Expansión post-newtoniana

Método de aproximación en relatividad general

Diagrama del espacio de parámetros de binarias compactas con los diversos esquemas de aproximación y sus regiones de validez.

Expansiones post-minkowskianas y post-newtonianas

En la relatividad general , las expansiones post-newtonianas ( expansiones PN ) se utilizan para encontrar una solución aproximada de las ecuaciones de campo de Einstein para el tensor métrico . Las aproximaciones se expanden en parámetros pequeños que expresan órdenes de desviaciones de la ley de gravitación universal de Newton . Esto permite realizar aproximaciones a las ecuaciones de Einstein en el caso de campos débiles. Se pueden agregar términos de orden superior para aumentar la precisión, pero para campos fuertes a veces es preferible resolver las ecuaciones completas numéricamente. Este método es una marca común de las teorías de campo efectivas . En el límite, cuando los parámetros pequeños son iguales a 0, la expansión post-newtoniana se reduce a la ley de gravedad de Newton.

Expansión en 1/do2

Las aproximaciones post-newtonianas son expansiones en un parámetro pequeño, que es la relación entre la velocidad de la materia que crea el campo gravitatorio y la velocidad de la luz , que en este caso se denomina con más precisión velocidad de la gravedad . ^[1] En el límite, cuando la velocidad fundamental de la gravedad se vuelve infinita, la expansión post-newtoniana se reduce a la ley de la gravedad de Newton . Subrahmanyan Chandrasekhar y sus colegas desarrollaron un estudio sistemático de las expansiones post-newtonianas dentro de las aproximaciones hidrodinámicas en la década de 1960. ^{[2] [3] [4] [5] [6]}

Expansión enyo

Otro enfoque es expandir las ecuaciones de la relatividad general en una serie de potencias en la desviación de la métrica respecto de su valor en ausencia de gravedad .

${\displaystyle h_{\alpha \beta }=g_{\alpha \beta }-\eta _{\alpha \beta }\,.}$

Para ello, se debe elegir un sistema de coordenadas en el que los valores propios de todos tengan valores absolutos menores que 1. ${\displaystyle h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \gamma }\,}$

Por ejemplo, si uno va un paso más allá de la gravedad linealizada para obtener la expansión al segundo orden en h :

${\displaystyle g^{\mu \nu }\approx \eta ^{\mu \nu }-\eta ^{\mu \alpha }h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \nu }+\eta ^{\mu \alpha }h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \gamma }h_{\gamma \delta }\eta ^{\delta \nu }\,.}$

${\displaystyle {\sqrt {-g}}\approx 1+{\tfrac {1}{2}}h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \alpha }+{\tfrac {1}{8}}h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \alpha }h_{\gamma \delta }\eta ^{\delta \gamma }-{\tfrac {1}{4}}h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \gamma }h_{\gamma \delta }\eta ^{\delta \alpha }\,.}$

Las expansiones basadas únicamente en la métrica, independientemente de la velocidad, se denominan expansiones post-Minkowskianas ( expansiones PM ).

Usos

El primer uso de una expansión PN (de primer orden) fue realizado por Albert Einstein al calcular la precesión del perihelio de la órbita de Mercurio . Hoy en día, el cálculo de Einstein se reconoce como un ejemplo común de aplicaciones de las expansiones PN, resolviendo el problema general relativista de los dos cuerpos , que incluye la emisión de ondas gravitacionales .

Calibre newtoniano

En general, la métrica perturbada se puede escribir como ^[8]

${\displaystyle ds^{2}=a^{2}(\tau )\left[(1+2A)d\tau ^{2}-2B_{i}dx^{i}d\tau -\left(\delta _{ij}+h_{ij}\right)dx^{i}dx^{j}\right]}$

donde , y son funciones del espacio y del tiempo. se pueden descomponer como ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle h_{ij}}$ ${\displaystyle h_{ij}}$

${\displaystyle h_{ij}=2C\delta _{ij}+\partial _{i}\partial _{j}E-{\frac {1}{3}}\delta _{ij}\Box ^{2}E+\partial _{i}{\hat {E}}_{j}+\partial _{j}{\hat {E}}_{i}+2{\tilde {E}}_{ij}}$

donde es el operador de d'Alembert , es un escalar, es un vector y es un tensor sin traza. Entonces los potenciales de Bardeen se definen como ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\hat {E}}_{i}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{ij}}$

${\displaystyle \Psi \equiv A+H(B-E'),+(B+E')',\quad \Phi \equiv -C-H(B-E')+{\frac {1}{3}}\Box E}$

donde es la constante de Hubble y un primo representa la diferenciación con respecto al tiempo conforme . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \tau \,}$

Tomando (es decir, estableciendo y ), el calibre newtoniano es ${\displaystyle B=E=0}$ ${\displaystyle \Phi \equiv -C}$ ${\displaystyle \Psi \equiv A}$

${\displaystyle ds^{2}=a^{2}(\tau )\left[(1+2\Psi )d\tau ^{2}-(1-2\Phi )\delta _{ij}dx^{i}dx^{j}\right]\,}$.

Téngase en cuenta que, en ausencia de estrés anisotrópico, . ${\displaystyle \Phi =\Psi }$

Los campos gravitacionales no relativistas proporcionan una extensión no lineal útil de esto .

Véase también

• Portal de física

• Condiciones de coordenadas
• Ecuaciones de Einstein-Infeld-Hoffmann
• Gravedad linealizada
• Formalismo post-newtoniano parametrizado

Referencias

1. Kopeikin, S. (2004). "La velocidad de la gravedad en la Relatividad General y la interpretación teórica del experimento de deflexión joviana". Gravedad clásica y cuántica . 21 (13): 3251–3286. arXiv : gr-qc/0310059 . Código Bibliográfico :2004CQGra..21.3251K. doi :10.1088/0264-9381/21/13/010. S2CID  13998000.
2. Chandrasekhar, S. (1965). "Las ecuaciones post-newtonianas de la hidrodinámica en la relatividad general". The Astrophysical Journal . 142 : 1488. Bibcode :1965ApJ...142.1488C. doi :10.1086/148432.
3. Chandrasekhar, S. (1967). "Los efectos post-newtonianos de la relatividad general sobre el equilibrio de cuerpos en rotación uniforme. II. Las figuras deformadas de los esferoides de MacLaurin". The Astrophysical Journal . 147 : 334. Bibcode :1967ApJ...147..334C. doi :10.1086/149003.
4. Chandrasekhar, S. (1969). "Leyes de conservación en la relatividad general y en las aproximaciones post-newtonianas". The Astrophysical Journal . 158 : 45. Bibcode :1969ApJ...158...45C. doi : 10.1086/150170 .
5. Chandrasekhar, S. ; Nutku, Y. (1969). "Las segundas ecuaciones post-newtonianas de la hidrodinámica en la relatividad general". Astrofísica relativista . 86 : 55. Bibcode :1969ApJ...158...55C. doi : 10.1086/150171 .
6. Chandrasekhar, S. ; Esposito, FP (1970). "Las ecuaciones 2½-post-Newtonianas de la hidrodinámica y la reacción de la radiación en la Relatividad General". The Astrophysical Journal . 160 : 153. Bibcode :1970ApJ...160..153C. doi : 10.1086/150414 .
7. Bern, Zvi; Cheung, Clifford; Roiban, Radu; Shen, Chia-Hsien; Solon, Mikhail P.; Zeng, Mao (5 de agosto de 2019). "Dinámica binaria de agujeros negros a partir de la teoría de la doble copia y la teoría efectiva". Journal of High Energy Physics . 2019 (10): 206. arXiv : 1908.01493 . Bibcode :2019JHEP...10..206B. doi :10.1007/JHEP10(2019)206. ISSN  1029-8479. S2CID  199442337.
8. "Teoría de la perturbación cosmológica" (PDF) . pág. 83,86. Archivado desde el original (PDF) el 26 de agosto de 2016. Consultado el 10 de agosto de 2016 .

Enlaces externos

• "Sobre el movimiento de partículas en la teoría de la relatividad general" de A. Einstein y L. Infeld Archivado el 8 de marzo de 2012 en Wayback Machine.
• Blanchet, Luc (2014). "Radiación gravitacional de fuentes post-newtonianas y sistemas binarios compactos en espiral". Living Reviews in Relativity . 17 (1): 2. arXiv : 1310.1528 . Bibcode :2014LRR....17....2B. doi : 10.12942/lrr-2014-2 . PMC  5256563 . PMID  28179846.
• Clifford, M. Will (2011). "Sobre la efectividad irrazonable de la aproximación post-newtoniana en la física gravitacional". PNAS . 108 (15): 5938–5945. arXiv : 1102.5192 . doi : 10.1073/pnas.1103127108 .