Alternativas a la relatividad general

Proposed theories of gravity

Las alternativas a la relatividad general son teorías físicas que intentan describir el fenómeno de la gravitación en competencia con la teoría de la relatividad general de Einstein . Ha habido muchos intentos diferentes de construir una teoría ideal de la gravedad . ^[1]

Estos intentos pueden dividirse en cuatro grandes categorías en función de su alcance. En este artículo se discuten alternativas sencillas a la relatividad general, que no involucran la mecánica cuántica ni la unificación de fuerzas. Otras teorías que intentan construir una teoría utilizando los principios de la mecánica cuántica se conocen como teorías de la gravedad cuantizada . En tercer lugar, hay teorías que intentan explicar la gravedad y otras fuerzas al mismo tiempo; se conocen como teorías clásicas del campo unificado . Por último, las teorías más ambiciosas intentan tanto poner la gravedad en términos mecánicos cuánticos como unificar fuerzas; se denominan teorías del todo .

Ninguna de estas alternativas a la relatividad general ha obtenido una amplia aceptación. La relatividad general ha resistido muchas pruebas , ^{[2] [3]} manteniéndose consistente con todas las observaciones realizadas hasta el momento. En cambio, muchas de las primeras alternativas han sido refutadas definitivamente. Sin embargo, algunas de las teorías alternativas de la gravedad cuentan con el apoyo de una minoría de físicos, y el tema sigue siendo objeto de intensos estudios en física teórica .

Motivaciones

Después de la relatividad general, se intentó mejorar las teorías desarrolladas antes de la relatividad general o mejorar la relatividad general misma. Se intentaron muchas estrategias diferentes, por ejemplo, agregar el espín a la relatividad general, combinar una métrica similar a la relatividad general con un espacio-tiempo que es estático con respecto a la expansión del universo y obtener libertad adicional agregando otro parámetro. Al menos una teoría estuvo motivada por el deseo de desarrollar una alternativa a la relatividad general que esté libre de singularidades.

Las pruebas experimentales mejoraron junto con las teorías. Muchas de las diferentes estrategias que se desarrollaron poco después de la relatividad general se abandonaron y hubo un impulso para desarrollar formas más generales de las teorías que sobrevivieron, de modo que una teoría estuviera lista cuando cualquier prueba demostrara un desacuerdo con la relatividad general.

En la década de 1980, la creciente precisión de las pruebas experimentales había confirmado la relatividad general; no quedaban competidores, salvo aquellos que incluían la relatividad general como un caso especial. Además, poco después, los teóricos pasaron a la teoría de cuerdas, que empezaba a parecer prometedora, pero que desde entonces ha perdido popularidad. A mediados de la década de 1980, algunos experimentos sugerían que la gravedad se modificaba mediante la adición de una quinta fuerza (o, en un caso, de una quinta, una sexta y una séptima fuerza) que actuaba en el rango de unos pocos metros. Experimentos posteriores eliminaron estas fuerzas.

Las motivaciones de las teorías alternativas más recientes son casi todas cosmológicas, asociadas con o reemplazando conceptos como " inflación ", " materia oscura " y " energía oscura ". La investigación de la anomalía Pioneer ha provocado un renovado interés público en alternativas a la relatividad general. ^{[ cita requerida ]}

Notación en este artículo

${\displaystyle c\;}$es la velocidad de la luz , es la constante gravitacional . No se utilizan " variables geométricas ". ${\displaystyle G\;}$

Los índices latinos van del 1 al 3, los índices griegos van del 0 al 3. Se utiliza la convención de suma de Einstein .

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }\;}$es la métrica de Minkowski . es un tensor, normalmente el tensor métrico . Estos tienen la signatura (−,+,+,+). ${\displaystyle g_{\mu \nu }\;}$

La diferenciación parcial se escribe o . La diferenciación covariante se escribe o . ${\displaystyle \partial _{\mu }\varphi \;}$ ${\displaystyle \varphi _{,\mu }\;}$ ${\displaystyle \nabla _{\mu }\varphi \;}$ ${\displaystyle \varphi _{;\mu }\;}$

Relatividad general

Para comparar con alternativas, las fórmulas de la Relatividad General ^{[4] [5]} son:

${\displaystyle \delta \int ds=0\,}$

${\displaystyle {ds}^{2}=g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }\,}$

${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T\right)\,}$

que también se puede escribir

${\displaystyle T^{\mu \nu }={c^{4} \over 8\pi G}\left(R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }R\right)\,.}$

La acción de Einstein-Hilbert para la relatividad general es:

${\displaystyle S={c^{4} \over 16\pi G}\int R{\sqrt {-g}}\ d^{4}x+S_{m}\,}$

donde es la constante gravitacional de Newton, es la curvatura de Ricci del espacio y es la acción debida a la masa. ${\displaystyle G\,}$ ${\displaystyle R=R_{\mu }^{~\mu }\,}$ ${\displaystyle g=\det(g_{\mu \nu })\,}$ ${\displaystyle S_{m}\,}$

La relatividad general es una teoría tensorial, y todas las ecuaciones contienen tensores. Las teorías de Nordström, por otra parte, son teorías escalares porque el campo gravitatorio es un escalar. Otras alternativas propuestas incluyen teorías escalar-tensoriales que contienen un campo escalar además de los tensores de la relatividad general, y recientemente se han desarrollado otras variantes que también contienen campos vectoriales.

Clasificación de las teorías

Las teorías de la gravedad se pueden clasificar, a grandes rasgos, en varias categorías. La mayoría de las teorías descritas aquí tienen:

• una ' acción ' (véase el principio de mínima acción , un principio variacional basado en el concepto de acción)
• una densidad lagrangiana
• una métrica

Si una teoría tiene una densidad lagrangiana para la gravedad, digamos , entonces la parte gravitacional de la acción es la integral de esa: ${\displaystyle L\,}$ ${\displaystyle S\,}$

${\displaystyle S=\int L{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$.

En esta ecuación es habitual, aunque no imprescindible, tener en el infinito espacial cuando se utilizan coordenadas cartesianas. Por ejemplo, la acción de Einstein-Hilbert utiliza ${\displaystyle g=-1\,}$

${\displaystyle L\,\propto \,R}$

donde R es la curvatura escalar , una medida de la curvatura del espacio.

Casi todas las teorías descritas en este artículo tienen una acción. Es la forma más eficiente conocida de garantizar que las leyes de conservación necesarias de la energía, el momento y el momento angular se incorporen automáticamente; aunque es fácil construir una acción cuando se violan esas leyes de conservación. Los métodos canónicos proporcionan otra forma de construir sistemas que tienen las leyes de conservación requeridas, pero este enfoque es más complicado de implementar. ^[6] La versión original de 1983 de MOND no tenía una acción.

Algunas teorías tienen una acción pero no una densidad lagrangiana. Un buen ejemplo es Whitehead, ^[7] la acción allí se denomina no local.

Una teoría de la gravedad es una "teoría métrica" ​​si y sólo si se le puede dar una representación matemática en la que se cumplan dos condiciones:
Condición 1 : Existe un tensor métrico simétrico de signatura (−, +, +, +), que gobierna las mediciones de longitud propia y tiempo propio de la manera habitual de la relatividad especial y general: ${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$

${\displaystyle {d\tau }^{2}=-g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }\,}$

donde hay una suma sobre los índices y . Condición 2 : La materia y los campos sometidos a tensión que se ven afectados por la gravedad responden de acuerdo con la ecuación: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle 0=\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }={T^{\mu \nu }}_{,\nu }+\Gamma _{\sigma \nu }^{\mu }T^{\sigma \nu }+\Gamma _{\sigma \nu }^{\nu }T^{\mu \sigma }\,}$

donde es el tensor de tensión-energía para todos los campos materiales y no gravitacionales, y donde es la derivada covariante con respecto a la métrica y es el símbolo de Christoffel . El tensor de tensión-energía también debe satisfacer una condición de energía . ${\displaystyle T^{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle \nabla _{\nu }}$ ${\displaystyle \Gamma _{\sigma \nu }^{\alpha }\,}$

Las teorías métricas incluyen (de la más simple a la más compleja):

• Teorías de campos escalares (incluye teorías conformemente planas y teorías estratificadas con sectores espaciales conformemente planos)
  • Bergman
  • Coleman
  • Einstein (1912)
  • Teoría de Einstein-Fokker
  • Lee – Lightman – Ni
  • Pequeño bosque
  • Ni
  • Teoría de la gravitación de Nordström (primera teoría métrica de la gravedad desarrollada)
  • Página–Tupper
  • Papapetrou
  • Rosa (1971)
  • Whitrow–Morduch
  • Teoría de la gravitación de Yilmaz (intentó eliminar los horizontes de sucesos de la teoría).
• Teorías cuasilineales (incluye calibre fijo lineal)
  • Bollini–Giambiagi–Tiomno
  • Desierto-Laurent
  • Teoría de la gravedad de Whitehead (pensada en utilizar únicamente potenciales retardados )
• Teorías tensoriales
  • La relatividad general de Einstein
  • Gravedad de cuarto orden (permite que el lagrangiano dependa de contracciones de segundo orden del tensor de curvatura de Riemann)
  • f(R) gravedad (permite que el lagrangiano dependa de potencias superiores del escalar de Ricci)
  • Gravedad de Gauss-Bonnet
  • Teoría de la gravedad de Lovelock (permite que el lagrangiano dependa de contracciones de orden superior del tensor de curvatura de Riemann)
  • Gravedad derivada infinita
• Teorías escalar-tensoriales
  • Bekenstein
  • Bergmann-Wagoner
  • Teoría de Brans-Dicke (la alternativa más conocida a la relatividad general, destinada a aplicar mejor el principio de Mach)
  • Jordán
  • Norte de Tvedt
  • Treinta
  • Camaleón
  • Presurón
• Teorías tensoriales-vectoriales
  • Hellings– Nordtvedt
  • Voluntad – Nordtvedt
• Teorías bimétricas
  • Hombre de luz – Lee
  • Rastall
  • Rosa (1975)
• Otras teorías métricas

(ver sección Teorías modernas más abajo)

Las teorías no métricas incluyen

• Belinfante–Swihart
• Teoría de Einstein-Cartan (pensada para manejar el intercambio de momento angular espín-orbital)
• El hombre de las sombras (1967)
• Teleparalelismo
• Teoría de calibre de la gravedad

Es apropiado decir algo sobre el principio de Mach porque algunas de estas teorías se basan en él (por ejemplo, Whitehead ^[7] ), y muchas lo mencionan de pasada (por ejemplo, Einstein-Grossmann, ^[8] Brans-Dicke ^[9] ). El principio de Mach puede considerarse un punto intermedio entre Newton y Einstein. Dice así: ^[10]

• Newton: Espacio y tiempo absolutos .
• Mach: El marco de referencia proviene de la distribución de la materia en el universo.
• Einstein: No hay marco de referencia.

Teorías desde 1917 hasta los años 1980

En el momento de su publicación en el siglo XVII, la teoría de la gravedad de Isaac Newton era la teoría más precisa de la gravedad. Desde entonces, se han propuesto varias alternativas. Las teorías anteriores a la formulación de la relatividad general en 1915 se analizan en Historia de la teoría de la gravedad .

Esta sección incluye alternativas a la relatividad general publicadas después de la relatividad general pero antes de las observaciones de la rotación de galaxias que llevaron a la hipótesis de la " materia oscura ". Entre las alternativas que se consideran aquí se incluyen (véase Will ^{[11] [12]} Lang ^{[13] [14]} ):

Estas teorías se presentan aquí sin una constante cosmológica o potencial escalar o vectorial añadido a menos que se indique específicamente, por la sencilla razón de que la necesidad de uno o ambos no se reconoció antes de las observaciones de supernovas realizadas por el Proyecto de Cosmología de Supernovas y el Equipo de Búsqueda de Supernovas de Alta Z. En Teorías modernas se analiza cómo añadir una constante cosmológica o quintaesencia a una teoría (véase también Acción de Einstein-Hilbert).

Teorías de campos escalares

Las teorías de campos escalares de Nordström ^{[50] [51]} ya se han analizado. Las de Littlewood, ^[23] Bergman, ^[25] Yilmaz, ^[28] Whitrow y Morduch ^{[30] [31]} y Page y Tupper ^[35] siguen la fórmula general dada por Page y Tupper.

Según Page y Tupper, ^[35] quienes analizan todos estos excepto Nordström, ^[51] la teoría general del campo escalar proviene del principio de mínima acción:

${\displaystyle \delta \int f\left({\tfrac {\varphi }{c^{2}}}\right)\,ds=0}$

donde está el campo escalar,

${\displaystyle \varphi ={\frac {GM}{r}}}$

y c puede o no depender de . ${\displaystyle \varphi }$

En Nordström, ^[50]

${\displaystyle f(\varphi /c^{2})=\exp(-\varphi /c^{2}),\qquad c=c_{\infty }}$

En Littlewood ^[23] y Bergmann, ^[25]

${\displaystyle f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {\varphi }{c^{2}}}-{\frac {(c/\varphi ^{2})^{2}}{2}}\right)\qquad c=c_{\infty }\,}$

En Whitrow y Morduch, ^[30]

${\displaystyle f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)=1,\qquad c^{2}=c_{\infty }^{2}-2\varphi \,}$

En Whitrow y Morduch, ^[31]

${\displaystyle f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {\varphi }{c^{2}}}\right),\qquad c^{2}=c_{\infty }^{2}-2\varphi \,}$

En Page y Tupper, ^[35]

${\displaystyle f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)={\frac {\varphi }{c^{2}}}+\alpha \left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)^{2},\qquad {\frac {c_{\infty }^{2}}{c^{2}}}=1+4\left({\frac {\varphi }{c_{\infty }^{2}}}\right)+(15+2\alpha )\left({\frac {\varphi }{c_{\infty }^{2}}}\right)^{2}}$

Page y Tupper ^[35] igualan la teoría de Yilmaz ^[28] a segundo orden cuando . ${\displaystyle \alpha =-7/2}$

La desviación gravitacional de la luz tiene que ser cero cuando c es constante. Dado que la variable c y la desviación cero de la luz están en conflicto con los experimentos, la perspectiva de una teoría escalar de la gravedad exitosa parece muy poco probable. Además, si los parámetros de una teoría escalar se ajustan de modo que la desviación de la luz sea correcta, entonces es probable que el corrimiento al rojo gravitacional sea incorrecto.

Ni ^[12] resumió algunas teorías y también creó dos más. En la primera, una coordenada preexistente de espacio-tiempo de relatividad especial y tiempo universal actúa con materia y campos no gravitacionales para generar un campo escalar. Este campo escalar actúa junto con todos los demás para generar la métrica.

La acción es:

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}L_{\varphi }+S_{m}}$

${\displaystyle L_{\varphi }=\varphi R-2g^{\mu \nu }\,\partial _{\mu }\varphi \,\partial _{\nu }\varphi }$

Misner et al. ^[52] da esto sin el término. es la acción de la materia. ${\displaystyle \varphi R}$ ${\displaystyle S_{m}}$

${\displaystyle \Box \varphi =4\pi T^{\mu \nu }\left[\eta _{\mu \nu }e^{-2\varphi }+\left(e^{2\varphi }+e^{-2\varphi }\right)\,\partial _{\mu }t\,\partial _{\nu }t\right]}$

t es la coordenada temporal universal. Esta teoría es coherente y completa, pero el movimiento del sistema solar a través del universo genera serias discrepancias con los experimentos.

En la segunda teoría de Ni ^[12] hay dos funciones arbitrarias y que están relacionadas con la métrica por: ${\displaystyle f(\varphi )}$ ${\displaystyle k(\varphi )}$

${\displaystyle ds^{2}=e^{-2f(\varphi )}dt^{2}-e^{2f(\varphi )}\left[dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right]}$

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi =4\pi \rho ^{*}k(\varphi )}$

Ni ^[12] cita a Rosen ^[40] diciendo que tiene dos campos escalares y que están relacionados con la métrica por: ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle ds^{2}=\varphi ^{2}\,dt^{2}-\psi ^{2}\left[dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right]}$

En Papapetrou ^[21] la parte gravitacional del Lagrangiano es:

${\displaystyle L_{\varphi }=e^{\varphi }\left({\tfrac {1}{2}}e^{-\varphi }\,\partial _{\alpha }\varphi \,\partial _{\alpha }\varphi +{\tfrac {3}{2}}e^{\varphi }\,\partial _{0}\varphi \,\partial _{0}\varphi \right)}$

En Papapetrou ^[22] hay un segundo campo escalar . La parte gravitacional del lagrangiano es ahora: ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle L_{\varphi }=e^{{\frac {1}{2}}(3\varphi +\chi )}\left(-{\tfrac {1}{2}}e^{-\varphi }\,\partial _{\alpha }\varphi \,\partial _{\alpha }\varphi -e^{-\varphi }\,\partial _{\alpha }\varphi \,\partial _{\chi }\varphi +{\tfrac {3}{2}}e^{-\chi }\,\partial _{0}\varphi \,\partial _{0}\varphi \right)\,}$

Teorías bimétricas

Las teorías bimétricas contienen tanto la métrica tensorial normal como la métrica de Minkowski (o una métrica de curvatura constante), y pueden contener otros campos escalares o vectoriales.

Rosen ^[53] (1975) teoría bimétrica La acción es:

${\displaystyle S={1 \over 64\pi G}\int d^{4}x\,{\sqrt {-\eta }}\eta ^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }g^{\gamma \delta }(g_{\alpha \gamma |\mu }g_{\alpha \delta |\nu }-\textstyle {\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta |\mu }g_{\gamma \delta |\nu })+S_{m}}$

${\displaystyle \Box _{\eta }g_{\mu \nu }-g^{\alpha \beta }\eta ^{\gamma \delta }g_{\mu \alpha |\gamma }g_{\nu \beta |\delta }=-16\pi G{\sqrt {g/\eta }}(T_{\mu \nu }-\textstyle {\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T)\,}$

Lightman–Lee ^[45] desarrolló una teoría métrica basada en la teoría no métrica de Belinfante y Swihart. ^{[26] [27]} El resultado se conoce como teoría BSLL. Dado un campo tensorial , , y dos constantes y la acción es: ${\displaystyle B_{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle B=B_{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle a\,}$ ${\displaystyle f\,}$

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-\eta }}(aB^{\mu \nu |\alpha }B_{\mu \nu |\alpha }+fB_{,\alpha }B^{,\alpha })+S_{m}}$

y el tensor de estrés-energía proviene de:

${\displaystyle a\Box _{\eta }B^{\mu \nu }+f\eta ^{\mu \nu }\Box _{\eta }B=-4\pi G{\sqrt {g/\eta }}\,T^{\alpha \beta }\left({\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial B_{\mu }\nu }}\right)}$

En Rastall, ^[49] la métrica es una función algebraica de la métrica de Minkowski y un campo vectorial. ^[54] La acción es:

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}F(N)K^{\mu ;\nu }K_{\mu ;\nu }+S_{m}}$

dónde

${\displaystyle F(N)=-{\frac {N}{2+N}}}$ y ${\displaystyle N=g^{\mu \nu }K_{\mu }K_{\nu }\;}$

(ver Will ^[11] para la ecuación de campo para y ). ${\displaystyle T^{\mu \nu }\;}$ ${\displaystyle K_{\mu }\;}$

Teorías cuasilineales

En Whitehead , ^[7] la métrica física se construye (por Synge ) algebraicamente a partir de la métrica de Minkowski y las variables de la materia, por lo que ni siquiera tiene un campo escalar. La construcción es: ${\displaystyle g\;}$ ${\displaystyle \eta \;}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }(x^{\alpha })=\eta _{\mu \nu }-2\int _{\Sigma ^{-}}{y_{\mu }^{-}y_{\nu }^{-} \over (w^{-})^{3}}\left[{\sqrt {-g}}\rho u^{\alpha }\,d\Sigma _{\alpha }\right]^{-}}$

donde el superíndice (−) indica cantidades evaluadas a lo largo del cono de luz pasado del punto de campo y ${\displaystyle \eta \;}$ ${\displaystyle x^{\alpha }\;}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(y^{\mu })^{-}&=x^{\mu }-(x^{\mu })^{-},\qquad (y^{\mu })^{-}(y_{\mu })^{-}=0,\\[5pt]w^{-}&=(y^{\mu })^{-}(u_{\mu })^{-},\qquad (u_{\mu })={\frac {dx^{\mu }}{d\sigma }},\\[5pt]d\sigma ^{2}&=\eta _{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }\end{aligned}}}$

Sin embargo, se critica la construcción métrica (a partir de una teoría no métrica) que utiliza el ansatz de "contracción de longitud". ^[55]

Deser y Laurent ^[34] y Bollini–Giambiagi–Tiomno ^[37] son ​​teorías de calibre fijo lineal. Tomando un enfoque de la teoría cuántica de campos, combine un espacio-tiempo de Minkowski con la acción invariante de calibre de un campo tensorial de espín dos (es decir, gravitón) para definir ${\displaystyle h_{\mu \nu }\;}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }\;}$

La acción es:

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-\eta }}\left[2h_{|\nu }^{\mu \nu }h_{\mu \lambda }^{|\lambda }-2h_{|\nu }^{\mu \nu }h_{\lambda |\mu }^{\lambda }+h_{\nu |\mu }^{\nu }h_{\lambda }^{\lambda |\mu }-h^{\mu \nu |\lambda }h_{\mu \nu |\lambda }\right]+S_{m}\;}$

La identidad de Bianchi asociada con esta invariancia de calibración parcial es errónea. Las teorías de calibración fija lineal buscan remediar esto rompiendo la invariancia de calibración de la acción gravitacional mediante la introducción de campos gravitacionales auxiliares que se acoplan a . ${\displaystyle h_{\mu \nu }\;}$

Se puede introducir una constante cosmológica en una teoría cuasilineal mediante el simple expediente de cambiar el fondo de Minkowski a un espacio-tiempo de De Sitter o anti-De Sitter , como sugirió G. Temple en 1923. Las sugerencias de Temple sobre cómo hacer esto fueron criticadas por CB Rayner en 1955. ^[56]

Teorías tensoriales

La relatividad general de Einstein es la teoría de la gravedad más simple y plausible que puede basarse en un solo campo tensorial simétrico (el tensor métrico ). Otras teorías incluyen la gravedad de Starobinsky (R+R^2), la gravedad de Gauss-Bonnet , la gravedad f(R) y la teoría de la gravedad de Lovelock .

Starobinsky

La gravedad de Starobinsky, propuesta por Alexei Starobinsky, tiene el Lagrangiano

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[R+{\frac {R^{2}}{6M^{2}}}\right]}$

y se ha utilizado para explicar la inflación, en forma de inflación de Starobinsky . Aquí hay una constante. ${\displaystyle M}$

Gauss-Bonnet

La gravedad de Gauss-Bonnet tiene la acción

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[R+R^{2}-4R^{\mu \nu }R_{\mu \nu }+R^{\mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma }\right].}$

donde los coeficientes de los términos adicionales se eligen de modo que la acción se reduzca a la relatividad general en 4 dimensiones del espacio-tiempo y los términos adicionales solo sean no triviales cuando se introducen más dimensiones.

La cuarta derivada de la gravedad de Stelle

La cuarta derivada de la gravedad de Stelle, que es una generalización de la gravedad de Gauss-Bonnet, tiene la acción

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[R+f_{1}R^{2}+f_{2}R^{\mu \nu }R_{\mu \nu }+f_{3}R^{\mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma }\right].}$

f(R)

f(R) la gravedad tiene la acción

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}f(R)}$

y es una familia de teorías, cada una definida por una función diferente del escalar de Ricci. La gravedad de Starobinsky es en realidad una teoría. ${\displaystyle f(R)}$

Gravedad derivada infinita

La gravedad derivada infinita es una teoría covariante de la gravedad, cuadrática en curvatura, libre de torsión e invariante de paridad, ^[57]

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[M_{p}^{2}R+Rf_{1}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)R+R^{\mu \nu }f_{2}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)R_{\mu \nu }+R^{\mu \nu \rho \sigma }f_{3}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)R_{\mu \nu \rho \sigma }\right].}$

y

${\displaystyle 2f_{1}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)+f_{2}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)+2f_{3}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)=0,}$

para asegurarse de que solo los componentes sin masa de espín −2 y espín −0 se propaguen en el propagador de gravitones alrededor del fondo de Minkowski. La acción se vuelve no local más allá de la escala , y se recupera a la relatividad general en el infrarrojo, para energías por debajo de la escala no local . En el régimen ultravioleta, a distancias y escalas de tiempo por debajo de la escala no local, , la interacción gravitacional se debilita lo suficiente como para resolver la singularidad puntual, lo que significa que la singularidad de Schwarzschild puede resolverse potencialmente en teorías de gravedad derivadas infinitas . ${\displaystyle M_{s}}$ ${\displaystyle M_{s}}$ ${\displaystyle M_{s}^{-1}}$

Bloqueo de amor

La gravedad de Lovelock tiene la acción.

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\ (\alpha _{0}+\alpha _{1}R+\alpha _{2}\left(R^{2}+R_{\alpha \beta \mu \nu }R^{\alpha \beta \mu \nu }-4R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }\right)+\alpha _{3}{\mathcal {O}}(R^{3})),}$

y puede considerarse como una generalización de la relatividad general.

Teorías escalar-tensoriales

Todos ellos contienen al menos un parámetro libre, a diferencia de la relatividad general, que no tiene parámetros libres.

Aunque normalmente no se considera una teoría escalar-tensorial de la gravedad, la métrica de 5 x 5 de Kaluza-Klein se reduce a una métrica de 4 x 4 y a un único escalar. Por lo tanto, si el quinto elemento se trata como un campo gravitatorio escalar en lugar de un campo electromagnético, entonces Kaluza-Klein puede considerarse el progenitor de las teorías escalar-tensoriales de la gravedad. Esto fue reconocido por Thiry. ^[20]

Las teorías escalar-tensoriales incluyen a Thiry, ^[20] Jordan, ^[24] Brans y Dicke, ^[9] Bergman, ^[36] Nordtveldt (1970), Wagoner, ^[39] Bekenstein ^[47] y Barker. ^[48]

La acción se basa en la integral del Lagrangiano . ${\displaystyle S\;}$ ${\displaystyle L_{\varphi }\;}$

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}L_{\varphi }+S_{m}\;}$

${\displaystyle L_{\varphi }=\varphi R-{\omega (\varphi ) \over \varphi }g^{\mu \nu }\,\partial _{\mu }\varphi \,\partial _{\nu }\varphi +2\varphi \lambda (\varphi )\;}$

${\displaystyle S_{m}=\int d^{4}x\,{\sqrt {g}}\,G_{N}L_{m}\;}$

${\displaystyle T^{\mu \nu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {2 \over {\sqrt {g}}}{\delta S_{m} \over \delta g_{\mu \nu }}}$

donde es una función adimensional diferente para cada teoría escalar-tensor diferente. La función juega el mismo papel que la constante cosmológica en la relatividad general. es una constante de normalización adimensional que fija el valor actual de . Se puede agregar un potencial arbitrario para el escalar. ${\displaystyle \omega (\varphi )\;}$ ${\displaystyle \lambda (\varphi )\;}$ ${\displaystyle G_{N}\;}$ ${\displaystyle G\;}$

La versión completa se conserva en Bergman ^[36] y Wagoner ^[39] . Los casos especiales son:

Norte de Tvedt, ^[38] ${\displaystyle \lambda =0\;}$

Como en ese momento se pensaba que era cero, no se habría considerado que fuera una diferencia significativa. El papel de la constante cosmológica en trabajos más modernos se analiza en Constante cosmológica. ${\displaystyle \lambda }$

Brans–Dicke, ^[9] es constante ${\displaystyle \omega \;}$

Bekenstein ^[47] teoría de masa variable Partiendo de los parámetros y , encontrados a partir de una solución cosmológica, determina la función entonces ${\displaystyle r\;}$ ${\displaystyle q\;}$ ${\displaystyle \varphi =[1-qf(\varphi )]f(\varphi )^{-r}\;}$ ${\displaystyle f\;}$

${\displaystyle \omega (\varphi )=-\textstyle {\frac {3}{2}}-\textstyle {\frac {1}{4}}f(\varphi )[(1-6q)qf(\varphi )-1][r+(1-r)qf(\varphi )]^{-2}\;}$

Barker ^[48] teoría de G constante

${\displaystyle \omega (\varphi )={\frac {4-3\varphi }{2\varphi -2}}}$

El ajuste de permite que las teorías del tensor escalar tiendan a la relatividad general en el límite de en la época actual. Sin embargo, podría haber diferencias significativas con respecto a la relatividad general en el universo temprano. ${\displaystyle \omega (\varphi )\;}$ ${\displaystyle \omega \rightarrow \infty \;}$

Mientras la relatividad general sea confirmada experimentalmente, las teorías escalares-tensoriales generales (incluida la de Brans-Dicke ^[9] ) nunca podrán descartarse por completo, pero a medida que los experimentos continúen confirmando la relatividad general con mayor precisión, los parámetros deberán ajustarse para que las predicciones coincidan más estrechamente con las de la relatividad general.

Los ejemplos anteriores son casos particulares de la teoría de Horndeski , ^{[58] [59]} la teoría lagrangiana más general construida a partir del tensor métrico y un campo escalar que conduce a ecuaciones de movimiento de segundo orden en un espacio de cuatro dimensiones. Se ha demostrado que existen teorías viables más allá de Horndeski (con ecuaciones de movimiento de orden superior). ^{[60] [61] [62]}

Teorías tensoriales-vectoriales

Antes de empezar, Will (2001) ha dicho: "Muchas teorías métricas alternativas desarrolladas durante los años 1970 y 1980 podrían ser vistas como teorías de "hombre de paja", inventadas para probar que tales teorías existen o para ilustrar propiedades particulares. Pocas de ellas podrían considerarse teorías bien motivadas desde el punto de vista, por ejemplo, de la teoría de campos o la física de partículas. Algunos ejemplos son las teorías vector-tensor estudiadas por Will, Nordtvedt y Hellings".

Hellings y Nordtvedt ^[44] y Will y Nordtvedt ^[43] son ​​teorías vector-tensoriales. Además del tensor métrico, existe un campo vectorial temporal. La acción gravitatoria es: ${\displaystyle K_{\mu }.}$

${\displaystyle S={\frac {1}{16\pi G}}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left[R+\omega K_{\mu }K^{\mu }R+\eta K^{\mu }K^{\nu }R_{\mu \nu }-\epsilon F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+\tau K_{\mu ;\nu }K^{\mu ;\nu }\right]+S_{m}}$

¿Dónde están las constantes y ${\displaystyle \omega ,\eta ,\epsilon ,\tau }$

${\displaystyle F_{\mu \nu }=K_{\nu ;\mu }-K_{\mu ;\nu }.}$(Véase Will ^[11] para las ecuaciones de campo para y ) ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle K_{\mu }.}$

Will y Nordtvedt ^[43] es un caso especial donde

${\displaystyle \omega =\eta =\epsilon =0;\quad \tau =1}$

Hellings y Nordtvedt ^[44] es un caso especial donde

${\displaystyle \tau =0;\quad \epsilon =1;\quad \eta =-2\omega }$

Estas teorías vector-tensoriales son semiconservativas, lo que significa que satisfacen las leyes de conservación del momento y del momento angular, pero pueden tener efectos de marco preferentes. Cuando se reducen a la relatividad general, siempre que la relatividad general se confirme mediante experimentos, las teorías vector-tensoriales generales nunca pueden descartarse. ${\displaystyle \omega =\eta =\epsilon =\tau =0}$

Otras teorías métricas

Se han propuesto otras teorías métricas; la de Bekenstein ^[63] se analiza en Teorías modernas.

Teorías no métricas

La teoría de Cartan es particularmente interesante tanto por ser una teoría no métrica como por ser muy antigua. El estatus de la teoría de Cartan es incierto. Will ^[11] afirma que todas las teorías no métricas son eliminadas por el Principio de Equivalencia de Einstein. Will (2001) modera esto al explicar los criterios experimentales para probar las teorías no métricas contra el Principio de Equivalencia de Einstein. Misner et al. ^[52] afirma que la teoría de Cartan es la única teoría no métrica que sobrevivió a todas las pruebas experimentales hasta esa fecha y Turyshev ^[64] incluye la teoría de Cartan entre las pocas que han sobrevivido a todas las pruebas experimentales hasta esa fecha. El siguiente es un esbozo rápido de la teoría de Cartan tal como la reformuló Trautman. ^[65]

Cartan ^{[15] [16]} sugirió una generalización simple de la teoría de la gravitación de Einstein. Propuso un modelo del espacio-tiempo con un tensor métrico y una "conexión" lineal compatible con la métrica pero no necesariamente simétrica. El tensor de torsión de la conexión está relacionado con la densidad del momento angular intrínseco. Independientemente de Cartan, Sciama y Kibble propusieron ideas similares entre los años 1958 y 1966, que culminaron en una revisión en 1976 de Hehl et al.

La descripción original se hace en términos de formas diferenciales, pero en el presente artículo se la reemplaza por el lenguaje más familiar de los tensores (con el riesgo de perder precisión). Como en la relatividad general, el lagrangiano se compone de una parte sin masa y una parte con masa. El lagrangiano para la parte sin masa es:

${\displaystyle {\begin{aligned}L&={1 \over 32\pi G}\Omega _{\nu }^{\mu }g^{\nu \xi }x^{\eta }x^{\zeta }\varepsilon _{\xi \mu \eta \zeta }\\[5pt]\Omega _{\nu }^{\mu }&=d\omega _{\nu }^{\mu }+\omega _{\xi }^{\eta }\\[5pt]\nabla x^{\mu }&=-\omega _{\nu }^{\mu }x^{\nu }\end{aligned}}}$

La es la conexión lineal. es el pseudotensor completamente antisimétrico ( símbolo de Levi-Civita ) con , y es el tensor métrico como es habitual. Al suponer que la conexión lineal es métrica, es posible eliminar la libertad no deseada inherente a la teoría no métrica. El tensor de tensión-energía se calcula a partir de: ${\displaystyle \omega _{\nu }^{\mu }\;}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\xi \mu \eta \zeta }\;}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0123}={\sqrt {-g}}\;}$ ${\displaystyle g^{\nu \xi }\,}$

${\displaystyle T^{\mu \nu }={1 \over 16\pi G}(g^{\mu \nu }\eta _{\eta }^{\xi }-g^{\xi \mu }\eta _{\eta }^{\nu }-g^{\xi \nu }\eta _{\eta }^{\mu })\Omega _{\xi }^{\eta }\;}$

La curvatura del espacio no es riemanniana, pero en un espacio-tiempo riemanniano el lagrangiano se reduciría al lagrangiano de la relatividad general.

Algunas ecuaciones de la teoría no métrica de Belinfante y Swihart ^{[26] [27]} ya han sido discutidas en la sección sobre teorías bimétricas.

Una teoría claramente no métrica es la que ofrece la teoría de calibración de la gravedad , que reemplaza la métrica en sus ecuaciones de campo por un par de campos de calibración en el espacio-tiempo plano. Por un lado, la teoría es bastante conservadora porque es sustancialmente equivalente a la teoría de Einstein-Cartan (o la relatividad general en el límite del espín evanescente), y difiere principalmente en la naturaleza de sus soluciones globales. Por otro lado, es radical porque reemplaza la geometría diferencial por el álgebra geométrica .

Teorías modernas desde los años 1980 hasta la actualidad

Esta sección incluye alternativas a la relatividad general publicadas después de las observaciones de la rotación de galaxias que llevaron a la hipótesis de la "materia oscura". No se conoce una lista confiable de comparación de estas teorías. Las consideradas aquí incluyen: Bekenstein, ^[63] Moffat, ^[66] Moffat, ^[67] Moffat. ^{[68] [69]} Estas teorías se presentan con una constante cosmológica o un potencial escalar o vectorial agregado.

Motivaciones

Las motivaciones de las alternativas más recientes a la relatividad general son casi todas cosmológicas, asociadas con conceptos como "inflación", "materia oscura" y "energía oscura" o que los reemplazan. La idea básica es que la gravedad concuerda con la relatividad general en la época actual, pero puede haber sido bastante diferente en el universo primitivo.

En la década de 1980, el mundo de la física fue tomando conciencia de que el escenario del Big Bang, vigente en aquel momento, tenía varios problemas, entre ellos el problema del horizonte y la observación de que en los primeros tiempos, cuando se formaban los quarks, no había suficiente espacio en el universo para contener ni siquiera un quark. Para superar estas dificultades se desarrolló la teoría de la inflación. Otra alternativa era construir una alternativa a la relatividad general en la que la velocidad de la luz fuera mayor en el universo primitivo. El descubrimiento de curvas de rotación inesperadas para las galaxias tomó a todos por sorpresa. ¿Podría haber más masa en el universo de la que somos conscientes o la teoría de la gravedad en sí misma está equivocada? El consenso actual es que la masa que falta es "materia oscura fría", pero ese consenso sólo se alcanzó después de probar alternativas a la relatividad general, y algunos físicos todavía creen que los modelos alternativos de la gravedad pueden tener la respuesta.

En la década de 1990, los estudios de supernovas descubrieron la expansión acelerada del universo, ahora generalmente atribuida a la energía oscura . Esto llevó a la rápida reinstauración de la constante cosmológica de Einstein, y la quintaesencia llegó como una alternativa a la constante cosmológica. Al menos una nueva alternativa a la relatividad general intentó explicar los resultados de los estudios de supernovas de una manera completamente diferente. La medición de la velocidad de la gravedad con el evento de onda gravitacional GW170817 descartó muchas teorías alternativas de la gravedad como explicaciones para la expansión acelerada. ^{[70] [71] [72]} Otra observación que despertó el interés reciente en alternativas a la relatividad general es la anomalía Pioneer . Se descubrió rápidamente que las alternativas a la relatividad general podrían explicar esta anomalía. Ahora se cree que esto se explica por la radiación térmica no uniforme.

Constante cosmológica y quintaesencia

La constante cosmológica es una idea muy antigua, que se remonta a Einstein en 1917. ^[5] El éxito del modelo de Friedmann del universo llevó a la aceptación general de que es cero, pero el uso de un valor distinto de cero regresó cuando los datos de las supernovas indicaron que la expansión del universo se está acelerando. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \Lambda \;}$ ${\displaystyle \Lambda =0\;}$

En la gravedad newtoniana, la adición de la constante cosmológica cambia la ecuación de Newton-Poisson de:

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =4\pi \rho \ G;}$

a

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi +{\frac {1}{2}}\Lambda c^{2}=4\pi \rho \ G;}$

En relatividad general, cambia la acción de Einstein-Hilbert de

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x\,+S_{m}\;}$

a

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int (R-2\Lambda ){\sqrt {-g}}\,d^{4}x\,+S_{m}\;}$

lo que cambia la ecuación de campo de:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={1 \over 8\pi G}\left(R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }R\right)\;}$

a:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={1 \over 8\pi G}\left(R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }R+g^{\mu \nu }\Lambda \right)\;}$

En teorías alternativas de la gravedad, se puede añadir una constante cosmológica a la acción de la misma manera.

De manera más general, se puede agregar un potencial escalar a las teorías tensoriales escalares. Esto se puede hacer en cada alternativa de la relatividad general que contiene un campo escalar agregando el término dentro del lagrangiano para la parte gravitacional de la acción, la parte de ${\displaystyle \lambda (\varphi )\;}$ ${\displaystyle \varphi \;}$ ${\displaystyle \lambda (\varphi )\;}$ ${\displaystyle L_{\varphi }\;}$

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\,L_{\varphi }+S_{m}\;}$

Como es una función arbitraria del campo escalar y no una constante, se puede configurar para que dé una aceleración que es grande en el universo primitivo y pequeña en la época actual. Esto se conoce como quintaesencia. ${\displaystyle \lambda (\varphi )\;}$

Se puede utilizar un método similar en alternativas a la relatividad general que utilizan campos vectoriales, incluidas las teorías de Rastall ^[49] y de vector-tensor. Un término proporcional a

${\displaystyle K^{\mu }K^{\nu }g_{\mu \nu }\;}$

se agrega al Lagrangiano para la parte gravitacional de la acción.

Las teorías de Farnes

En diciembre de 2018, el astrofísico Jamie Farnes de la Universidad de Oxford propuso una teoría de fluidos oscuros , relacionada con las nociones de masas negativas gravitacionalmente repulsivas que había presentado anteriormente Albert Einstein . La teoría puede ayudar a comprender mejor las considerables cantidades de materia oscura y energía oscura desconocidas en el universo . ^[73]

La teoría se basa en el concepto de masa negativa y reintroduce el tensor de creación de Fred Hoyle para permitir la creación de materia solo para partículas de masa negativa. De esta manera, las partículas de masa negativa rodean las galaxias y ejercen una presión sobre ellas, asemejándose así a la materia oscura. A medida que estas partículas hipotéticas se repelen mutuamente, alejan al Universo, asemejándose así a la energía oscura. La creación de materia permite que la densidad de las partículas exóticas de masa negativa permanezca constante en función del tiempo, y por lo tanto parece una constante cosmológica . Las ecuaciones de campo de Einstein se modifican para:

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_{\mu \nu }^{+}+T_{\mu \nu }^{-}+C_{\mu \nu }\right)}$

Según la navaja de Occam, la teoría de Farnes es una alternativa más simple al modelo convencional LambdaCDM, ya que tanto la energía oscura como la materia oscura (dos hipótesis) se resuelven utilizando un único fluido de masa negativa (una hipótesis). La teoría se podrá comprobar directamente utilizando el radiotelescopio más grande del mundo, el Square Kilometre Array , que debería entrar en funcionamiento en 2022. ^[74]

MOND relativista

La teoría original de MOND de Milgrom fue desarrollada en 1983 como una alternativa a la "materia oscura". Las desviaciones de la ley de gravitación de Newton están regidas por una escala de aceleración, no por una escala de distancia. MOND explica con éxito la observación de Tully-Fisher de que la luminosidad de una galaxia debería escalar como la cuarta potencia de la velocidad de rotación. También explica por qué la discrepancia de rotación en las galaxias enanas es particularmente grande.

Hubo varios problemas con MOND al principio.

1. No incluía efectos relativistas.
2. Violó la conservación de la energía, el momento y el momento angular.
3. Era inconsistente porque proporciona diferentes órbitas galácticas para el gas y para las estrellas.
4. No se explica cómo calcular el efecto de lente gravitacional a partir de cúmulos de galaxias.

En 1984, los problemas 2 y 3 se habían resuelto introduciendo un lagrangiano ( AQUAL ). Se rechazó una versión relativista de este basado en la teoría escalar-tensor porque permitía que las ondas en el campo escalar se propagaran más rápido que la luz. El lagrangiano de la forma no relativista es:

${\displaystyle L=-{a_{0}^{2} \over 8\pi G}f\left\lbrack {\frac {|\nabla \varphi |^{2}}{a_{0}^{2}}}\right\rbrack -\rho \varphi }$

La versión relativista de esto tiene:

${\displaystyle L=-{a_{0}^{2} \over 8\pi G}{\tilde {f}}\left(\ell _{0}^{2}g^{\mu \nu }\,\partial _{\mu }\varphi \,\partial _{\nu }\varphi \right)}$

con una acción de masa no estándar. Aquí y son funciones arbitrarias seleccionadas para dar el comportamiento newtoniano y MOND en los límites correctos, y es la escala de longitud MOND. Para 1988, un segundo campo escalar (PCC) solucionó los problemas con la versión escalar-tensor anterior, pero está en conflicto con la precesión del perihelio de Mercurio y la lente gravitacional de las galaxias y los cúmulos. Para 1997, MOND se había incorporado con éxito en una teoría relativista estratificada [Sanders], pero como esta es una teoría de marco preferida , tiene sus propios problemas. Bekenstein ^[63] introdujo un modelo tensorial-vectorial-escalar (TeVeS). Este tiene dos campos escalares y y un campo vectorial . La acción se divide en partes para la gravedad, los escalares, el vector y la masa. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle l_{0}=c^{2}/a_{0}\;}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \sigma \;}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$

${\displaystyle S=S_{g}+S_{s}+S_{v}+S_{m}}$

La parte de gravedad es la misma que en la relatividad general.

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{s}&=-{\frac {1}{2}}\int \left[\sigma ^{2}h^{\alpha \beta }\varphi _{,\alpha }\varphi _{,\beta }+{\frac {1}{2}}G\ell _{0}^{-2}\sigma ^{4}F(kG\sigma ^{2})\right]{\sqrt {-g}}\,d^{4}x\\[5pt]S_{v}&=-{\frac {K}{32\pi G}}\int \left[g^{\alpha \beta }g^{\mu \nu }U_{[\alpha ,\mu ]}U_{[\beta ,\nu ]}-{\frac {2\lambda }{K}}\left(g^{\mu \nu }U_{\mu }U_{\nu }+1\right)\right]{\sqrt {-g}}\,d^{4}x\\[5pt]S_{m}&=\int L\left({\tilde {g}}_{\mu \nu },f^{\alpha },f_{|\mu }^{\alpha },\ldots \right){\sqrt {-g}}\,d^{4}x\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle h^{\alpha \beta }=g^{\alpha \beta }-U^{\alpha }U^{\beta }}$

${\displaystyle {\tilde {g}}^{\alpha \beta }=e^{2\varphi }g^{\alpha \beta }+2U^{\alpha }U^{\beta }\sinh(2\varphi )}$

${\displaystyle k,K}$son constantes, los corchetes en los índices representan antisimetrización, es un multiplicador de Lagrange (calculado en otro lugar) y L es un lagrangiano traducido del espacio-tiempo plano a la métrica . Nótese que G no necesita ser igual a la constante gravitacional observada . F es una función arbitraria y ${\displaystyle U_{[\alpha ,\mu ]}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\tilde {g}}^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle G_{Newton}}$

${\displaystyle F(\mu )={\frac {3}{4}}{\mu ^{2}(\mu -2)^{2} \over 1-\mu }}$

se da como ejemplo con el comportamiento asintótico correcto; observe cómo se vuelve indefinido cuando ${\displaystyle \mu =1}$

Los parámetros paramétricos post-newtonianos de esta teoría se calculan en ^[75] , lo que demuestra que todos sus parámetros son iguales a los de la relatividad general, excepto

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}&={\frac {4G}{K}}\left((2K-1)e^{-4\varphi _{0}}-e^{4\varphi _{0}}+8\right)-8\\[5pt]\alpha _{2}&={\frac {6G}{2-K}}-{\frac {2G(K+4)e^{4\varphi _{0}}}{(2-K)^{2}}}-1\end{aligned}}}$

ambos expresados ​​en unidades geométricas donde ; entonces ${\displaystyle c=G_{Newtonian}=1}$

${\displaystyle G^{-1}={\frac {2}{2-K}}+{\frac {k}{4\pi }}.}$

Las teorías de Moffat

JW Moffat ^[66] desarrolló una teoría de gravitación no simétrica . Esta no es una teoría métrica. Primero se afirmó que no contiene un horizonte de agujeros negros, pero Burko y Ori ^[76] descubrieron que la teoría gravitacional no simétrica puede contener agujeros negros. Más tarde, Moffat afirmó que también se ha aplicado para explicar las curvas de rotación de las galaxias sin invocar la "materia oscura". Damour, Deser y MaCarthy ^[77] han criticado la teoría gravitacional no simétrica, diciendo que tiene un comportamiento asintótico inaceptable.

Las matemáticas no son difíciles pero están entrelazadas, por lo que lo que sigue es solo un breve esbozo. A partir de un tensor no simétrico , la densidad lagrangiana se divide en ${\displaystyle g_{\mu \nu }\;}$

${\displaystyle L=L_{R}+L_{M}\;}$

donde es lo mismo que para la materia en la relatividad general. ${\displaystyle L_{M}\;}$

${\displaystyle L_{R}={\sqrt {-g}}\left[R(W)-2\lambda -{\frac {1}{4}}\mu ^{2}g^{\mu \nu }g_{[\mu \nu ]}\right]-{\frac {1}{6}}g^{\mu \nu }W_{\mu }W_{\nu }\;}$

donde es un término de curvatura análogo pero no igual a la curvatura de Ricci en la relatividad general, y son constantes cosmológicas, es la parte antisimétrica de . es una conexión, y es un poco difícil de explicar porque se define de forma recursiva. Sin embargo, ${\displaystyle R(W)\;}$ ${\displaystyle \lambda \;}$ ${\displaystyle \mu ^{2}\;}$ ${\displaystyle g_{[\nu \mu ]}\;}$ ${\displaystyle g_{\nu \mu }\;}$ ${\displaystyle W_{\mu }\;}$ ${\displaystyle W_{\mu }\approx -2g_{[\mu \nu ]}^{,\nu }\;}$

Haugan y Kauffmann ^[78] utilizaron mediciones de polarización de la luz emitida por las galaxias para imponer restricciones estrictas a la magnitud de algunos de los parámetros de la teoría gravitacional no simétrica. También utilizaron experimentos de Hughes-Drever para limitar los grados de libertad restantes. Su restricción es ocho órdenes de magnitud más estricta que las estimaciones anteriores.

La teoría de gravedad tensorial métrica-oscilante (MSTG) de Moffat ^[68] es capaz de predecir curvas de rotación para galaxias sin materia oscura o MOND, y afirma que también puede explicar el efecto de lente gravitacional de cúmulos de galaxias sin materia oscura. Tiene una variable que aumenta hasta un valor constante final aproximadamente un millón de años después del Big Bang. ${\displaystyle G\;}$

La teoría parece contener un campo tensorial asimétrico y un vector de corriente de fuente. La acción se divide en: ${\displaystyle A_{\mu \nu }\;}$ ${\displaystyle J_{\mu }\;}$

${\displaystyle S=S_{G}+S_{F}+S_{FM}+S_{M}\;}$

Tanto los términos de gravedad como los de masa coinciden con los de la relatividad general con constante cosmológica. La acción del campo oblicuo y el acoplamiento de la materia del campo oblicuo son:

${\displaystyle S_{F}=\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\left({\frac {1}{12}}F_{\mu \nu \rho }F^{\mu \nu \rho }-{\frac {1}{4}}\mu ^{2}A_{\mu \nu }A^{\mu \nu }\right)\;}$

${\displaystyle S_{FM}=\int d^{4}x\,\epsilon ^{\alpha \beta \mu \nu }A_{\alpha \beta }\partial _{\mu }J_{\nu }\;}$

dónde

${\displaystyle F_{\mu \nu \rho }=\partial _{\mu }A_{\nu \rho }+\partial _{\rho }A_{\mu \nu }}$

y es el símbolo de Levi-Civita . El acoplamiento de campo oblicuo es un acoplamiento de Pauli y es invariante de calibre para cualquier corriente de fuente. La corriente de fuente parece un campo de fermiones de materia asociado con el número de bariones y leptones. ${\displaystyle \epsilon ^{\alpha \beta \mu \nu }\;}$

Gravedad escalar-tensor-vectorial

La gravedad escalar-tensor-vectorial de Moffat ^[69] contiene un tensor, un vector y tres campos escalares. Pero las ecuaciones son bastante sencillas. La acción se divide en: con términos para la gravedad, el campo vectorial, los campos escalares y la masa. es el término de gravedad estándar con la excepción de que se mueve dentro de la integral. ${\displaystyle S=S_{G}+S_{K}+S_{S}+S_{M}}$ ${\displaystyle K_{\mu },}$ ${\displaystyle G,\omega ,\mu }$ ${\displaystyle S_{G}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle S_{K}=-\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\omega \left({\frac {1}{4}}B_{\mu \nu }B^{\mu \nu }+V(K)\right),\qquad {\text{where }}\quad B_{\mu \nu }=\partial _{\mu }K_{\nu }-\partial _{\nu }K_{\mu }.}$

${\displaystyle S_{S}=-\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}{\frac {1}{G^{3}}}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\,\nabla _{\mu }G\,\nabla _{\nu }G-V(G)\right)+{\frac {1}{G}}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\,\nabla _{\mu }\omega \,\nabla _{\nu }\omega -V(\omega )\right)+{1 \over \mu ^{2}G}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\,\nabla _{\mu }\mu \,\nabla _{\nu }\mu -V(\mu )\right).}$

La función potencial para el campo vectorial se elige como:

${\displaystyle V(K)=-{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{\mu }\varphi _{\mu }-{\frac {1}{4}}g\left(\varphi ^{\mu }\varphi _{\mu }\right)^{2}}$

donde es una constante de acoplamiento. No se indican las funciones supuestas para los potenciales escalares. ${\displaystyle g}$

Gravedad derivada infinita

Para eliminar fantasmas en el propagador modificado, así como para obtener libertad asintótica, Biswas, Mazumdar y Siegel (2005) consideraron un conjunto infinito inspirado en cuerdas de términos derivados superiores.

${\displaystyle S=\int \mathrm {d} ^{4}x{\sqrt {-g}}\left({\frac {R}{2}}+RF(\Box )R\right)}$

donde es la exponencial de una función entera del operador D'Alembertiano . ^{[79] [80]} Esto evita una singularidad de agujero negro cerca del origen, mientras recupera la caída 1/r del potencial de la relatividad general a grandes distancias. ^[81] Lousto y Mazzitelli (1997) encontraron una solución exacta a estas teorías que representa una onda de choque gravitacional. ^[82] ${\displaystyle F(\Box )}$

Autointeracción de la relatividad general (GRSI)

El modelo de autointeracción de la relatividad general o GRSI ^[83] es un intento de explicar las observaciones astrofísicas y cosmológicas sin materia oscura , energía oscura agregando términos de autointeracción al calcular los efectos gravitacionales en la relatividad general , análogos a los términos de autointeracción en la cromodinámica cuántica . ^[84] Además, el modelo explica la relación de Tully-Fisher , ^[85] la relación de aceleración radial , ^[86] observaciones que actualmente son difíciles de entender dentro de Lambda-CDM .

El modelo fue propuesto en una serie de artículos, el primero de los cuales data de 2003. ^[87] El punto básico es que, dado que dentro de la Relatividad General, los campos gravitatorios se acoplan entre sí, esto puede aumentar efectivamente la interacción gravitatoria entre objetos masivos. La fuerza gravitatoria adicional evita entonces la necesidad de materia oscura. Este acoplamiento de campos es el origen del comportamiento no lineal de la Relatividad General . Puede entenderse, en lenguaje de partículas, como gravitones que interactúan entre sí (a pesar de no tener masa ) porque llevan energía-momento .

A natural implication of this model is its explanation of the accelerating expansion of the universe without resorting to dark energy.^[84] The increased binding energy within a galaxy requires, by energy conservation, a weakening of gravitational attraction outside said galaxy. This mimics the repulsion of dark energy.

The GRSI model is inspired from the Strong Nuclear Force, where a comparable phenomenon occurs. The interaction between gluons emitted by static or nearly static quarks dramatically strengthens quark-quark interaction, ultimately leading to quark confinement on the one hand (analogous to the need of stronger gravity to explain away dark matter) and the suppression of the Strong Nuclear Force outside hadrons (analogous to the repulsion of dark energy that balances gravitational attraction at large scales.) Two other parallel phenomena are the Tully-Fisher relation in galaxy dynamics that is analogous to the Regge trajectories emerging from the strong force. In both cases, the phenomenological formulas describing these observations are similar, albeit with different numerical factors.

These parallels are expected from a theoretical point of view: General Relativity and the Strong Interaction Lagrangians have the same form.^[88][89] The validity of the GRSI model then simply hinges on whether the coupling of the gravitational fields is large enough so that the same effects that occur in hadrons also occur in very massive systems. This coupling is effectively given by ${\displaystyle {\sqrt {GM/L}}}$, where ${\displaystyle G}$ is the gravitational constant, ${\displaystyle M}$ is the mass of the system, and ${\displaystyle L}$ is a characteristic length of the system. The claim of the GRSI proponents, based either on lattice calculations,^[89] a background-field model.^[90] or the coincidental phenomenologies in galactic or hadronic dynamics mentioned in the previous paragraph, is that ${\displaystyle {\sqrt {GM/L}}}$ is indeed sufficiently large for large systems such as galaxies.

List of topics studied in the Model

The main observations that appear to require dark matter and/or dark energy can be explained within this model. Namely,

• The flat rotation curves of galaxies.^[89][90][91] These results, however, have been challenged.^[92][93]
• The Cosmic Microwave Background anisotropies.^[94]
• The fainter luminosities of distant supernovae and their consequence on the accelerating expansion of the universe.^[84]
• The formation of the Universe's large structures.^[95]
• The matter power spectrum.^[94]
• The internal dynamics of galaxy clusters, including that of the Bullet Cluster.^[89]

Additionally, the model explains observations that are currently challenging to understand within Lambda-CDM:

• The Tully-Fisher relation.^[89][90]
• The radial acceleration relation.^[96]
• The Hubble tension.^[97]
• The cosmic coincidence, that is the fact that at present time, the purported repulsion of dark energy nearly exactly cancels the action of gravity in the overall dynamics of the universe.^[91]

Finally, the model made a prediction that the amount of missing mass (i.e., the dark mass in dark matter approaches) in elliptical galaxies correlates with the ellipticity of the galaxies.^[89] This was tested and verified.^[98][99]

Testing of alternatives to general relativity

Any putative alternative to general relativity would need to meet a variety of tests for it to become accepted. For in-depth coverage of these tests, see Misner et al.^[52] Ch.39, Will^[11] Table 2.1, and Ni.^[12] Most such tests can be categorized as in the following subsections.

Self-consistency

Self-consistency among non-metric theories includes eliminating theories allowing tachyons, ghost poles and higher order poles, and those that have problems with behaviour at infinity. Among metric theories, self-consistency is best illustrated by describing several theories that fail this test. The classic example is the spin-two field theory of Fierz and Pauli;^[17] the field equations imply that gravitating bodies move in straight lines, whereas the equations of motion insist that gravity deflects bodies away from straight line motion. Yilmaz (1971)^[29] contains a tensor gravitational field used to construct a metric; it is mathematically inconsistent because the functional dependence of the metric on the tensor field is not well defined.

Completeness

To be complete, a theory of gravity must be capable of analysing the outcome of every experiment of interest. It must therefore mesh with electromagnetism and all other physics. For instance, any theory that cannot predict from first principles the movement of planets or the behaviour of atomic clocks is incomplete.

Many early theories are incomplete in that it is unclear whether the density ${\displaystyle \rho }$ used by the theory should be calculated from the stress–energy tensor ${\displaystyle T}$ as ${\displaystyle \rho =T_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }}$ or as ${\displaystyle \rho =T_{\mu \nu }\delta ^{\mu \nu }}$, where ${\displaystyle u}$ is the four-velocity, and ${\displaystyle \delta }$ is the Kronecker delta. The theories of Thirry (1948) and Jordan^[24] are incomplete unless Jordan's parameter ${\displaystyle \eta \;}$ is set to -1, in which case they match the theory of Brans–Dicke^[9] and so are worthy of further consideration. Milne^[19] is incomplete because it makes no gravitational red-shift prediction. The theories of Whitrow and Morduch,^[30][31] Kustaanheimo^[32] and Kustaanheimo and Nuotio^[33] are either incomplete or inconsistent. The incorporation of Maxwell's equations is incomplete unless it is assumed that they are imposed on the flat background space-time, and when that is done they are inconsistent, because they predict zero gravitational redshift when the wave version of light (Maxwell theory) is used, and nonzero redshift when the particle version (photon) is used. Another more obvious example is Newtonian gravity with Maxwell's equations; light as photons is deflected by gravitational fields (by half that of general relativity) but light as waves is not.

Classical tests

There are three "classical" tests (dating back to the 1910s or earlier) of the ability of gravity theories to handle relativistic effects; they are gravitational redshift, gravitational lensing (generally tested around the Sun), and anomalous perihelion advance of the planets. Each theory should reproduce the observed results in these areas, which have to date always aligned with the predictions of general relativity. In 1964, Irwin I. Shapiro found a fourth test, called the Shapiro delay. It is usually regarded as a "classical" test as well.

Agreement with Newtonian mechanics and special relativity

As an example of disagreement with Newtonian experiments, Birkhoff^[18] theory predicts relativistic effects fairly reliably but demands that sound waves travel at the speed of light. This was the consequence of an assumption made to simplify handling the collision of masses.^{[citation needed]}

The Einstein equivalence principle

Einstein's Equivalence Principle has three components. The first is the uniqueness of free fall, also known as the Weak Equivalence Principle. This is satisfied if inertial mass is equal to gravitational mass. η is a parameter used to test the maximum allowable violation of the Weak Equivalence Principle. The first tests of the Weak Equivalence Principle were done by Eötvös before 1900 and limited η to less than 5×10⁻⁹. Modern tests have reduced that to less than 5×10⁻¹³. The second is Lorentz invariance. In the absence of gravitational effects the speed of light is constant. The test parameter for this is δ. The first tests of Lorentz invariance were done by Michelson and Morley before 1890 and limited δ to less than 5×10⁻³. Modern tests have reduced this to less than 1×10⁻²¹. The third is local position invariance, which includes spatial and temporal invariance. The outcome of any local non-gravitational experiment is independent of where and when it is performed. Spatial local position invariance is tested using gravitational redshift measurements. The test parameter for this is α. Upper limits on this found by Pound and Rebka in 1960 limited α to less than 0.1. Modern tests have reduced this to less than 1×10⁻⁴.^[2]

Schiff's conjecture states that any complete, self-consistent theory of gravity that embodies the Weak Equivalence Principle necessarily embodies Einstein's Equivalence Principle. This is likely to be true if the theory has full energy conservation. Metric theories satisfy the Einstein Equivalence Principle. Extremely few non-metric theories satisfy this. For example, the non-metric theory of Belinfante & Swihart^[26][27] is eliminated by the THεμ formalism for testing Einstein's Equivalence Principle. Gauge theory gravity is a notable exception, where the strong equivalence principle is essentially the minimal coupling of the gauge covariant derivative.

Parametric post-Newtonian formalism

See also Tests of general relativity, Misner et al.^[52] and Will^[11] for more information.

Work on developing a standardized rather than ad hoc set of tests for evaluating alternative gravitation models began with Eddington in 1922 and resulted in a standard set of Parametric post-Newtonian numbers in Nordtvedt and Will^[100] and Will and Nordtvedt.^[43] Each parameter measures a different aspect of how much a theory departs from Newtonian gravity. Because we are talking about deviation from Newtonian theory here, these only measure weak-field effects. The effects of strong gravitational fields are examined later.

These ten are: ${\displaystyle \gamma ,\beta ,\eta ,\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\zeta _{1},\zeta _{2},\zeta _{3},\zeta _{4}.}$

• ${\displaystyle \gamma }$ is a measure of space curvature, being zero for Newtonian gravity and one for general relativity.
• ${\displaystyle \beta }$ is a measure of nonlinearity in the addition of gravitational fields, one for general relativity.
• ${\displaystyle \eta }$ is a check for preferred location effects.
• ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}$ measure the extent and nature of "preferred-frame effects". Any theory of gravity in which at least one of the three is nonzero is called a preferred-frame theory.
• ${\displaystyle \zeta _{1},\zeta _{2},\zeta _{3},\zeta _{4},\alpha _{3}}$ measure the extent and nature of breakdowns in global conservation laws. A theory of gravity possesses 4 conservation laws for energy-momentum and 6 for angular momentum only if all five are zero.

Strong gravity and gravitational waves

Parametric post-Newtonian is only a measure of weak field effects. Strong gravity effects can be seen in compact objects such as white dwarfs, neutron stars, and black holes. Experimental tests such as the stability of white dwarfs, spin-down rate of pulsars, orbits of binary pulsars and the existence of a black hole horizon can be used as tests of alternative to general relativity. General relativity predicts that gravitational waves travel at the speed of light. Many alternatives to general relativity say that gravitational waves travel faster than light, possibly breaking causality. After the multi-messaging detection of the GW170817 coalescence of neutron stars, where light and gravitational waves were measured to travel at the same speed with an error of 1/10¹⁵, many of those modified theories of gravity were excluded.

Cosmological tests

Useful cosmological scale tests are just beginning to become available.^[2]: 88 Given the limited astronomical data and the complexity of the theories, comparisons involve complex parameters. For example, Reyes et al.,^[101] analyzed 70,205 luminous red galaxies with a cross-correlation involving galaxy velocity estimates and gravitational potentials estimated from lensing and yet results are still tentative.^[1]: 164

For those theories that aim to replace dark matter, observations like the galaxy rotation curve, the Tully–Fisher relation, the faster rotation rate of dwarf galaxies, and the gravitational lensing due to galactic clusters act as constraints. For those theories that aim to replace inflation, the size of ripples in the spectrum of the cosmic microwave background radiation is the strictest test. For those theories that incorporate or aim to replace dark energy, the supernova brightness results and the age of the universe can be used as tests. Another test is the flatness of the universe. With general relativity, the combination of baryonic matter, dark matter and dark energy add up to make the universe exactly flat.

Results of testing theories

Parametric post-Newtonian parameters for a range of theories

(See Will^[11] and Ni^[12] for more details. Misner et al.^[52] gives a table for translating parameters from the notation of Ni to that of Will)

General Relativity is now more than 100 years old, during which one alternative theory of gravity after another has failed to agree with ever more accurate observations. One illustrative example is Parameterized post-Newtonian formalism. The following table lists Parametric post-Newtonian values for a large number of theories. If the value in a cell matches that in the column heading then the full formula is too complicated to include here.

† The theory is incomplete, and ${\displaystyle \zeta _{4}}$ can take one of two values. The value closest to zero is listed.

All experimental tests agree with general relativity so far, and so Parametric post-Newtonian analysis immediately eliminates all the scalar field theories in the table. A full list of Parametric post-Newtonian parameters is not available for Whitehead,^[7] Deser-Laurent,^[34] Bollini–Giambiagi–Tiomino,^[37] but in these three cases ${\displaystyle \beta =\xi }$,^{[citation needed]} which is in strong conflict with general relativity and experimental results. In particular, these theories predict incorrect amplitudes for the Earth's tides. (A minor modification of Whitehead's theory avoids this problem. However, the modification predicts the Nordtvedt effect, which has been experimentally constrained.)

Theories that fail other tests

The stratified theories of Ni,^[42] Lee Lightman and Ni^[46] are non-starters because they all fail to explain the perihelion advance of Mercury. The bimetric theories of Lightman and Lee,^[45] Rosen,^[41] Rastall^[49] all fail some of the tests associated with strong gravitational fields. The scalar–tensor theories include general relativity as a special case, but only agree with the Parametric post-Newtonian values of general relativity when they are equal to general relativity to within experimental error. As experimental tests get more accurate, the deviation of the scalar–tensor theories from general relativity is being squashed to zero. The same is true of vector–tensor theories, the deviation of the vector–tensor theories from general relativity is being squashed to zero. Further, vector–tensor theories are semi-conservative; they have a nonzero value for ${\displaystyle \alpha _{2}}$ which can have a measurable effect on the Earth's tides. Non-metric theories, such as Belinfante and Swihart,^[26][27] usually fail to agree with experimental tests of Einstein's equivalence principle. And that leaves, as a likely valid alternative to general relativity, nothing except possibly Cartan.^[15] That was the situation until cosmological discoveries pushed the development of modern alternatives.

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Enlaces externos

• Carroll, Sean . Videoconferencia sobre las posibilidades y limitaciones de la revisión de la teoría general de la relatividad. Energía oscura o algo peor: ¿se equivocó Einstein? en YouTube