Foliación

En matemáticas, un tipo de relación de equivalencia en una variedad n

Sección bidimensional de la foliación de Reeb

Modelo tridimensional de la foliación de Reeb

En matemáticas ( geometría diferencial ), una foliación es una relación de equivalencia en una n -variedad , siendo las clases de equivalencia subvariedades conectadas, inyectivamente inmersas , todas de la misma dimensión p , modeladas sobre la descomposición del espacio de coordenadas real R ⁿ en los coconjuntos x + R ^p del subespacio estándar embebido R ^p . Las clases de equivalencia se denominan hojas de la foliación. ^[1] Si se requiere que la variedad y/o las subvariedades tengan una estructura lineal por partes , diferenciable (de clase C ^r ), o analítica , entonces se definen foliaciones lineales por partes, diferenciables o analíticas, respectivamente. En el caso más importante de foliación diferenciable de clase C ^r se entiende habitualmente que r ≥ 1 (de lo contrario, C ⁰ es una foliación topológica). ^[2] El número p (la dimensión de las hojas) se llama dimensión de la foliación y q = n − p se llama su codimensión .

En algunos artículos sobre relatividad general escritos por físicos matemáticos, se utiliza el término foliación (o corte ) para describir una situación en la que la variedad de Lorentz relevante (un espacio-tiempo de dimensión ( p +1) ) se ha descompuesto en hipersuperficies de dimensión p , especificadas como los conjuntos de niveles de una función suave de valor real ( campo escalar ) cuyo gradiente es en todas partes distinto de cero; además, se suele suponer que esta función suave es una función temporal, lo que significa que su gradiente es en todas partes temporal , de modo que sus conjuntos de niveles son todos hipersuperficies espaciales. En deferencia a la terminología matemática estándar, estas hipersuperficies a menudo se denominan hojas (o, a veces, cortes ) de la foliación. ^[3] Nótese que, si bien esta situación constituye una foliación de codimensión 1 en el sentido matemático estándar, los ejemplos de este tipo son en realidad triviales a nivel global; mientras que las hojas de una foliación de codimensión-1 (matemática) son siempre localmente los conjuntos de nivel de una función, generalmente no pueden expresarse de esta manera globalmente, ^{[4] [5]} ya que una hoja puede pasar a través de un gráfico de trivialización local infinitas veces, y la holonomía alrededor de una hoja también puede obstruir la existencia de funciones definitorias globalmente consistentes para las hojas. Por ejemplo, mientras que la 3-esfera tiene una famosa foliación de codimensión-1 descubierta por Reeb, una foliación de codimensión-1 de una variedad cerrada no puede ser dada por los conjuntos de nivel de una función suave, ya que una función suave en una variedad cerrada necesariamente tiene puntos críticos en sus máximos y mínimos.

Cartas foliadas y atlas

Para dar una definición más precisa de la foliación, es necesario definir algunos elementos auxiliares.

Un gráfico foliado tridimensional con n = 3 y q = 1. Las placas son bidimensionales y las transversales son unidimensionales.

Un entorno rectangular en R ⁿ es un subconjunto abierto de la forma B = J ₁ × ⋅⋅⋅ × J _n , donde J _i es un intervalo relativamente abierto (posiblemente ilimitado) en el eje de coordenadas i . Si J ₁ tiene la forma ( a ,0], se dice que B tiene frontera ^[6]

${\displaystyle \partial B=\left\{\left(0,x^{2},\ldots ,x^{n}\right)\in B\right\}.}$

En la siguiente definición se consideran cartas de coordenadas que tienen valores en R ^p × R ^q , permitiendo la posibilidad de variedades con vértices ( convexos ) y límites.

Un gráfico foliado en la variedad n M de codimensión q es un par ( U , φ ), donde U ⊆ M es abierto y es un difeomorfismo , siendo un entorno rectangular en R ^q y un entorno rectangular en R ^p . El conjunto P _y = φ ⁻¹ ( B _τ × { y }), donde , se denomina placa de este gráfico foliado. Para cada x ∈ B _τ , el conjunto S _x = φ ⁻¹ ({ x } × ) se denomina transversal del gráfico foliado. El conjunto ∂ _τ U = φ ⁻¹ ( B _τ × ( ∂ )) se denomina límite tangencial de U y = φ ⁻¹ (( ∂B _τ ) × ) se denomina límite transversal de U . ^[7] ${\displaystyle \varphi :U\to B_{\tau }\times B_{\pitchfork }}$ ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ ${\displaystyle B_{\tau }}$ ${\displaystyle y\in B_{\pitchfork }}$ ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ ${\displaystyle \partial _{\pitchfork }U}$ ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$

El gráfico foliado es el modelo básico para todas las foliaciones, siendo las placas las hojas. La notación B _τ se lee como " B -tangencial" y como " B -transversal". También hay varias posibilidades. Si tanto y B _τ tienen borde vacío, el gráfico foliado modela foliaciones de codimensión q de n -variedades sin borde. Si uno, pero no ambos de estos vecindarios rectangulares tiene borde, el gráfico foliado modela las diversas posibilidades para foliaciones de n -variedades con borde y sin esquinas. Específicamente, si ∂ ≠ ∅ = ∂B _τ , entonces ∂U = ∂ _τ U es una unión de placas y la foliación por placas es tangente al borde. Si ∂B _τ ≠ ∅ = ∂ , entonces ∂U = es una unión de transversales y la foliación es transversal al borde. Finalmente, si ∂ ≠ ∅ ≠ ∂B _τ , este es un modelo de una variedad foliada con una esquina que separa el límite tangencial del límite transversal. ^[7] ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ ${\displaystyle \partial _{\pitchfork }U}$ ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$

( a ) Foliación tangente al límite ∂ ≠ ∅ = ∂B _τ ; ( b ) Foliación transversal al límite ∂B _τ ≠ ∅ = ∂ ; ( c ) Foliación con una esquina que separa el límite tangente del límite transversal ∂ ≠ ∅ ≠ ∂B _τ . ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$

Un atlas foliado de codimensión q y clase C ^r (0 ≤ r ≤ ∞) en la n -variedad M es un C ^r -atlas de cartas foliadas de codimensión q que están coherentemente foliadas en el sentido de que, siempre que P y Q sean placas en cartas distintas de , entonces P ∩ Q está abierto tanto en P como en Q . ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\mid \alpha \in A\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

Una forma útil de reformular la noción de gráficos coherentemente foliados es escribir para w ∈ U _α ∩ U _β ^[9]

${\displaystyle \varphi _{\alpha }(w)=\left(x_{\alpha }(w),y_{\alpha }(w)\right)\in B_{\tau }^{\alpha }\times B_{\pitchfork }^{\alpha },}$

${\displaystyle \varphi _{\beta }(w)=\left(x_{\beta }(w),y_{\beta }(w)\right)\in B_{\tau }^{\beta }\times B_{\pitchfork }^{\beta }.}$

La notación ( U _α , φ _α ) a menudo se escribe ( U _α , x _α , y _α ), con ^[9]

${\displaystyle x_{\alpha }=\left(x_{\alpha }^{1},\dots ,x_{\alpha }^{p}\right),}$

${\displaystyle y_{\alpha }=\left(y_{\alpha }^{1},\dots ,y_{\alpha }^{q}\right).}$

En φ _β ( U _α ∩ U _β ) la fórmula de coordenadas se puede cambiar como ^[9]

${\displaystyle g_{\alpha \beta }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)=\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)=\left(x_{\alpha }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right),y_{\alpha }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)\right).}$

Las placas de U _α se encuentran cada una con dos placas de U _β .

La condición de que ( U _α , x _α , y _α ) y ( U _β , x _β , y _β ) estén coherentemente foliadas significa que, si P ⊂ U _α es una placa, los componentes conectados de P ∩ U _β se encuentran en placas (posiblemente distintas) de U _β . De manera equivalente, dado que las placas de U _α y U _β son conjuntos de niveles de las coordenadas transversales y _α e y _β , respectivamente, cada punto z ∈ U _α ∩ U _β tiene un entorno en el que se cumple la fórmula

${\displaystyle y_{\alpha }=y_{\alpha }(x_{\beta },y_{\beta })=y_{\alpha }(y_{\beta })}$

es independiente de x _β . ^[9]

El uso principal de los atlas foliados es unir sus placas superpuestas para formar las hojas de una foliación. Para este y otros propósitos, la definición general de atlas foliado anterior es un poco torpe. Un problema es que una placa de ( U _α , φ _α ) puede encontrarse con múltiples placas de ( U _β , φ _β ). Incluso puede suceder que una placa de una carta se encuentre con infinitas placas de otra carta. Sin embargo, no se pierde ninguna generalidad al suponer que la situación es mucho más regular como se muestra a continuación.

Dos atlas foliados y sobre M de la misma codimensión y clase de suavidad C ^r son coherentes si es un atlas C ^r foliado . La coherencia de los atlas foliados es una relación de equivalencia. ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {V}}\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}\cup {\mathcal {V}}}$

Gráficos de muestra en un atlas foliado regular.

Las placas y transversales definidas anteriormente en conjuntos abiertos también son abiertas. Pero también se puede hablar de placas y transversales cerradas. Es decir, si ( U , φ ) y ( W , ψ ) son cartas foliadas tales que (la clausura de U ) es un subconjunto de W y φ = ψ | U entonces, si se puede ver que , escrito , se lleva difeomórficamente sobre ${\displaystyle {\overline {U}}}$ ${\displaystyle \varphi (U)=B_{\tau }\times B_{\pitchfork },}$ ${\displaystyle \psi |{\overline {U}}}$ ${\displaystyle {\overline {\varphi }}}$ ${\displaystyle {\overline {U}}}$ ${\displaystyle {\overline {B}}_{\tau }\times {\overline {B}}_{\pitchfork }.}$

Se dice que un atlas foliado es regular si

1. para cada α ∈ A , es un subconjunto compacto de un gráfico foliado ( W _α , ψ _α ) y φ _α = ψ _α | Uα _;​ ${\displaystyle {\overline {U}}_{\alpha }}$
2. la cubierta { U _α | α ∈ A } es localmente finita ;
3. Si ( U _α , φ _α ) y ( U _β , φ _β ) son elementos del atlas foliado, entonces el interior de cada placa cerrada P ⊂ se encuentra con como máximo una placa en ^[11] ${\displaystyle {\overline {U}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\overline {U}}_{\beta }.}$

Por la propiedad (1), las coordenadas x _α e y _α se extienden a las coordenadas y en y se escribe La propiedad (3) es equivalente a requerir que, si U _α ∩ U _β ≠ ∅, la coordenada transversal cambia sea independiente de Es decir ${\displaystyle {\overline {x}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\overline {y}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\overline {U}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\overline {\varphi }}_{\alpha }=\left({\overline {x}}_{\alpha },{\overline {y}}_{\alpha }\right).}$ ${\displaystyle {\overline {y}}_{\alpha }={\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)}$ ${\displaystyle {\overline {x}}_{\beta }.}$

${\displaystyle {\overline {g}}_{\alpha \beta }={\overline {\varphi }}_{\alpha }\circ {\overline {\varphi }}_{\beta }^{-1}:{\overline {\varphi }}_{\beta }\left({\overline {U}}_{\alpha }\cap {\overline {U}}_{\beta }\right)\rightarrow {\overline {\varphi }}_{\alpha }\left({\overline {U}}_{\alpha }\cap {\overline {U}}_{\beta }\right)}$

tiene la fórmula ^[11]

${\displaystyle {\overline {g}}_{\alpha \beta }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)=\left({\overline {x}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right),{\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {y}}_{\beta }\right)\right).}$

Afirmaciones similares se aplican también a los gráficos abiertos (sin las líneas superpuestas). El mapa de coordenadas transversales y _α puede verse como una inmersión

${\displaystyle y_{\alpha }:U_{\alpha }\rightarrow \mathbb {R} ^{q}}$

y las fórmulas y _α = y _α ( y _β ) pueden verse como difeomorfismos

${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }:y_{\beta }\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right)\rightarrow y_{\alpha }\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right).}$

Estos satisfacen las condiciones del cociclo . Es decir, en y _δ ( U _α ∩ U _β ∩ U _δ ),

${\displaystyle \gamma _{\alpha \delta }=\gamma _{\alpha \beta }\circ \gamma _{\beta \delta }}$

y, en particular, ^[12]

${\displaystyle \gamma _{\alpha \alpha }\equiv y_{\alpha }\left(U_{\alpha }\right),}$

${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }=\gamma _{\beta \alpha }^{-1}.}$

Utilizando las definiciones anteriores de coherencia y regularidad se puede demostrar que cada atlas foliado tiene un refinamiento coherente que es regular. ^[13]

Definiciones de foliación

Existen varias definiciones alternativas de foliación dependiendo de la forma en que se logra la foliación. La forma más común de lograr una foliación es a través de la descomposición llegando a lo siguiente:

Descomposición a través de la función de coordenadas x  : U → R ⁿ .

Definición. Una foliación p -dimensional de clase C ^r de una variedad n -dimensional M es una descomposición de M en una unión de subvariedades disjuntas conexas { L _α } _{α∈ A} , llamadas hojas de la foliación, con la siguiente propiedad: Cada punto en M tiene una vecindad U y un sistema de coordenadas locales de clase C ^r x =( x ¹ , ⋅⋅⋅, x ⁿ ) : U → R ⁿ tal que para cada hoja L _α , los componentes de U ∩ L _α se describen por las ecuaciones x ^{p +1} =constante, ⋅⋅⋅, x ⁿ =constante. Una foliación se denota por ={ L _α } _{α∈ A} . ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

La noción de hojas permite una forma intuitiva de pensar en una foliación. Para una definición ligeramente más geométrica, la foliación p -dimensional de una n -variedad M puede considerarse simplemente como una colección { M _a } de subvariedades p -dimensionales disjuntas, conexas e inmersas (las hojas de la foliación) de M , de modo que para cada punto x en M , existe una tabla con U homeomorfa a R ⁿ que contiene x de modo que cada hoja, M _a , se encuentra con U en el conjunto vacío o en una colección contable de subespacios cuyas imágenes bajo en son subespacios afines p -dimensionales cuyas primeras coordenadas n − p son constantes. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (U,\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (M_{a}\cap U)}$

Localmente, cada foliación es una inmersión que permite lo siguiente:

Definición. Sean M y Q variedades de dimensión n y q ≤ n respectivamente, y sea f  : M → Q una inmersión, es decir, supongamos que el rango de la función diferencial (el jacobiano ) es q . Del Teorema de la Función Implícita se deduce que ƒ induce una foliación de codimensión q en M donde las hojas se definen como los componentes de f ⁻¹ ( x ) para x ∈ Q . ^[5]

Esta definición describe una dimensión - p foliación de una variedad n -dimensional M que está cubierta por gráficos U _i junto con mapas ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \varphi _{i}:U_{i}\to \mathbb {R} ^{n}}$

de modo que para pares superpuestos U _i , U _j las funciones de transición φ _ij  : R ⁿ → R ⁿ definidas por

${\displaystyle \varphi _{ij}=\varphi _{j}\varphi _{i}^{-1}}$

tomar la forma

${\displaystyle \varphi _{ij}(x,y)=(\varphi _{ij}^{1}(x),\varphi _{ij}^{2}(x,y))}$

donde x denota las primeras coordenadas q = n − p , e y denota las últimas coordenadas p . Es decir,

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{ij}^{1}:{}&\mathbb {R} ^{q}\to \mathbb {R} ^{q}\\\varphi _{ij}^{2}:{}&\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}\end{aligned}}}$

La división de las funciones de transición φ _ij en y como parte de la inmersión es completamente análoga a la división de en y como parte de la definición de un atlas foliado regular. Esto hace posible otra definición de foliaciones en términos de atlas foliados regulares. Para ello, primero hay que demostrar que cada atlas foliado regular de codimensión q está asociado a una foliación única de codimensión q . ^[13] ${\displaystyle \varphi _{ij}^{1}(x)}$ ${\displaystyle \varphi _{ij}^{2}(x,y)}$ ${\displaystyle {\overline {g}}_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle {\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {y}}_{\beta }\right)}$ ${\displaystyle {\overline {x}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Como se muestra en la prueba, las hojas de la foliación son clases de equivalencia de cadenas de placas de longitud ≤ p que también son subvariedades p -dimensionales de Hausdorff topológicamente inmersas . A continuación, se muestra que la relación de equivalencia de placas en una hoja se expresa en equivalencia de atlas foliados coherentes con respecto a su asociación con una foliación. Más específicamente, si y son atlas foliados en M y si está asociado a una foliación entonces y son coherentes si y solo si también está asociado a . ^[10] ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Ahora es obvio que la correspondencia entre foliaciones en M y sus atlas foliados asociados induce una correspondencia biunívoca entre el conjunto de foliaciones en M y el conjunto de clases de coherencia de atlas foliados o, en otras palabras, una foliación de codimensión q y clase C ^r en M es una clase de coherencia de atlas foliados de codimensión q y clase C ^r en M . ^[14] Por el lema de Zorn , es obvio que cada clase de coherencia de atlas foliados contiene un atlas foliado máximo único. Por lo tanto, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Definición. Una foliación de codimensión q y clase C ^r en M es un C ^r -atlas foliado máximo de codimensión q en M . ^[14]

En la práctica, para representar una foliación se suele utilizar un atlas foliado relativamente pequeño. Normalmente, también se requiere que este atlas sea regular.

En el gráfico U _i , las franjas x = constante coinciden con las franjas de otros gráficos U _j . Estas subvariedades se unen de gráfico a gráfico para formar subvariedades inyectivamente inmersas y conectadas de manera máxima, llamadas hojas de la foliación.

Si uno encoge el gráfico U _i se puede escribir como U _ix × U _iy , donde U _ix ⊂ R ^{n − p} , U _iy ⊂ R ^p , U _iy es homeomorfa a las placas, y los puntos de U _ix parametrizan las placas en U _i . Si uno elige y ₀ en U _iy , entonces U _ix × { y ₀ } es una subvariedad de U _i que interseca cada placa exactamente una vez. Esto se llama sección transversal local de la foliación. Nótese que debido a la monodromía las secciones transversales globales de la foliación podrían no existir.

El caso r = 0 es bastante particular. Las foliaciones C ⁰ que surgen en la práctica suelen ser de "hojas lisas". Más precisamente, son de la clase C ^{r ,0} , en el siguiente sentido.

Definición. Una foliación es de clase C ^r,k , r > k ≥ 0, si la clase de coherencia correspondiente de atlas foliados contiene un atlas foliado regular { U _α , x _α , y _α } _{α∈ A} tal que la fórmula de cambio de coordenadas ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle g_{\alpha \beta }(x_{\beta },y_{\beta })=(x_{\alpha }(x_{\beta },y_{\beta }),y_{\alpha }(y_{\beta })).}$

es de clase C ^k , pero x _α es de clase C ^r en las coordenadas x _β y sus parciales mixtos x _β de órdenes ≤  r son C ^k en las coordenadas ( x _β , y _β ). ^[14]

La definición anterior sugiere el concepto más general de un espacio foliado o laminación abstracta . Se relaja la condición de que las transversales sean subconjuntos abiertos y relativamente compactos de R ^q , lo que permite que las coordenadas transversales y _α tomen sus valores en algún espacio topológico más general Z . Las placas siguen siendo subconjuntos abiertos y relativamente compactos de R ^p , la fórmula de cambio de coordenadas transversales y _α ( y _β ) es continua y x _α ( x _β , y _β ) es de clase C ^r en las coordenadas x _β y sus parciales mixtos x _β de órdenes ≤  r son continuos en las coordenadas ( x _β , y _β ). Por lo general, se requiere que M y Z sean localmente compactos, contables en segundo lugar y metrizables. Esto puede parecer una generalización bastante descabellada, pero hay contextos en los que es útil. ^[15]

Holonomía

Sea ( M , ) una variedad foliada. Si L es una hoja de y s es un camino en L , uno está interesado en el comportamiento de la foliación en un vecindario de s en M . Intuitivamente, un habitante de la hoja camina a lo largo del camino s , vigilando todas las hojas cercanas. A medida que avanzan (denotadas en adelante por s ( t )), algunas de estas hojas pueden "despegarse", quedando fuera del alcance visual, otras pueden entrar repentinamente en el alcance y aproximarse a L asintóticamente, otras pueden seguirlas de una manera más o menos paralela o rodear a L lateralmente, etc . Si s es un bucle, entonces s ( t ) regresa repetidamente al mismo punto s ( t ₀ ) a medida que t tiende al infinito y cada vez más y más hojas pueden haber entrado o salido de la vista en espiral, etc . Este comportamiento, cuando se formaliza adecuadamente, se llama holonomía de la foliación. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

La holonomía se implementa en variedades foliadas de varias formas específicas: el grupo de holonomía total de haces foliados, el pseudogrupo de holonomía de variedades foliadas generales, el grupooide de holonomía germinal de variedades foliadas generales, el grupo de holonomía germinal de una hoja y el grupo de holonomía infinitesimal de una hoja.

Haces foliados

El caso de holonomía más fácil de entender es la holonomía total de un fibrado foliado. Se trata de una generalización de la noción de mapa de Poincaré .

Una sección transversal N y un primer mapa de retorno f donde M = S ¹ × D ² y N = D ² .

El término "mapa de primer retorno (recurrencia)" proviene de la teoría de sistemas dinámicos. Sea Φ _t un flujo C ^r no singular ( r  ≥ 1) en la variedad compacta n M . En aplicaciones, uno puede imaginar que M es un ciclotrón o algún bucle cerrado con flujo de fluido. Si M tiene un límite, se supone que el flujo es tangente al límite. El flujo genera una foliación unidimensional . Si uno recuerda la dirección positiva del flujo, pero por lo demás olvida la parametrización (forma de la trayectoria, velocidad, etc. ), se dice que la foliación subyacente está orientada. Supóngase que el flujo admite una sección transversal global N . Es decir, N es una subvariedad C ^r compacta, correctamente embebida, de M de dimensión n  – 1, la foliación es transversal a N y cada línea de flujo se encuentra con N . Debido a que las dimensiones de N y de las hojas son complementarias, la condición de transversalidad es que ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle T_{y}(M)=T_{y}({\mathcal {F}})\oplus T_{y}(N){\text{ for each }}y\in N.}$

Sea y ∈ N y considere el conjunto ω - ​​límite ω( y ) de todos los puntos de acumulación en M de todas las secuencias , donde t _k tiende a infinito. Se puede demostrar que ω(y) es compacto, no vacío y una unión de líneas de flujo. Si hay un valor t * ∈ R tal que Φ _{t *} ( z ) ∈ N y se sigue que ${\displaystyle \left\{\Phi _{t_{k}}(y)\right\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle z=\lim _{k\rightarrow \infty }\Phi _{t_{k}}\in \omega (y),}$

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\Phi _{t_{k}+t^{\ast }}(y)=\Phi _{t^{\ast }}(z)\in N.}$

Como N es compacto y es transversal a N , se deduce que el conjunto { t > 0 | Φ _t ( y ) ∈ N} es una secuencia monótonamente creciente que diverge hasta el infinito. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \{\tau _{k}(y)\}_{k=1}^{\infty }}$

Como y ∈ N varía, sea τ ( y ) = τ ₁ ( y ), definiendo de esta manera una función positiva τ ∈ C ^r ( N ​​) (el primer tiempo de retorno) tal que, para un y ∈ N arbitrario , Φ _t ( y ) ∉ N , 0 < t < τ ( y ), y Φ _{τ ( y )} ( y ) ∈ N .

Defina f  : N → N mediante la fórmula f ( y ) = Φ _{τ ( y )} ( y ). Esta es una función C ^r . Si el flujo se invierte, exactamente la misma construcción proporciona la inversa f ⁻¹ ; por lo que f ∈ Diff ^r ( N ​​). Este difeomorfismo es la primera función de retorno y τ se denomina primer tiempo de retorno . Si bien el primer tiempo de retorno depende de la parametrización del flujo, debería ser evidente que f depende solo de la foliación orientada . Es posible repararetrizar el flujo Φ _t , manteniéndolo no singular, de clase C ^r , y sin invertir su dirección, de modo que  τ  ≡ 1. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

La suposición de que existe una sección transversal N para el flujo es muy restrictiva, lo que implica que M es el espacio total de un haz de fibras sobre S ¹ . De hecho, en R × N , defina ~ _f como la relación de equivalencia generada por

${\displaystyle (t,y)\sim _{f}(t-1,f(y)).}$

De manera equivalente, esta es la equivalencia de órbita para la acción del grupo aditivo Z sobre R × N definida por

${\displaystyle k\cdot (t,y)=(t-k,f^{k}(y)),}$

para cada k ∈ Z y para cada ( t , y ) ∈ R × N . El cilindro de mapeo de f se define como la variedad C ^r

${\displaystyle M_{f}=(\mathbb {R} \times N)/{\sim _{f}}.}$

Por la definición del primer mapa de retorno f y la suposición de que el primer tiempo de retorno es τ ≡ 1, es inmediato que el mapa

${\displaystyle \Phi :\mathbb {R} \times N\rightarrow M.}$

definido por el flujo, induce un difeomorfismo C ^{r canónico}

${\displaystyle \varphi :M_{f}\rightarrow M.}$

Si hacemos la identificación M _f = M , entonces la proyección de R × N sobre R induce una función C ^r

${\displaystyle \pi :M\rightarrow \mathbb {R} /\mathbb {Z} =S^{1}}$

que convierte a M en el espacio total de un haz de fibras sobre el círculo. Esto es simplemente la proyección de S ¹ × D ² sobre S ¹ . La foliación es transversal a las fibras de este haz y la proyección del haz  π , restringida a cada hoja L , es una función de recubrimiento π  : L → S ¹ . Esto se llama haz foliado . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Tome como punto base x ₀ ∈ S ¹ la clase de equivalencia 0 + Z ; entonces π ⁻¹ ( x ₀ ) es la sección transversal original N . Para cada bucle s en S ¹ , basado en x ₀ , la clase de homotopía [ s ] ∈ π ₁ ( S ¹ , x ₀ ) se caracteriza de manera única por deg s ∈ Z . El bucle s se eleva a una trayectoria en cada línea de flujo y debería estar claro que la elevación s _y que comienza en y ∈ N termina en f ^k ( y ) ∈ N , donde k = deg s . El difeomorfismo f ^k ∈ Diff ^r ( N ​​) también se denota por h _s y se llama holonomía total del bucle s . Dado que esto depende solo de [ s ], esta es una definición de un homomorfismo

${\displaystyle h:\pi _{1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \operatorname {Diff} ^{\,r}(N),}$

llamado homomorfismo de holonomía total para el haz foliado.

Utilizando haces de fibras de una manera más directa, sea ( M , ) una variedad foliada n de codimensión q . Sea π  : M → B un haz de fibras con fibra F de dimensión q y espacio base conexo B . Supóngase que todas estas estructuras son de clase C ^r , 0 ≤ r ≤ ∞, con la condición de que, si r = 0, B soporta una estructura C ¹ . Puesto que cada atlas C ^{1 maximal en} B contiene un subatlas C ^∞ , no se pierde ninguna generalidad al suponer que B es tan suave como se desea. Finalmente, para cada x ∈ B , supóngase que hay un entorno abierto y conexo U ⊆ B de x y una trivialización local ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\pi ^{-1}(U)&{\xrightarrow {\varphi }}&U\times {F}\\\scriptstyle {\pi }{\Bigg \downarrow }&{\qquad }&{\Bigg \downarrow }{\scriptstyle {p}}\\U&{\xrightarrow {\text{id}}}&U\end{matrix}}}$

donde φ es un difeomorfismo C ^r (un homeomorfismo, si r = 0) que lleva al producto la foliación { U × { y }} _{y  ∈  F} . Aquí, es la foliación con hojas los componentes conexos de L ∩ π ⁻¹ ( U ), donde L se extiende sobre las hojas de . Esta es la definición general del término "haz foliado" ( M , ,π) de la clase C ^r . ${\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)}$ ${\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es transversal a las fibras de π (se dice que es transversal a la fibración) y que la restricción de π a cada hoja L de es una función de recubrimiento π : L → B . En particular, cada fibra F _x = π ⁻¹ ( x ) se encuentra con cada hoja de . La fibra es una sección transversal de en completa analogía con la noción de sección transversal de un flujo. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

La foliación transversal a las fibras no garantiza, por sí misma, que las hojas cubran espacios de B. Una versión simple del problema es una foliación de R ² transversal a la fibración. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \pi :\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle \pi (x,y)=x,}$

pero con infinitas hojas que faltan en el eje y . En la figura respectiva, se pretende que las hojas "flechadas", y todas las que están por encima de ellas, sean asintóticas al eje x = 0. Se llama a tal foliación incompleta en relación con la fibración, lo que significa que algunas de las hojas "se escapan al infinito" cuando el parámetro x ∈ B se acerca a algún x ₀ ∈ B . Más precisamente, puede haber una hoja L y un camino continuo s  : [0, a ) → L tal que lim _{t → a −} π( s ( t )) = x ₀ ∈ B , pero lim _{t → a −} s ( t ) no existe en la topología de variedad de L . Esto es análogo al caso de flujos incompletos, donde algunas líneas de flujo "van al infinito" en tiempo finito. Aunque una hoja L de este tipo puede encontrarse en otro lugar con π ⁻¹ ( x ₀ ), no puede cubrir uniformemente un entorno de x ₀ , por lo tanto no puede ser un espacio de cobertura de B bajo π . Sin embargo, cuando F es compacto, es cierto que la transversalidad de la fibración garantiza la completitud, por lo tanto, es un haz foliado. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\textstyle (M,{\mathcal {F}},\pi )}$

Hay un atlas = { U _α , x _α } _α∈A en B , que consiste en cartas de coordenadas abiertas y conexas, junto con trivializaciones φ _α  : π ⁻¹ ( U _α ) → U _α × F que llevan |π ⁻¹ ( U _α ) a la foliación del producto. Sea W _α = π ⁻¹ ( U _α ) y escriba φ _α = ( x _α , y _α ) donde (por abuso de notación) x _α representa x _α ∘ π e y _α  : π ⁻¹ ( U _α ) → F es la inmersión obtenida al componer φ _α con la proyección canónica U _α × F → F . ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

El atlas = { W _α , x _α , y _α } _{α ∈ A} desempeña un papel análogo al de un atlas foliado. Las placas de W _α son los conjuntos de niveles de y _α y esta familia de placas es idéntica a F a través de y _α . Dado que se supone que B soporta una estructura C ^∞ , de acuerdo con el teorema de Whitehead se puede fijar una métrica de Riemann en B y elegir que el atlas sea geodésicamente convexo. Por lo tanto, U _α ∩ U _β siempre está conectado. Si esta intersección no está vacía, cada placa de W _α se encuentra exactamente con una placa de W _β . Luego, defina un cociclo de holonomía estableciendo ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \gamma =\left\{\gamma _{\alpha \beta }\right\}_{\alpha ,\beta \in A}}$

${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }=y_{\alpha }\circ y_{\beta }^{-1}:F\rightarrow F.}$

Ejemplos

Espacio plano

Consideremos un espacio n -dimensional, foliado como un producto de subespacios que consisten en puntos cuyas primeras coordenadas n − p son constantes. Esto se puede cubrir con un solo diagrama. El enunciado es esencialmente que R ⁿ = R ^{n − p} × R ^p con las hojas o placas R ^p siendo enumeradas por R ^{n − p} . La analogía se ve directamente en tres dimensiones, tomando n = 3 y p = 2 : las hojas bidimensionales de un libro se enumeran por un número de página (unidimensional).

Paquetes

Un ejemplo bastante trivial de foliaciones son los productos M = B × F , foliados por las hojas F _b = { b } × F , b ∈ B . (Otra foliación de M está dada por B _f = B × {  f  } ,   f   ∈ F .)

Una clase más general son los fibrados G planos con G = Homeo( F ) para una variedad F . Dada una representación ρ  : π ₁ ( B ) → Homeo( F ) , el fibrado Homeo( F ) plano con monodromía ρ está dado por , donde π ₁ ( B ) actúa sobre la cubierta universal por transformaciones de cubierta y sobre F por medio de la representación ρ . ${\displaystyle M=\left({\widetilde {B}}\times F\right)/\pi _{1}B}$ ${\displaystyle {\widetilde {B}}}$

Los fibrados planos encajan en el marco de los fibrados . Una función π  : M → B entre variedades es un fibrado si hay una variedad F tal que cada b ∈ B tiene un entorno abierto U tal que hay un homeomorfismo con , con p ₁  : U × F → U proyección al primer factor. El fibrado produce una foliación por fibras . Su espacio de hojas L es homeomorfo a B , en particular L es una variedad de Hausdorff. ${\displaystyle \varphi :\pi ^{-1}(U)\to U\times F}$ ${\displaystyle \pi =p_{1}\varphi }$ ${\displaystyle F_{b}:=\pi ^{-1}(\{b\}),b\in B}$

Recubrimientos

Si M → N es una función de recubrimiento entre variedades, y F es una foliación en N , entonces se retrae a una foliación en M . De manera más general, si la función es simplemente una función de recubrimiento ramificada , donde el lugar de ramificación es transversal a la foliación, entonces la foliación puede retraerse.

Inmersiones

Si M ⁿ → N ^q , ( q ≤ n ) es una inmersión de variedades, se deduce del teorema de la función inversa que los componentes conexos de las fibras de la inmersión definen una foliación de codimensión q de M . Los haces de fibras son un ejemplo de este tipo.

Un ejemplo de una inmersión, que no es un haz de fibras, lo da

${\displaystyle {\begin{cases}f:[-1,1]\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \\f(x,y)=(x^{2}-1)e^{y}\end{cases}}}$

Esta inmersión produce una foliación de [−1, 1] × R que es invariante bajo las Z -acciones dadas por

${\displaystyle z(x,y)=(x,y+n),\quad {\text{or}}\quad z(x,y)=\left((-1)^{n}x,y\right)}$

para ( x , y ) ∈ [−1, 1] × R y n ∈ Z . Las foliaciones inducidas de Z \ ([−1, 1] × R ) se denominan foliación de Reeb bidimensional (del anillo) o foliación de Reeb bidimensional no orientable (de la banda de Möbius). Sus espacios foliares no son de Hausdorff.

Foliaciones de reeb

Definir una inmersión

${\displaystyle {\begin{cases}f:D^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \\f(r,\theta ,t):=(r^{2}-1)e^{t}\end{cases}}}$

donde ( r , θ ) ∈ [0, 1] × S ^{n −1} son coordenadas cilíndricas en el disco n -dimensional D ⁿ . Esta inmersión produce una foliación de D ⁿ × R que es invariante bajo las Z -acciones dadas por

${\displaystyle z(x,y)=(x,y+z)}$

para ( x , y ) ∈ D ⁿ × R , z ∈ Z . La foliación inducida de Z \ ( D ⁿ × R ) se denomina foliación de Reeb n -dimensional . Su espacio foliar no es de Hausdorff.

Para n = 2 , esto da una foliación del toro sólido que se puede utilizar para definir la foliación de Reeb de la 3-esfera pegando dos toros sólidos a lo largo de su límite. Las foliaciones de esferas de dimensión impar S ^{2 n +1} también se conocen explícitamente. ^[16]

Grupos de mentiras

Si G es un grupo de Lie y H es un subgrupo de Lie , entonces G está foliado por clases laterales de H. Cuando H está cerrado en G , el espacio cociente G / H es una variedad suave ( de Hausdorff ) que convierte a G en un fibrado con fibra H y base G / H . Este fibrado es en realidad principal , con grupo de estructura H.

Acciones grupales de mentiras

Sea G un grupo de Lie que actúa suavemente sobre una variedad M . Si la acción es una acción localmente libre o una acción libre , entonces las órbitas de G definen una foliación de M .

Foliaciones lineales y de Kronecker

Si es un campo vectorial no singular ( es decir , cero en ninguna parte), entonces el flujo local definido por se une para definir una foliación de dimensión 1. De hecho, dado un punto arbitrario x ∈ M , el hecho de que sea no singular permite encontrar un entorno de coordenadas ( U , x ¹ ,..., x ⁿ ) alrededor de x tal que ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$

${\displaystyle -\varepsilon <x^{i}<\varepsilon ,\quad 1\leq i\leq n,}$

y

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{1}}}={\tilde {X}}\mid U.}$

Geométricamente, las líneas de flujo son solo los conjuntos de niveles ${\displaystyle {\tilde {X}}\mid U}$

${\displaystyle x^{i}=c^{i},\quad 2\leq i\leq n,}$

donde todas Dado que por convención las variedades son contables en segundo lugar, las anomalías de hojas como la "línea larga" quedan excluidas por la segunda contabilizabilidad de M en sí. La dificultad se puede evitar exigiendo que sea un cuerpo completo ( por ejemplo , que M sea compacto), por lo tanto, que cada hoja sea una línea de flujo. ${\displaystyle |c^{i}|<\varepsilon .}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$

La foliación lineal en R ² pasa a la foliación en T ² . a) la pendiente es racional (foliación lineal); b) la pendiente es irracional (foliación de Kronecker). ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Rotación irracional en un 2-toro.

Una clase importante de foliaciones unidimensionales en el toro T ² se derivan de la proyección de campos vectoriales constantes en T ² . Un campo vectorial constante

${\displaystyle {\tilde {X}}\equiv {\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}}$

en R ² es invariante ante todas las traslaciones en R ² , por lo tanto pasa a un campo vectorial bien definido X cuando se proyecta sobre el toro T ² = R ² / Z ² . Se supone que a ≠ 0. La foliación en R ² producida por tiene como hojas las rectas paralelas de pendiente θ = b / a . Esta foliación también es invariante ante traslaciones y pasa a la foliación en T ² producida por X . ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Cada hoja de tiene la forma ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}}$

${\displaystyle {\tilde {L}}=\{(x_{0}+ta,y_{0}+tb)\}_{t\in \mathbb {R} }.}$

Si la pendiente es racional , entonces todas las hojas son curvas cerradas homeomorfas al círculo . En este caso, se puede tomar a , b ∈ Z . Para t ∈ R fijo , los puntos de correspondientes a valores de t ∈ t ₀ + Z se proyectan todos al mismo punto de T ² ; por lo que la hoja correspondiente L de es un círculo embebido en T ² . Como L es arbitrario, es una foliación de T ² por círculos. Se deduce con bastante facilidad que esta foliación es en realidad un haz de fibras π : T ² → S ¹ . Esto se conoce como una foliación lineal . ${\displaystyle {\tilde {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Cuando la pendiente θ = b / a es irracional , las hojas no son compactas, homeomorfas a la línea real no compactada y densas en el toro (cf Rotación irracional ). La trayectoria de cada punto ( x ₀ , y ₀ ) nunca vuelve al mismo punto, sino que genera un devanado "denso en todas partes" alrededor del toro, es decir, se aproxima arbitrariamente cerca de cualquier punto dado. Por lo tanto, el cierre de la trayectoria es todo el toro bidimensional. Este caso se llama foliación de Kronecker , en honor a Leopold Kronecker y su

Teorema de densidad de Kronecker . Si el número real θ es distinto de cada múltiplo racional de π, entonces el conjunto { e ^inθ | n ∈ Z } es denso en el círculo unitario.

Una construcción similar que utiliza una foliación de R ⁿ por líneas paralelas produce una foliación unidimensional del n -toro R ⁿ / Z ⁿ asociado con el flujo lineal en el toro .

Foliaciones en suspensión

Un haz plano no sólo tiene su foliación por fibras sino también una foliación transversal a las fibras, cuyas hojas son

${\displaystyle L_{f}:=\left\{p\left({\tilde {b}},f\right):{\tilde {b}}\in {\widetilde {B}}\right\},\quad {\mbox{ for }}f\in F,}$

donde es la proyección canónica. Esta foliación se llama suspensión de la representación ρ  : π ₁ ( B ) → Homeo( F ) . ${\displaystyle p:{\widetilde {B}}\times F\to M}$

En particular, si B = S ¹ y es un homeomorfismo de F , entonces la foliación por suspensión de se define como la foliación por suspensión de la representación ρ  : Z → Homeo( F ) dada por ρ ( z ) = Φ ^z . Su espacio de hojas es L = /~ , donde x ~ y siempre que y = Φ ⁿ ( x ) para algún n ∈ Z . ${\displaystyle \varphi :F\to F}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

El ejemplo más simple de foliación por suspensión es una variedad X de dimensión q . Sea f  : X → X una biyección. Se define la suspensión M = S ¹ × _f X como el cociente de [0,1] × X por la relación de equivalencia (1, x ) ~ (0, f ( x )).

M = S ¹ × _f X = [0,1] × X

Entonces automáticamente M lleva dos foliaciones: ₂ que consiste en conjuntos de la forma F _{2, t} = {( t , x ) _~  : x ∈ X } y ₁ que consiste en conjuntos de la forma F _{2, x 0} = {( t , x ) : t ∈ [0,1] , x ∈ O _{x 0} }, donde la órbita O _{x 0} se define como ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

O _{x 0} = {..., f ⁻² ( x ₀ ), f ⁻¹ ( x ₀ ), x ₀ , f ( x ₀ ), f ² ( x ₀ ), ...},

donde el exponente se refiere al número de veces que la función f está compuesta consigo misma. Nótese que O _{x 0} = O _{f ( x 0 )} = O _{f ⁻² ( x 0 )} , etc., por lo que lo mismo es cierto para F _{1, x 0} . Entender la foliación ₁ es equivalente a entender la dinámica de la función f . Si la variedad X ya está foliada, se puede usar la construcción para aumentar la codimensión de la foliación, siempre que f mapee hojas a hojas. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Las foliaciones de Kronecker del 2-toro son las foliaciones de suspensión de las rotaciones R _α  : S ¹ → S ¹ por el ángulo α ∈ [0, 2 π ).

Suspensión del toro de dos orificios después del corte y reencolado. a) Toro de dos orificios con las secciones a cortar; b) la figura geométrica después del corte con las cuatro caras.

Más específicamente, si Σ = Σ ₂ es el toro de dos agujeros con C ¹ ,C ² ∈ Σ los dos círculos incrustados sean la foliación del producto de la 3-variedad M = Σ × S ¹ con hojas Σ × { y }, y ∈ S ¹ . Nótese que N _i = C _i × S ¹ es un toro incrustado y que es transversal a N _i , i = 1,2. Sea Diff ₊ ( S ¹ ) el grupo de difeomorfismos que preservan la orientación de S ¹ y elija f ₁ , f ₂ ∈ Diff ₊ ( S ¹ ). Corte M a lo largo de N ₁ y N ₂ , siendo y denotando las copias resultantes de N _i , i = 1,2. En este punto se tiene una variedad M' = Σ' × S ₁ con cuatro componentes de borde. La foliación ha pasado a una foliación transversal al borde ∂ M' , cada hoja de la cual tiene la forma Σ' × { y }, y ∈ S ¹ . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle N_{i}^{+}}$ ${\displaystyle N_{i}^{-}}$ ${\displaystyle \left\{N_{i}^{\pm }\right\}_{i=1,2}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F^{\prime }}}}$

Esta hoja se encuentra con ∂ M' en cuatro círculos Si z ∈ C _i , los puntos correspondientes en se denotan por z ^± y están "repegados" a por la identificación ${\displaystyle C_{i}^{\pm }\times \{y\}\subset N_{i}^{\pm }.}$ ${\displaystyle C_{i}^{\pm }}$ ${\displaystyle N_{i}^{-}}$ ${\displaystyle N_{i}^{+}}$

${\displaystyle (z^{-},y)\equiv (z^{+},f_{i}(y)),\quad i=1,2.}$

Dado que f ₁ y f ₂ son difeomorfismos que preservan la orientación de S ¹ , son isotópicos a la identidad y la variedad obtenida por esta operación de reencolado es homeomorfa a M . Sin embargo, las hojas de , se reensamblan para producir una nueva foliación ( f ₁ , f ₂ ) de M . Si una hoja L de ( f ₁ , f ₂ ) contiene un fragmento Σ' × { y ₀ }, entonces ${\displaystyle {\mathcal {F^{\prime }}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle L=\bigcup _{g\in G}\Sigma ^{\prime }\times \{g(y_{0})\},}$

donde G ⊂ Diff ₊ ( S ¹ ) es el subgrupo generado por { f ₁ , f ₂ }. Estas copias de Σ' están unidas entre sí por identificaciones

( z ⁻ , g ( y ₀ )) ≡ ( z ⁺ , f ₁ ( g ( y ₀ ))) para cada z ∈ C ₁ ,

( z ⁻ , g ( y ₀ )) ≡ ( z ⁺ , f ₂ ( g ( y ₀ ))) para cada z ∈ C ₂ ,

donde g varía sobre G . La hoja está completamente determinada por la G -órbita de y ₀ ∈ S ¹ y puede ser simple o inmensamente complicada. Por ejemplo, una hoja será compacta precisamente si la G -órbita correspondiente es finita. Como ejemplo extremo, si G es trivial ( f ₁ = f ₂ = id _{S ¹} ), entonces ( f ₁ , f ₂ ) = . Si una órbita es densa en S ¹ , la hoja correspondiente es densa en M . Como ejemplo, si f ₁ y f ₂ son rotaciones a través de múltiplos racionalmente independientes de 2π, cada hoja será densa. En otros ejemplos, alguna hoja L tiene un cierre que cumple cada factor { w } × S ¹ en un conjunto de Cantor . Se pueden hacer construcciones similares en Σ × I , donde I es un intervalo compacto, no degenerado. Aquí se toma f ₁ , f ₂ ∈ Diff ₊ ( I ) y, puesto que ∂ I está fijado puntualmente por todos los difeomorfismos que preservan la orientación, se obtiene una foliación que tiene los dos componentes de ∂ M como hojas. Cuando se forma M' en este caso, se obtiene una variedad foliada con vértices. En cualquier caso, esta construcción se llama suspensión de un par de difeomorfismos y es una fuente fértil de ejemplos interesantes de foliaciones de codimensión uno. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\bar {L}}}$

Foliaciones e integrabilidad

Existe una relación estrecha, asumiendo que todo es suave , con los campos vectoriales : dado un campo vectorial X en M que nunca es cero, sus curvas integrales darán una foliación unidimensional (es decir, una foliación de codimensión n − 1 ) .

Esta observación se generaliza al teorema de Frobenius , que dice que las condiciones necesarias y suficientes para que una distribución (es decir, un subfibrado de dimensión n − p del fibrado tangente de una variedad) sea tangente a las hojas de una foliación, es que el conjunto de campos vectoriales tangentes a la distribución estén cerrados bajo el corchete de Lie . También se puede expresar esto de otra manera, como una cuestión de reducción del grupo de estructura del fibrado tangente de GL( n ) a un subgrupo reducible.

Las condiciones del teorema de Frobenius aparecen como condiciones de integrabilidad ; y la afirmación es que si se cumplen, la reducción puede tener lugar porque existen funciones de transición locales con la estructura de bloques requerida. Por ejemplo, en el caso de codimensión 1, podemos definir el fibrado tangente de la foliación como ker( α ) , para algún α ∈ Ω ¹ (no canónico) (es decir, un campo co-vectorial distinto de cero). Un α dado es integrable si y solo si α ∧ dα = 0 en todas partes.

Existe una teoría de foliación global, porque existen restricciones topológicas. Por ejemplo, en el caso de la superficie , un campo vectorial distinto de cero en todas partes puede existir en una superficie compacta orientable solo para el toro . Esto es una consecuencia del teorema del índice de Poincaré-Hopf , que muestra que la característica de Euler tendrá que ser 0. Hay muchas conexiones profundas con la topología de contacto , que es el concepto "opuesto", que requiere que la condición de integrabilidad nunca se cumpla.

Existencia de foliaciones

Haefliger (1970) dio una condición necesaria y suficiente para que una distribución en una variedad no compacta conexa sea homotópica con una distribución integrable. Thurston (1974, 1976) demostró que cualquier variedad compacta con una distribución tiene una foliación de la misma dimensión.

Véase también

• G-estructura  – Subfibrado del grupo de estructura en un fibrado de marco tangentePages displaying short descriptions of redirect targets
• Estructura de Haefliger  – Generalización de una foliación cerrada bajo retiradas.
• Laminación  – Espacio topológico particionado
• Foliación de Reeb  : foliación particular de la 3-esfera introducida por el matemático francés Georges Reeb Pages displaying wikidata descriptions as a fallback.
• Foliación tensa

Notas

1. Candel y Conlon 2000, pág. 5
2. Anosov 2001
3. Gourgoulhon 2012, pág. 56
4. Reeb, G. (1959), "Remarques sur lesstructures feuilletées" (PDF) , Toro. Soc. Matemáticas. Francia , 87 : 445–450, doi : 10.24033/bsmf.1539 , Zbl  0122.41603
5. Lawson 1974
6. Candel y Conlon 2000, pág. 19
7. Candel y Conlon 2000, pág. 20
8. Candel y Conlon 2000, pág. 23
9. Candel y Conlon 2000, pag. 25
10. Candel y Conlon 2000, pág. 26
11. Candel y Conlon 2000, pág. 27
12. Candel y Conlon 2000, pág. 28
13. Candel y Conlon 2000, pág. 29
14. Candel y Conlon 2000, pág. 31
15. Candel y Conlon 2000, pág. 32
16. Durfee, AH (1972), "Foliaciones de esferas de dimensiones impares", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 96 (2): 407–411, doi :10.2307/1970795, JSTOR  1970795

Referencias

• Anosov, DV (2001) [1994], "Foliación", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Candel, Alberto; Conlon, Lawrence (2000), Foliaciones I , Estudios de posgrado en matemáticas, vol. 23, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0809-5
• Candel, Alberto; Conlon, Lawrence (2003), Foliaciones II , Estudios de posgrado en matemáticas, vol. 60, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0809-5
• Gourgoulhon, Éric (2012), Formalismo 3+1 en la relatividad general, Lecture Notes in Physics, vol. 846, Heidelberg, Nueva York, Dordrecht, Londres: Springer , doi :10.1007/978-3-642-24525-1, ISBN 978-3-642-24524-4
• Haefliger, André (1970), "Feuilletages sur les variétés ouvertes", Topología , 9 (2): 183–194, doi :10.1016/0040-9383(70)90040-6, ISSN  0040-9383, SEÑOR  0263104
• Lawson, H. Blaine (1974), "Foliaciones", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 80 (3): 369–418, doi : 10.1090/S0002-9904-1974-13432-4 , ISSN  0002-9904, MR  0343289
• Moerdijk, Ieke ; Mrčun, J. (2003), Introducción a las foliaciones y grupoides de Lie , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 91, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83197-0, Sr.  2012261
• Reeb, Georges (1952), Sur surees propriétés topologiques des variétés feuilletées , Actualités Sci. Indiana, no. 1183, Hermann & Cie., París, MR  0055692
• Thurston, William (1974), "La teoría de las foliaciones de codimensión mayor que uno", Commentarii Mathematici Helvetici , 49 : 214–231, doi :10.1007/BF02566730, ISSN  0010-2571, MR  0370619, S2CID  120603728
• Thurston, William P. (1976), "Existencia de foliaciones de codimensión uno", Annals of Mathematics , Segunda serie, 104 (2): 249–268, doi :10.2307/1971047, ISSN  0003-486X, JSTOR  1971047, MR  0425985

Enlaces externos

• Foliaciones en el Atlas Manifold