Formalismo posnewtoniano parametrizado

Herramienta de cálculo sobre energía, que vincula la relatividad general con la física clásica

En física , precisamente en el estudio de la teoría de la relatividad general y muchas alternativas a ella , el formalismo posnewtoniano es una herramienta de cálculo que expresa las ecuaciones de gravedad (no lineales) de Einstein en términos de las desviaciones de orden más bajo de la ley universal de Newton. gravitación . Esto permite realizar aproximaciones a las ecuaciones de Einstein en el caso de campos débiles. Se pueden agregar términos de orden superior para aumentar la precisión, pero para campos fuertes, puede ser preferible resolver numéricamente las ecuaciones completas. Algunas de estas aproximaciones post-newtonianas son expansiones en un pequeño parámetro, que es la relación entre la velocidad de la materia que forma el campo gravitacional y la velocidad de la luz , que en este caso es mejor llamarla velocidad de la gravedad . En el límite, cuando la velocidad fundamental de la gravedad se vuelve infinita, la expansión post-Newtoniana se reduce a la ley de gravedad de Newton .

El formalismo post-newtoniano parametrizado o formalismo PPN , es una versión de esta formulación que detalla explícitamente los parámetros en los que una teoría general de la gravedad puede diferir de la gravedad newtoniana. Se utiliza como herramienta para comparar la gravedad newtoniana y einsteiniana en el límite en el que el campo gravitacional es débil y generado por objetos que se mueven lentamente en comparación con la velocidad de la luz. En general, el formalismo PPN se puede aplicar a todas las teorías métricas de la gravitación en las que todos los cuerpos satisfacen el principio de equivalencia de Einstein (EEP). La velocidad de la luz permanece constante en el formalismo PPN y se supone que el tensor métrico es siempre simétrico.

Historia

Las primeras parametrizaciones de la aproximación posnewtoniana fueron realizadas por Sir Arthur Stanley Eddington en 1922. Sin embargo, se ocupaban únicamente del campo gravitacional del vacío fuera de un cuerpo esférico aislado. Ken Nordtvedt (1968, 1969) amplió esto para incluir siete parámetros en artículos publicados en 1968 y 1969. Clifford Martin Will introdujo una descripción de materia continua y estresada de los cuerpos celestes en 1971.

Las versiones aquí descritas se basan en Wei-Tou Ni (1972), Will y Nordtvedt (1972), Charles W. Misner et al. (1973) (ver Gravitación (libro) ) y Will (1981, 1993) y tienen diez parámetros.

Notación beta-delta

Diez parámetros posnewtonianos caracterizan completamente el comportamiento de campo débil de la teoría. El formalismo ha sido una herramienta valiosa en las pruebas de relatividad general . En la notación de Will (1971), Ni (1972) y Misner et al. (1973) tienen los siguientes valores:

${\displaystyle g_{\mu \nu }}$es el tensor métrico simétrico de 4 por 4 con índices que van de 0 a 3. A continuación, un índice de 0 indicará la dirección del tiempo y los índices y (de 1 a 3) indicará direcciones espaciales. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

En la teoría de Einstein, los valores de estos parámetros se eligen (1) para ajustarse a la Ley de gravedad de Newton en el límite de velocidades y masas cercanas a cero, (2) para asegurar la conservación de la energía , la masa , el momento y el momento angular , y (3 ) para hacer las ecuaciones independientes del sistema de referencia . En esta notación, la relatividad general tiene parámetros PPN y ${\displaystyle \gamma =\beta =\beta _{1}=\beta _{2}=\beta _{3}=\beta _{4}=\Delta _{1}=\Delta _{2}=1}$ ${\displaystyle \zeta =\eta =0.}$

Notación alfa-zeta

En la notación más reciente de Will y Nordtvedt (1972) y Will (1981, 1993, 2006) se utiliza un conjunto diferente de diez parámetros PPN.

${\displaystyle \gamma =\gamma }$

${\displaystyle \beta =\beta }$

${\displaystyle \alpha _{1}=7\Delta _{1}+\Delta _{2}-4\gamma -4}$

${\displaystyle \alpha _{2}=\Delta _{2}+\zeta -1}$

${\displaystyle \alpha _{3}=4\beta _{1}-2\gamma -2-\zeta }$

${\displaystyle \zeta _{1}=\zeta }$

${\displaystyle \zeta _{2}=2\beta +2\beta _{2}-3\gamma -1}$

${\displaystyle \zeta _{3}=\beta _{3}-1}$

${\displaystyle \zeta _{4}=\beta _{4}-\gamma }$

${\displaystyle \xi }$se calcula a partir de ${\displaystyle 3\eta =12\beta -3\gamma -9+10\xi -3\alpha _{1}+2\alpha _{2}-2\zeta _{1}-\zeta _{2}}$

El significado de estos es que miden el alcance de los efectos de fotograma preferidos . , , , y miden el fallo de conservación de la energía, el momento y el momento angular. ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{3}}$ ${\displaystyle \zeta _{1}}$ ${\displaystyle \zeta _{2}}$ ${\displaystyle \zeta _{3}}$ ${\displaystyle \zeta _{4}}$ ${\displaystyle \alpha _{3}}$

En esta notación, la relatividad general tiene parámetros PPN.

${\displaystyle \gamma =\beta =1}$y ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=\zeta _{1}=\zeta _{2}=\zeta _{3}=\zeta _{4}=\xi =0}$

La relación matemática entre la métrica, los potenciales métricos y los parámetros PPN para esta notación es:

${\displaystyle {\begin{matrix}g_{00}=-1+2U-2\beta U^{2}-2\xi \Phi _{W}+(2\gamma +2+\alpha _{3}+\zeta _{1}-2\xi )\Phi _{1}+2(3\gamma -2\beta +1+\zeta _{2}+\xi )\Phi _{2}\\\ +2(1+\zeta _{3})\Phi _{3}+2(3\gamma +3\zeta _{4}-2\xi )\Phi _{4}-(\zeta _{1}-2\xi )A-(\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3})w^{2}U\\\ -\alpha _{2}w^{i}w^{j}U_{ij}+(2\alpha _{3}-\alpha _{1})w^{i}V_{i}+O(\epsilon ^{3})\end{matrix}}}$

${\displaystyle g_{0i}=-\textstyle {\frac {1}{2}}(4\gamma +3+\alpha _{1}-\alpha _{2}+\zeta _{1}-2\xi )V_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(1+\alpha _{2}-\zeta _{1}+2\xi )W_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(\alpha _{1}-2\alpha _{2})w^{i}U-\alpha _{2}w^{j}U_{ij}+O(\epsilon ^{\frac {5}{2}})}$

${\displaystyle g_{ij}=(1+2\gamma U)\delta _{ij}+O(\epsilon ^{2})}$

donde se suman los índices repetidos. está en el orden de potenciales como , la magnitud cuadrada de las velocidades coordinadas de la materia, etc. es el vector de velocidad del sistema de coordenadas PPN en relación con el marco de reposo medio del universo. es la magnitud cuadrada de esa velocidad. si y sólo si , en caso contrario. ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle w^{i}}$ ${\displaystyle w^{2}=\delta _{ij}w^{i}w^{j}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}=1}$ ${\displaystyle i=j}$ ${\displaystyle 0}$

Hay diez potenciales métricos, , , , , , , , y , uno para cada parámetro PPN para garantizar una solución única. 10 ecuaciones lineales con 10 incógnitas se resuelven invirtiendo una matriz de 10 por 10. Estos potenciales métricos tienen formas tales como: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{ij}}$ ${\displaystyle \Phi _{W}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Phi _{1}}$ ${\displaystyle \Phi _{2}}$ ${\displaystyle \Phi _{3}}$ ${\displaystyle \Phi _{4}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle W_{i}}$

${\displaystyle U(\mathbf {x} ,t)=\int {\rho (\mathbf {x} ',t) \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

que es simplemente otra forma de escribir el potencial gravitacional newtoniano,

${\displaystyle U_{ij}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)(x-x')_{i}(x-x')_{j} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{3}}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{W}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\rho (\mathbf {x} '',t)(x-x')_{i} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{3}}\left({(x'-x'')^{i} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}-{(x-x'')^{i} \over |\mathbf {x} '-\mathbf {x} ''|}\right)d^{3}x'd^{3}x''}$

${\displaystyle A=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\left(\mathbf {v} (\mathbf {x} ',t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\right)^{2} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{3}}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{1}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\mathbf {v} (\mathbf {x} ',t)^{2} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{2}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)U(\mathbf {x} ',t) \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{3}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\Pi (\mathbf {x} ',t) \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{4}=\int {p(\mathbf {x} ',t) \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle V_{i}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)v(\mathbf {x} ',t)_{i} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle W_{i}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\left(\mathbf {v} (\mathbf {x} ',t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\right)(x-x')_{i} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{3}}d^{3}x'}$

donde es la densidad de la masa en reposo, es la energía interna por unidad de masa en reposo, es la presión medida en un marco local en caída libre que se mueve momentáneamente con la materia y es la velocidad coordinada de la materia. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Se forma el tensor tensión-energía para un fluido perfecto

${\displaystyle T^{00}=\rho (1+\Pi +\mathbf {v} ^{2}+2U)}$

${\displaystyle T^{0i}=\rho (1+\Pi +\mathbf {v} ^{2}+2U+p/\rho )v^{i}}$

${\displaystyle T^{ij}=\rho (1+\Pi +\mathbf {v} ^{2}+2U+p/\rho )v^{i}v^{j}+p\delta ^{ij}(1-2\gamma U)}$

Cómo aplicar PPN

En Will (1981, 1993) se pueden encontrar ejemplos del proceso de aplicación del formalismo PPN a teorías alternativas de la gravedad. Es un proceso de nueve pasos:

• Paso 1: Identificar las variables, que pueden incluir: (a) variables gravitacionales dinámicas como la métrica , el campo escalar , el campo vectorial , el campo tensorial , etc.; (b) variables geométricas previas, como una métrica de fondo plano , una función de tiempo cósmico , etc.; (c) materia y variables de campo no gravitacionales. ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle K_{\mu }}$ ${\displaystyle B_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle t}$
• Paso 2: Establecer las condiciones de contorno cosmológicas. Supongamos una cosmología isotrópica homogénea, con coordenadas isotrópicas en el marco de reposo del universo. Puede que sea necesaria o no una solución cosmológica completa. Llame a los resultados , , , . ${\displaystyle g_{\mu \nu }^{(0)}=\operatorname {diag} (-c_{0},c_{1},c_{1},c_{1})}$ ${\displaystyle \phi _{0}}$ ${\displaystyle K_{\mu }^{(0)}}$ ${\displaystyle B_{\mu \nu }^{(0)}}$
• Paso 3: obtenga nuevas variables de , con o si es necesario. ${\displaystyle h_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }^{(0)}}$ ${\displaystyle \phi -\phi _{0}}$ ${\displaystyle K_{\mu }-K_{\mu }^{(0)}}$ ${\displaystyle B_{\mu \nu }-B_{\mu \nu }^{(0)}}$
• Paso 4: Sustituya estas formas en las ecuaciones de campo, manteniendo solo los términos necesarios para obtener una solución final consistente para . Sustituya las fuentes de materia por el tensor de tensión de fluido perfecto. ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$
• Paso 5: Resuelva para . Suponiendo que esto tiende a cero lejos del sistema, se obtiene la forma donde está el potencial gravitacional newtoniano y puede ser una función complicada que incluye la "constante" gravitacional . La métrica newtoniana tiene la forma , , . Trabajar en unidades donde la "constante" gravitacional medida hoy lejos de la materia gravitante es la unidad así establecida . ${\displaystyle h_{00}}$ ${\displaystyle O(2)}$ ${\displaystyle h_{00}=2\alpha U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g_{00}=-c_{0}+2\alpha U}$ ${\displaystyle g_{0j}=0}$ ${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}c_{1}}$ ${\displaystyle G_{\mathrm {today} }=\alpha /c_{0}c_{1}=1}$
• Paso 6: A partir de versiones linealizadas de las ecuaciones de campo, resuelva para y para . ${\displaystyle h_{ij}}$ ${\displaystyle O(2)}$ ${\displaystyle h_{0j}}$ ${\displaystyle O(3)}$
• Paso 7: Resuelva para . Este es el paso más complicado, ya que involucra todas las no linealidades en las ecuaciones de campo. El tensor tensión-energía también debe ampliarse hasta alcanzar un orden suficiente. ${\displaystyle h_{00}}$ ${\displaystyle O(4)}$
• Paso 8: Convierta a coordenadas cuasicartesianas locales y a calibre PPN estándar.
• Paso 9: Al comparar el resultado con las ecuaciones presentadas en PPN con parámetros alfa-zeta, lea los valores de los parámetros de PPN. ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

Comparaciones entre teorías de la gravedad.

Puede encontrar una tabla que compara los parámetros PPN para 23 teorías de la gravedad en Alternativas a la relatividad general#Parámetros post-newtonianos paramétricos para una variedad de teorías .

La mayoría de las teorías métricas de la gravedad se pueden agrupar en categorías. Las teorías escalares de la gravitación incluyen teorías conformemente planas y teorías estratificadas con cortes espaciales ortogonales en el tiempo.

En teorías conformemente planas como la teoría de la gravitación de Nordström, la métrica está dada por y para esta métrica , lo que discrepa drásticamente con las observaciones. En teorías estratificadas como la teoría de la gravitación de Yilmaz, la métrica está dada por y para esta métrica , lo que también discrepa drásticamente con las observaciones. ${\displaystyle \mathbf {g} =f{\boldsymbol {\eta }}}$ ${\displaystyle \gamma =-1}$ ${\displaystyle \mathbf {g} =f_{1}\mathbf {d} t\otimes \mathbf {d} t+f_{2}{\boldsymbol {\eta }}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}=-4(\gamma +1)}$

Otra clase de teorías son las teorías cuasilineales como la teoría de la gravitación de Whitehead . Para éstos . Las magnitudes relativas de los armónicos de las mareas de la Tierra dependen de y , y las mediciones muestran que las teorías cuasilineales no están de acuerdo con las observaciones de las mareas de la Tierra. ${\displaystyle \xi =\beta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$

Otra clase de teorías métricas es la teoría bimétrica . Para todos estos es distinto de cero. Por la precesión del giro solar lo sabemos , y eso descarta efectivamente las teorías bimétricas. ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}<4\times 10^{-7}}$

Otra clase de teorías métricas son las teorías escalares-tensoriales , como la teoría de Brans-Dicke . Por todo esto, . El límite de medias tendría que ser muy grande, por lo que estas teorías parecen cada vez menos probables a medida que mejora la precisión experimental. ${\displaystyle \gamma =\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}}$ ${\displaystyle \gamma -1<2.3\times 10^{-5}}$ ${\displaystyle \omega }$

La última clase principal de teorías métricas son las teorías de vectores-tensores. Para todos estos, la "constante" gravitacional varía con el tiempo y no es cero. Los experimentos de alcance con láser lunar limitan estrictamente la variación de la "constante" gravitacional con el tiempo y , por lo que estas teorías también parecen poco probables. ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}<4\times 10^{-7}}$

Existen algunas teorías métricas de la gravedad que no encajan en las categorías anteriores, pero tienen problemas similares.

Precisión de pruebas experimentales.

Límites de los parámetros PPN de Will (2006) y Will (2014)

† Will, CM (10 de julio de 1992). "¿Se conserva el impulso? Una prueba en el sistema binario PSR 1913 + 16". Cartas de diarios astrofísicos . 393 (2): L59-L61. Código Bib : 1992ApJ...393L..59W. doi :10.1086/186451. ISSN  0004-637X.

‡ Basado en Will (1976, 2006). Es teóricamente posible ^{[ se necesita aclaración ]} que un modelo alternativo de gravedad evite este límite, en cuyo caso el límite proviene de Ni (1972). ${\displaystyle 6\zeta _{4}=3\alpha _{3}+2\zeta _{1}-3\zeta _{3}}$ ${\displaystyle |\zeta _{4}|<0.4}$

Ver también

• Portal de física

• Alternativas a la relatividad general # Parámetros paramétricos posnewtonianos para una variedad de teorías
• Formalismo efectivo de un solo cuerpo
• Gravedad linealizada
• Parámetro de Peskin-Takeuchi Lo mismo que PPN, pero para la teoría electrodébil en lugar de la gravitación
• Pruebas de relatividad general

Referencias

• Eddington, AS (1922) La teoría matemática de la relatividad, Cambridge University Press.
• Misner, CW, Thorne, KS y Wheeler, JA (1973) Gravitación, WH Freeman and Co.
• Nordtvedt, Kenneth (25 de mayo de 1968). "Principio de Equivalencia para Cuerpos Masivos. II. Teoría". Revisión física . 169 (5). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 1017–1025. Código bibliográfico : 1968PhRv..169.1017N. doi : 10.1103/physrev.169.1017. ISSN  0031-899X.
• Nordtvedt, K. (25 de abril de 1969). "Principio de equivalencia para cuerpos masivos, incluida la energía de rotación y la presión de radiación". Revisión física . 180 (5). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 1293–1298. Código bibliográfico : 1969PhRv..180.1293N. doi : 10.1103/physrev.180.1293. ISSN  0031-899X.
• Voluntad, Clifford M. (1971). "Marcos teóricos para probar la gravedad relativista. II. Hidrodinámica posnewtoniana parametrizada y el efecto Nordtvedt". La revista astrofísica . 163 . Publicación del PIO: 611-628. Código bibliográfico : 1971ApJ...163..611W. doi :10.1086/150804. ISSN  0004-637X.
• Voluntad, CM (1976). "Masa activa en gravedad relativista - Interpretación teórica del experimento de Kreuzer". La revista astrofísica . 204 . Publicación del PIO: 224-234. Código bibliográfico : 1976ApJ...204..224W. doi : 10.1086/154164 . ISSN  0004-637X.
• Will, CM (1981, 1993) Teoría y experimento en física gravitacional, Cambridge University Press. ISBN 0-521-43973-6 . 
• Will, CM, (2006) La confrontación entre la relatividad general y el experimento, https://web.archive.org/web/20070613073754/http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2006-3/
• Will, Clifford M. (11 de junio de 2014). "El enfrentamiento entre la relatividad general y el experimento". Reseñas vivas en relatividad . 17 (1): 4. arXiv : 1403.7377 . Código Bib : 2014LRR....17....4W. doi : 10.12942/lrr-2014-4 . ISSN  2367-3613. PMC  5255900 . PMID  28179848.
• Will, Clifford M.; Nordtvedt, Kenneth Jr. (1972). "Leyes de conservación y marcos preferidos en gravedad relativista. I. Teorías de marcos preferidos y un formalismo PPN extendido". La revista astrofísica . 177 . Publicación IOP: 757. Bibcode : 1972ApJ...177..757W. doi : 10.1086/151754 . ISSN  0004-637X.