/7⁠ : los restos secuenciales son la secuencia cíclica {1, 3, 2, 6, 4, 5} . Véase también el artículo 142.857 para más propiedades de este número cíclico.

Una fracción que es cíclica tiene un decimal periódico de longitud par que se divide en dos secuencias en forma de complemento a nueve . Por ejemplo ⁠1/7⁠ comienza con '142' y va seguido de '857' mientras que ⁠6/7⁠ (por rotación) comienza '857' seguido de su complemento de nueves '142'.

La rotación de la repetición de un número cíclico siempre ocurre de tal manera que cada repetición sucesiva es un número mayor que el anterior. En la sucesión anterior, por ejemplo, vemos que 0,142857... < 0,285714... < 0,428571... < 0,571428... < 0,714285... < 0,857142.... Esto, para fracciones cíclicas con repeticiones largas, nos permite predecir fácilmente cuál será el resultado de multiplicar la fracción por cualquier número natural n, siempre que se conozca la repetición.

Un primo propio es un primo p que termina en el dígito 1 en base 10 y cuyo recíproco en base 10 tiene una repetición con longitud p  − 1. En tales primos, cada dígito 0, 1,..., 9 aparece en la secuencia repetida el mismo número de veces que cada otro dígito (es decir, ⁠pág  - 1/10⁠ veces). Son: ^{[9] : 166}

61, 131, 181, 461, 491, 541, 571, 701, 811, 821, 941, 971, 1021, 1051, 1091, 1171, 1181, 1291, 1301, 1349, 1381, 1531, 1571, 1621, 1741, 1811, 1829, 1861,... (secuencia A073761 en la OEIS ).

Un primo es un primo propio si y solo si es un primo reptend completo y congruente con 1 mod 10.

Si un primo p es a la vez primo reptend completo y primo seguro , entonces1/pag⁠ producirá un flujo de p  − 1 dígitos pseudoaleatorios . Esos números primos son

7, 23, 47, 59, 167, 179, 263, 383, 503, 863, 887, 983, 1019, 1367, 1487, 1619, 1823, 2063... (secuencia A000353 en la OEIS ).

Otros recíprocos de primos

Algunos recíprocos de primos que no generan números cíclicos son:

• ⁠1/3⁠ = 0,3 , que tiene un período (longitud de repetición) de 1.
• ⁠1/11⁠ = 0,09 , que tiene un período de dos.
• ⁠1/13⁠ = 0. 076923 , que tiene un período de seis.
• ⁠1/31⁠ = 0. 032258064516129 , que tiene un período de 15.
• ⁠1/37⁠ = 0,027 , que tiene un período de tres.
• ⁠1/41⁠ = 0,02439 , que tiene un período de cinco.
• ⁠1/43⁠ = 0. 023255813953488372093 , que tiene un período de 21.
• ⁠1/53⁠ = 0. 0188679245283 , que tiene un período de 13.
• ⁠1/67⁠ = 0. 014925373134328358208955223880597 , que tiene un período de 33.
• ⁠1/71⁠ = 0. 01408450704225352112676058338028169 , que tiene un período de 35.
• ⁠1/73⁠ = 0. 01369863 , que tiene un período de ocho.
• ⁠1/79⁠ = 0. 0126582278481 , que tiene un período de 13.
• ⁠1/83⁠ = 0. 01204819277108433734939759036144578313253 , que tiene un período de 41.
• ⁠1/89⁠ = 0. 01123595505617977528089887640449438202247191 , que tiene un período de 44.

(secuencia A006559 en la OEIS )

La razón es que 3 es divisor de 9, 11 es divisor de 99, 41 es divisor de 99999, etc. Para encontrar el período de ⁠1/pag⁠ , podemos comprobar si el primo p divide algún número 999...999 en el que el número de dígitos divide a p  − 1. Como el período nunca es mayor que p  − 1, podemos obtener esto calculando ⁠10 ^{p -1} - 1/pag⁠ . Por ejemplo, para 11 obtenemos

${\displaystyle {\frac {10^{11-1}-1}{11}}=909090909}$

y luego, mediante inspección, encuentre la repetición 09 y el período 2.

Los recíprocos de los primos pueden asociarse a varias secuencias de decimales periódicas. Por ejemplo, los múltiplos de ⁠1/13⁠ se puede dividir en dos conjuntos, con diferentes repeticiones. El primer conjunto es:

• ⁠1/13⁠ = 0,076923...
• ⁠10/13⁠ = 0,769230...
• ⁠9/13⁠ = 0,692307...
• ⁠12/13⁠ = 0,923076...
• ⁠3/13⁠ = 0,230769...
• ⁠4/13⁠ = 0,307692...,

donde la repetición de cada fracción es un reordenamiento cíclico de 076923. El segundo conjunto es:

• ⁠2/13⁠ = 0,153846...
• ⁠7/13⁠ = 0,538461...
• ⁠5/13⁠ = 0,384615...
• ⁠11/13⁠ = 0,846153...
• ⁠6/13⁠ = 0,461538...
• ⁠8/13⁠ = 0,615384...,

donde la repetición de cada fracción es un reordenamiento cíclico de 153846.

En general, el conjunto de múltiplos propios de los recíprocos de un primo p consta de n subconjuntos, cada uno con una longitud de repetición  k , donde nk  =  p  − 1.

Regla del paciente

Para un entero arbitrario n , la longitud L ( n ) de la repetición decimal de ⁠1/norte⁠ divide φ ( n ), donde φ es la función totient . La longitud es igual a φ ( n ) si y solo si 10 es una raíz primitiva módulo n . ^[10]

En particular, se deduce que L ( p ) = p − 1 si y solo si p es un primo y 10 es una raíz primitiva módulo p . Entonces, las expansiones decimales de ⁠norte/pag⁠ para n = 1, 2, ..., p  − 1, todos tienen periodo p  − 1 y difieren solo por una permutación cíclica. Tales números p se denominan primos repetitivos completos .

Recíprocos de números enteros compuestos coprimos con 10

Si p es un primo distinto de 2 o 5, la representación decimal de la fracción1/pág. ²⁠ repite:

⁠1/49⁠ = 0. 020408163265306122448979591836734693877551 .

El período (longitud de repetición) L (49) debe ser un factor de λ (49) = 42, donde λ ( n ) se conoce como la función de Carmichael . Esto se desprende del teorema de Carmichael que establece que si n es un entero positivo, entonces λ ( n ) es el entero más pequeño m tal que

${\displaystyle a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}}$

para cada entero a que sea coprimo con n .

El período de ⁠1/pág. ²⁠ suele ser pT _p , donde T _p es el período de ⁠1/pag⁠ . Hay tres primos conocidos para los que esto no es cierto, y para ellos el período de ⁠1/pág. ²⁠ es lo mismo que el período de ⁠1/pag⁠ porque p ² divide a 10 ^{p −1} −1. Estos tres primos son 3, 487 y 56598313 (secuencia A045616 en la OEIS ). ^[11]

De manera similar, el período de ⁠1/paquete^​⁠ suele ser p ^{k –1} T _p

Si p y q son primos distintos de 2 o 5, la representación decimal de la fracción ⁠1/pq⁠ se repite. Un ejemplo es ⁠1/119:​

119 = 7 × 17

λ (7 × 17) = MCM ( λ (7), λ (17)) = MCM(6, 16) = 48,

donde MCM denota el mínimo común múltiplo .

El período T de ⁠1/pq⁠ es un factor de λ ( pq ) y resulta ser 48 en este caso:

⁠1/119⁠ = 0. 008403361344537815126050420168067226890756302521 .

El período T de ⁠1/pq⁠ es MCM( T _p ,  T _q ), donde T _p es el período de ⁠1/pag⁠ y T _q es el periodo de ⁠1/q⁠ .

Si p , q , r , etc. son primos distintos de 2 o 5, y k , ℓ , m , etc. son números enteros positivos, entonces

${\displaystyle {\frac {1}{p^{k}q^{\ell }r^{m}\cdots }}}$

es un decimal periódico con un período de

${\displaystyle \operatorname {LCM} (T_{p^{k}},T_{q^{\ell }},T_{r^{m}},\ldots )}$

donde T _{p ^k} , T _{q ^ℓ} , T _{r ^m} ,... son respectivamente el período de los decimales periódicos ⁠1/paquete^​⁠ , ⁠1/qℓ^​⁠ , ⁠1/yo ^soy⁠ ,... como se define anteriormente.

Recíprocos de números enteros no coprimos con 10

Un número entero que no es coprimo con 10 pero tiene un factor primo distinto de 2 o 5 tiene un recíproco que es eventualmente periódico, pero con una secuencia no repetitiva de dígitos que preceden a la parte repetitiva. El recíproco se puede expresar como:

${\displaystyle {\frac {1}{2^{a}\cdot 5^{b}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,}$

donde a y b no son ambos cero.

Esta fracción también se puede expresar como:

${\displaystyle {\frac {5^{a-b}}{10^{a}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,}$

si a > b , o como

${\displaystyle {\frac {2^{b-a}}{10^{b}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,}$

si b > a , o como

${\displaystyle {\frac {1}{10^{a}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,}$

si a = b .

El decimal tiene:

• Un transitorio inicial de un máximo de ( a ,  b ) dígitos después del punto decimal. Algunos o todos los dígitos del transitorio pueden ser ceros.
• Una repetición posterior que es la misma que la de la fracción ⁠1/p ^k q ^ℓ ⋯⁠ .

Por ejemplo ⁠1/28⁠ = 0,03 571428 :

• a = 2, b = 0 y los otros factores p ^k q ^ℓ ⋯ = 7
• Hay 2 dígitos iniciales que no se repiten, 03; y
• Hay 6 dígitos repetidos, 571428, la misma cantidad que ⁠1/7⁠ tiene.

Convertir decimales periódicos en fracciones

Dado un decimal periódico, es posible calcular la fracción que lo produce. Por ejemplo:

Otro ejemplo:

Un atajo

El procedimiento siguiente se puede aplicar en particular si la repetición tiene n dígitos, todos los cuales son 0 excepto el último que es 1. Por ejemplo, para n  = 7:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.000000100000010000001\ldots \\10^{7}x&=1.000000100000010000001\ldots \\\left(10^{7}-1\right)x=9999999x&=1\\x&={\frac {1}{10^{7}-1}}={\frac {1}{9999999}}\end{aligned}}}$

Entonces, este decimal periódico en particular corresponde a la fracción1/10 ⁿ  -1⁠ , donde el denominador es el número escrito como n 9s. Sabiendo eso, un decimal periódico general se puede expresar como una fracción sin tener que resolver una ecuación. Por ejemplo, se podría razonar:

${\displaystyle {\begin{aligned}7.48181818\ldots &=7.3+0.18181818\ldots \\[8pt]&={\frac {73}{10}}+{\frac {18}{99}}={\frac {73}{10}}+{\frac {9\cdot 2}{9\cdot 11}}={\frac {73}{10}}+{\frac {2}{11}}\\[12pt]&={\frac {11\cdot 73+10\cdot 2}{10\cdot 11}}={\frac {823}{110}}\end{aligned}}}$

o

${\displaystyle {\begin{aligned}11.18867924528301886792452830\ldots &=11+0.18867924528301886792452830\ldots \\[8pt]&=11+{\frac {10}{53}}={\frac {11\cdot 53+10}{53}}={\frac {593}{53}}\end{aligned}}}$

Es posible obtener una fórmula general que exprese un decimal periódico con un período de n dígitos (longitud de repetición), que comienza justo después del punto decimal, como una fracción:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\10^{n}x&=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\[5pt]\left(10^{n}-1\right)x=99\cdots 99x&=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\\[5pt]x&={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{10^{n}-1}}={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{99\cdots 99}}\end{aligned}}}$

De forma más explícita se obtienen los siguientes casos:

Si el decimal periódico está entre 0 y 1, y el bloque de repetición tiene n dígitos de longitud, apareciendo primero justo después del punto decimal, entonces la fracción (no necesariamente reducida) será el número entero representado por el bloque de n dígitos dividido por el representado por n 9. Por ejemplo,

• 0,444444... = ⁠4/9⁠ dado que el bloque repetitivo es 4 (un bloque de 1 dígito),
• 0,565656... = ⁠56/99⁠ dado que el bloque repetitivo es 56 (un bloque de 2 dígitos),
• 0,012012... = ⁠12/999⁠ dado que el bloque repetitivo es 012 (un bloque de 3 dígitos); esto se reduce aún más a ⁠4/333⁠ .
• 0,999999... = ⁠9/9⁠ = 1, ya que el bloque repetitivo es 9 (también un bloque de 1 dígito)

Si el decimal periódico es como el anterior, excepto que hay k dígitos (adicionales) 0 entre el punto decimal y el bloque de n dígitos periódicos, entonces uno puede simplemente agregar k dígitos 0 después de los n dígitos 9 del denominador (y, como antes, la fracción puede ser simplificada posteriormente). Por ejemplo,

• 0,000444... = ⁠4/9000⁠ dado que el bloque que se repite es 4 y este bloque está precedido por 3 ceros,
• 0,005656... = ⁠56/9900⁠ dado que el bloque que se repite es 56 y está precedido por 2 ceros,
• 0,00012012... = ⁠12/99900⁠ = ⁠1/8325⁠ ya que el bloque que se repite es 012 y está precedido por 2 ceros.

Cualquier decimal periódico que no tenga la forma descrita anteriormente se puede escribir como una suma de un decimal exacto y un decimal periódico de uno de los dos tipos anteriores (en realidad, el primer tipo es suficiente, pero eso podría requerir que el decimal exacto sea negativo). Por ejemplo,

• 1,23444... = 1,23 + 0,00444... = ⁠123/100⁠ + ⁠4/900⁠ = ⁠1107/900⁠ + ⁠4/900⁠ = ⁠1111/900⁠
  • o alternativamente 1,23444... = 0,79 + 0,44444... = ⁠79/100⁠ + ⁠4/9⁠ = ⁠711/900⁠ + ⁠400/900⁠ = ⁠1111/900⁠
• 0,3789789... = 0,3 + 0,0789789... = ⁠3/10⁠ + ⁠789/9990⁠ = ⁠2997/9990⁠ + ⁠789/9990⁠ = ⁠3786/9990⁠ = ⁠631/1665⁠
  • o alternativamente 0,3789789... = −0,6 + 0,9789789... = −6/10+ 978/999 = −5994/9990⁠ + ⁠9780/9990⁠ = ⁠3786/9990⁠ = ⁠631/1665⁠

Un método aún más rápido es ignorar el punto decimal por completo y hacerlo así

• 1.23444... = ⁠1234 − 123/900⁠ = ⁠1111/900⁠ (el denominador tiene un 9 y dos 0 porque un dígito se repite y hay dos dígitos que no se repiten después del punto decimal)
• 0,3789789... = ⁠3789 − 3/9990⁠ = ⁠3786/9990( el denominador tiene tres 9 y un 0 porque tres dígitos se repiten y hay un dígito que no se repite después del punto decimal)

De ello se deduce que cualquier decimal periódico con período n y k dígitos después del punto decimal que no pertenecen a la parte repetida, puede escribirse como una fracción (no necesariamente reducida) cuyo denominador es (10 ⁿ  − 1)10 ^k .

Por el contrario, el período del decimal periódico de una fraccióndo/d⁠ será (como máximo) el número más pequeño n tal que 10 ⁿ  − 1 sea divisible por d .

Por ejemplo, la fracción ⁠2/7⁠ tiene d = 7, y el k más pequeño que hace que 10 ^k  − 1 sea divisible por 7 es k = 6, porque 999999 = 7 × 142857. El período de la fracción ⁠2/7⁠ es por lo tanto 6.

En forma comprimida

La siguiente imagen sugiere una especie de compresión del atajo anterior. Representa los dígitos de la parte entera del número decimal (a la izquierda del punto decimal), forma la cadena de dígitos del prepunto y su longitud, y es la cadena de dígitos repetidos (el punto) con una longitud distinta de cero. ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \#\mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \#\mathbf {P} }$

Regla de formación

En la fracción generada, el dígito se repetirá veces, y el dígito se repetirá veces. ${\displaystyle 9}$ ${\displaystyle \#\mathbf {P} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \#\mathbf {A} }$

Nótese que en ausencia de una parte entera en el decimal, se representará por el cero, que al estar a la izquierda de los demás dígitos, no afectará el resultado final, pudiendo omitirse en el cálculo de la función generadora. ${\displaystyle \mathbf {I} }$

Ejemplos:

$${\displaystyle {\begin{array}{lllll}3.254444\ldots &=3.25{\overline {4}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =3&\mathbf {A} =25&\mathbf {P} =4\\&\#\mathbf {A} =2&\#\mathbf {P} =1\end{Bmatrix}}&={\dfrac {3254-325}{900}}&={\dfrac {2929}{900}}\\\\0.512512\ldots &=0.{\overline {512}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =0&\mathbf {A} =\emptyset &\mathbf {P} =512\\&\#\mathbf {A} =0&\#\mathbf {P} =3\end{Bmatrix}}&={\dfrac {512-0}{999}}&={\dfrac {512}{999}}\\\\1.09191\ldots &=1.0{\overline {91}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =1&\mathbf {A} =0&\mathbf {P} =91\\&\#\mathbf {A} =1&\#\mathbf {P} =2\end{Bmatrix}}&={\dfrac {1091-10}{990}}&={\dfrac {1081}{990}}\\\\1.333\ldots &=1.{\overline {3}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =1&\mathbf {A} =\emptyset &\mathbf {P} =3\\&\#\mathbf {A} =0&\#\mathbf {P} =1\end{Bmatrix}}&={\dfrac {13-1}{9}}&={\dfrac {12}{9}}&={\dfrac {4}{3}}\\\\0.3789789\ldots &=0.3{\overline {789}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =0&\mathbf {A} =3&\mathbf {P} =789\\&\#\mathbf {A} =1&\#\mathbf {P} =3\end{Bmatrix}}&={\dfrac {3789-3}{9990}}&={\dfrac {3786}{9990}}&={\dfrac {631}{1665}}\end{array}}}$$

El símbolo en los ejemplos anteriores denota la ausencia de dígitos de parte en el decimal y, por lo tanto , una ausencia correspondiente en la fracción generada. ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \#\mathbf {A} =0}$

Decimales periódicos como series infinitas

Un decimal periódico también puede expresarse como una serie infinita . Es decir, un decimal periódico puede considerarse como la suma de un número infinito de números racionales. Para tomar el ejemplo más simple,

${\displaystyle 0.{\overline {1}}={\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{1000}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{n}}}}$

La serie anterior es una serie geométrica con el primer término como ⁠1/10⁠ y el factor común ⁠1/10⁠ . Como el valor absoluto del factor común es menor que 1, podemos decir que la serie geométrica converge y encontrar el valor exacto en forma de fracción utilizando la siguiente fórmula donde a es el primer término de la serie y r es el factor común.

${\displaystyle {\frac {a}{1-r}}={\frac {\frac {1}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {1}{10-1}}={\frac {1}{9}}}$

Similarmente,

${\displaystyle {\begin{aligned}0.{\overline {142857}}&={\frac {142857}{10^{6}}}+{\frac {142857}{10^{12}}}+{\frac {142857}{10^{18}}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {142857}{10^{6n}}}\\[6px]\implies &\quad {\frac {a}{1-r}}={\frac {\frac {142857}{10^{6}}}{1-{\frac {1}{10^{6}}}}}={\frac {142857}{10^{6}-1}}={\frac {142857}{999999}}={\frac {1}{7}}\end{aligned}}}$

Multiplicación y permutación cíclica

El comportamiento cíclico de los decimales periódicos en la multiplicación también conduce a la construcción de números enteros que se permutan cíclicamente cuando se multiplican por ciertos números. Por ejemplo, 102564 × 4 = 410256 . 102564 es la repetición de ⁠4/39⁠ y 410256 la repetición de ⁠16/39⁠ .

Otras propiedades de las longitudes de repetición

^{Mitchell [12]} y Dickson ^[13] dan varias propiedades de las longitudes de repetición (períodos) .

• El período de ⁠1/a⁠ para un entero k siempre es ≤  k  − 1.
• Si p es primo, el período de ⁠1/pag⁠ se divide uniformemente en p  − 1.
• Si k es compuesto, el período de ⁠1/a⁠ es estrictamente menor que k  − 1.
• El período de ⁠do/a⁠ , para c coprimo con k , es igual al período de ⁠1/a⁠ .
• Si k  = 2 ^a ·5 ^b n donde n  > 1 y n no es divisible por 2 o 5, entonces la longitud del transitorio de ⁠1/a⁠ es máx( a ,  b ), y el período es igual a r , donde r es el orden multiplicativo de 10 mod n, es decir, el entero más pequeño tal que 10 ^r ≡ 1 (mod n ) .
• Si p , p′ , p″ ,... son primos distintos, entonces el período de ⁠1/p p′ p″ ⋯⁠ es igual al mínimo común múltiplo de los periodos de ⁠1/pag⁠ , ⁠1/pag'⁠ , ⁠1/pag"⁠ ,....
• Si k y k′ no tienen factores primos comunes distintos de 2 o 5, entonces el período de ⁠1/yo⁠ es igual al mínimo común múltiplo de los periodos de ⁠1/a⁠ y ⁠1/k′⁠ .
• Para el primo p , si

${\displaystyle {\text{period}}\left({\frac {1}{p}}\right)={\text{period}}\left({\frac {1}{p^{2}}}\right)=\cdots ={\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m}}}\right)}$

para algunos m , pero

${\displaystyle {\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m}}}\right)\neq {\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m+1}}}\right),}$

entonces para c  ≥ 0 tenemos

${\displaystyle {\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m+c}}}\right)=p^{c}\cdot {\text{period}}\left({\frac {1}{p}}\right).}$

• Si p es un primo propio que termina en 1, es decir, si la repetición de ⁠1/pag⁠ es un número cíclico de longitud p  − 1 y p = 10 h  + 1 para algún h , entonces cada dígito 0, 1, ..., 9 aparece en la repetición exactamente h =  ⁠pág  - 1/10⁠ veces.

Para conocer otras propiedades de los repetiendos, véase también. ^[14]

Ampliación a otras bases

Varias características de los decimales periódicos se extienden a la representación de números en todas las demás bases enteras, no solo en la base 10:

• Todo número real puede representarse como una parte entera seguida de un punto decimal (la generalización de un punto decimal a sistemas no decimales) seguido de un número finito o infinito de dígitos .
• Si la base es un número entero, una secuencia terminal obviamente representa un número racional.
• Un número racional tiene una sucesión terminal si todos los factores primos del denominador de la forma fraccionaria totalmente reducida son también factores de la base. Estos números forman un conjunto denso en Q y R .
• Si el sistema de numeración posicional es estándar, es decir, tiene base

${\displaystyle b\in \mathbb {Z} \smallsetminus \{-1,0,1\}}$

combinado con un conjunto consecutivo de dígitos

${\displaystyle D:=\{d_{1},d_{1}+1,\dots ,d_{r}\}}$

con r  := | b | , d _r  := d ₁ + r − 1 y 0 ∈ D , entonces una secuencia terminal es obviamente equivalente a la misma secuencia con una parte repetitiva no terminal que consiste en el dígito 0. Si la base es positiva, entonces existe un homomorfismo de orden desde el orden lexicográfico de las cadenas infinitas del lado derecho sobre el alfabeto D hacia algún intervalo cerrado de los reales, que mapea las cadenas 0. A ₁ A ₂ ... A _n d _b y 0. A ₁ A ₂ ...( A _n +1) d ₁ con A _i ∈ D y A _n ≠ d _b al mismo número real – y no hay otras imágenes duplicadas. En el sistema decimal, por ejemplo, hay 0. 9  = 1. 0  = 1; en el sistema ternario balanceado hay 0. 1  = 1. T  =  ⁠1/2⁠ .

• Un número racional tiene una secuencia repetitiva indefinida de longitud finita l , si el denominador de la fracción reducida contiene un factor primo que no es un factor de la base. Si q es el factor máximo del denominador reducido que es coprimo con la base, l es el exponente más pequeño tal que q divide a b ^ℓ − 1 . Es el orden multiplicativo ord _q ( b ) de la clase de residuo b mod q que es un divisor de la función de Carmichael λ ( q ) que a su vez es menor que q . La secuencia repetitiva está precedida por un transitorio de longitud finita si la fracción reducida también comparte un factor primo con la base. Una secuencia repetitiva

${\displaystyle \left(0.{\overline {A_{1}A_{2}\ldots A_{\ell }}}\right)_{b}}$

representa la fracción

${\displaystyle {\frac {(A_{1}A_{2}\ldots A_{\ell })_{b}}{b^{\ell }-1}}.}$

• Un número irracional tiene una representación de longitud infinita que no es, desde ningún punto, una secuencia repetida indefinidamente de longitud finita.

Por ejemplo, en duodecimal , ⁠1/2⁠ = 0,6, ⁠1/3⁠ = 0,4, ⁠1/4⁠ = 0,3 y ⁠1/6⁠ = 0,2 todos terminan ;1/5⁠ = 0,2497 repeticiones con una longitud de período de 4, en contraste con la expansión decimal equivalente de 0,2 ;1/7⁠ = 0.186A35 tiene período 6 en duodecimal, tal como lo hace en decimal.

Si b es una base entera y k es un entero, entonces

${\displaystyle {\frac {1}{k}}={\frac {1}{b}}+{\frac {(b-k)^{1}}{b^{2}}}+{\frac {(b-k)^{2}}{b^{3}}}+{\frac {(b-k)^{3}}{b^{4}}}+\cdots +{\frac {(b-k)^{N-1}}{b^{N}}}+\cdots ={\frac {1}{b}}{\frac {1}{1-{\frac {b-k}{b}}}}.}$

Por ejemplo 1/7 en duodecimal: $${\displaystyle {\frac {1}{7}}=\left({\frac {1}{10^{\phantom {1}}}}+{\frac {5}{10^{2}}}+{\frac {21}{10^{3}}}+{\frac {A5}{10^{4}}}+{\frac {441}{10^{5}}}+{\frac {1985}{10^{6}}}+\cdots \right)_{\text{base 12}}}$$

que es 0.186A35 _base12 . 10 _base12 es 12 _base10 , 10 ² _base12 es 144 _base10 , 21 _base12 es 25 _base10 , A5 _base12 es 125 _base10 .

Algoritmo para bases positivas

Para un racional 0 < ⁠pag/q⁠ < 1 (y base b ∈ N _>1 ) existe el siguiente algoritmo que produce la repetición junto con su longitud:

function b_adic ( b , p , q ) // b ≥ 2; 0 < p < q digits = "0123..." ; // hasta el dígito con valor b–1 begin s = "" ; // la cadena de dígitos pos = 0 ; // todos los lugares están a la derecha del punto de la base while notdefined ( occurrence [ p ] ) do happen [ p ] = pos ; // la posición del lugar con resto p bp = b * p ; z = floor ( bp / q ) ; // índice z del dígito dentro de: 0 ≤ z ≤ b-1 p = b * p − z * q ; // 0 ≤ p < q if p = 0 then L = 0 ; if not z = 0 then s = s . substring ( digits , z , 1 ) end if return ( s ) ; end if s = s . substring ( dígitos , z , 1 ) ; // agrega el carácter del dígito pos += 1 ; fin while L = pos - happen [ p ] ; // la longitud de la repetición (siendo < q) // marca los dígitos de la repetición con un vínculo: for i from happen [ p ] to pos - 1 do substring ( s , i , 1 ) = overline ( substring ( s , i , 1 )) ; fin for return ( s ) ; fin                                                                                                      función

La primera línea resaltada calcula el dígito z .

La línea siguiente calcula el nuevo resto p′ de la división módulo el denominador q . Como consecuencia de la función base floor tenemos

${\displaystyle {\frac {bp}{q}}-1\;\;<\;\;z=\left\lfloor {\frac {bp}{q}}\right\rfloor \;\;\leq \;\;{\frac {bp}{q}},}$

de este modo

${\displaystyle bp-q<zq\quad \implies \quad p':=bp-zq<q}$

y

${\displaystyle zq\leq bp\quad \implies \quad 0\leq bp-zq=:p'\,.}$

Como todos estos residuos p son enteros no negativos menores que q , solo puede haber un número finito de ellos, con la consecuencia de que deben repetirse en el whilebucle. Tal repetición se detecta mediante la matriz asociativa occurs . El nuevo dígito z se forma en la línea amarilla, donde p es el único no constante. La longitud L del repetidor es igual al número de residuos (véase también la sección Todo número racional es un decimal exacto o periódico).

Aplicaciones de la criptografía

Los decimales periódicos (también llamados secuencias decimales) han encontrado aplicaciones en codificación criptográfica y de corrección de errores. ^[15] En estas aplicaciones se utilizan generalmente decimales periódicos de base 2 que dan lugar a secuencias binarias. La longitud máxima de una secuencia binaria para ⁠1/pag⁠ (cuando 2 es una raíz primitiva de p ) viene dada por: ^[16]

${\displaystyle a(i)=2^{i}{\bmod {p}}{\bmod {2}}}$

Estas secuencias de periodo p  − 1 tienen una función de autocorrelación que tiene un pico negativo de −1 para el desplazamiento de ⁠pág  - 1/2La aleatoriedad de estas secuencias ha sido examinada mediante pruebas rigurosas . ^[17]

Véase también

• Representación decimal
• Primera repetición completa
• Teorema de Midy
• Número parásito
• Cero final
• Prima única
• 0,999... , un decimal periódico igual a uno
• Principio del casillero

Notas

1. Courant, R. y Robbins, H. ¿Qué son las matemáticas?: Un enfoque elemental de ideas y métodos, 2.ª ed. Oxford, Inglaterra: Oxford University Press, 1996: pág. 67.
2. Beswick, Kim (2004), "¿Por qué 0,999... = 1?: Una pregunta perenne y el sentido numérico", Australian Mathematics Teacher , 60 (4): 7–9
3. "La prueba original de Lambert de que $\pi$ es irracional". Mathematics Stack Exchange . Consultado el 19 de diciembre de 2023 .
4. Para una base b y un divisor n , en términos de la teoría de grupos esta longitud divide

   ${\displaystyle \operatorname {ord} _{n}(b):=\min\{L\in \mathbb {N} \,\mid \,b^{L}\equiv 1{\bmod {n}}\}}$

   (con aritmética modular ≡ 1 mod n ) que divide la función de Carmichael

   ${\displaystyle \lambda (n):=\max\{\operatorname {ord} _{n}(b)\,\mid \,\gcd(b,n)=1\}}$

   que nuevamente divide la función totiente de Euler φ ( n ).
5. Vuorinen, Aapeli. "Los números racionales tienen expansiones decimales periódicas". Aapeli Vuorinen . Consultado el 23 de diciembre de 2023 .
6. "Los conjuntos de decimales periódicos". www.sjsu.edu . Archivado desde el original el 23 de diciembre de 2023 . Consultado el 23 de diciembre de 2023 .
7. RoRi (1 de marzo de 2016). «Demuestre que cada decimal periódico representa un número racional». Stumbling Robot . Archivado desde el original el 23 de diciembre de 2023. Consultado el 23 de diciembre de 2023 .
8. Gray, Alexander J. (marzo de 2000). "Raíces digitales y recíprocos de primos". Mathematical Gazette . 84 (499): 86. doi :10.2307/3621484. JSTOR  3621484. S2CID  125834304. Para primos mayores de 5, todas las raíces digitales parecen tener el mismo valor, 9. Podemos confirmar esto si...
9. Dickson, LE, Historia de la teoría de los números , Volumen 1, Chelsea Publishing Co., 1952.
10. William E. Heal. Algunas propiedades de las repeticiones. Anales de matemáticas, vol. 3, n.º 4 (agosto de 1887), págs. 97-103
11. Albert H. Beiler, Recreaciones en la teoría de números , pág. 79
12. Mitchell, Douglas W., "Un generador de números aleatorios no lineal con una longitud de ciclo conocida", Cryptologia 17, enero de 1993, págs. 55-62.
13. Dickson, Leonard E. , Historia de la teoría de los números , vol. I , Chelsea Publ. Co., 1952 (orig. 1918), págs. 164-173.
14. Armstrong, NJ, y Armstrong, RJ, "Algunas propiedades de los repetindos", Mathematical Gazette 87, noviembre de 2003, págs. 437–443.
15. Kak, Subhash, Chatterjee, A. "Sobre secuencias decimales". IEEE Transactions on Information Theory , vol. IT-27, págs. 647–652, septiembre de 1981.
16. Kak, Subhash, "Cifrado y corrección de errores mediante secuencias d". IEEE Transactios on Computers , vol. C-34, págs. 803–809, 1985.
17. Bellamy, J. "Aleatoriedad de secuencias D mediante pruebas rigurosas". 2013. arXiv :1312.3618

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Decimal repetitivo". MathWorld .