Teorema de disipación de fluctuaciones

Teorema de física estadística

El teorema de fluctuación-disipación ( FDT ) o relación de fluctuación-disipación ( FDR ) es una poderosa herramienta en física estadística para predecir el comportamiento de sistemas que obedecen a un equilibrio detallado . Dado que un sistema obedece a un equilibrio detallado, el teorema es una prueba de que las fluctuaciones termodinámicas en una variable física predicen la respuesta cuantificada por la admitancia o impedancia (en su sentido general, no sólo en términos electromagnéticos) de la misma variable física ( como voltaje, diferencia de temperatura, etc.) y viceversa. El teorema de fluctuación-disipación se aplica tanto a los sistemas mecánicos clásicos como a los cuánticos .

El teorema de fluctuación-disipación fue demostrado por Herbert Callen y Theodore Welton en 1951 ^[1] y ampliado por Ryogo Kubo . Hay antecedentes del teorema general, incluida la explicación de Einstein del movimiento browniano ^[2] durante su annus mirabilis y la explicación de Harry Nyquist en 1928 del ruido de Johnson en resistencias eléctricas. ^[3]

Resumen cualitativo y ejemplos.

El teorema de fluctuación-disipación dice que cuando hay un proceso que disipa energía, convirtiéndola en calor (p. ej., fricción), hay un proceso inverso relacionado con las fluctuaciones térmicas . Esto se entiende mejor considerando algunos ejemplos:

• Arrastre y movimiento browniano

  Si un objeto se mueve a través de un fluido, experimenta resistencia (resistencia del aire o resistencia del fluido). El arrastre disipa la energía cinética y la convierte en calor. La fluctuación correspondiente es el movimiento browniano . Un objeto en un fluido no permanece quieto, sino que se mueve con una velocidad pequeña y que cambia rápidamente, a medida que las moléculas del fluido chocan contra él. El movimiento browniano convierte la energía térmica en energía cinética, lo contrario del arrastre.

• Resistencia y ruido de Johnson.

  Si pasa corriente eléctrica a través de un bucle de alambre con una resistencia , la corriente rápidamente llegará a cero debido a la resistencia. La resistencia disipa la energía eléctrica convirtiéndola en calor ( calentamiento Joule ). La fluctuación correspondiente es el ruido de Johnson . Un bucle de alambre con una resistencia en realidad no tiene corriente cero, tiene una corriente pequeña y que fluctúa rápidamente causada por las fluctuaciones térmicas de los electrones y átomos en la resistencia. El ruido de Johnson convierte la energía térmica en energía eléctrica, lo contrario de la resistencia.

• Absorción de luz y radiación térmica.

  Cuando la luz incide sobre un objeto, una fracción de la luz se absorbe, lo que hace que el objeto se caliente más. De esta forma, la absorción de luz convierte la energía luminosa en calor. La fluctuación correspondiente es la radiación térmica (por ejemplo, el brillo de un objeto "al rojo vivo"). La radiación térmica convierte la energía térmica en energía luminosa, lo contrario de la absorción de luz. De hecho, la ley de radiación térmica de Kirchhoff confirma que cuanto más efectivamente un objeto absorbe luz, más radiación térmica emite.

Ejemplos en detalle

El teorema de fluctuación-disipación es un resultado general de la termodinámica estadística que cuantifica la relación entre las fluctuaciones en un sistema que obedece a un equilibrio detallado y la respuesta del sistema a las perturbaciones aplicadas.

movimiento browniano

Por ejemplo, Albert Einstein señaló en su artículo de 1905 sobre el movimiento browniano que las mismas fuerzas aleatorias que causan el movimiento errático de una partícula en el movimiento browniano también causarían resistencia si la partícula fuera arrastrada a través del fluido. En otras palabras, la fluctuación de la partícula en reposo tiene el mismo origen que la fuerza de fricción disipativa contra la que debemos trabajar si intentamos perturbar el sistema en una dirección particular.

A partir de esta observación, Einstein pudo utilizar la mecánica estadística para derivar la relación Einstein-Smoluchowski.

${\displaystyle D={\mu \,k_{\rm {B}}T}}$

que conecta la constante de difusión D y la movilidad de la partícula μ , la relación entre la velocidad de deriva terminal de la partícula y una fuerza aplicada. k _B es la constante de Boltzmann y T es la temperatura absoluta .

Ruido térmico en una resistencia.

En 1928, John B. Johnson descubrió y Harry Nyquist explicó el ruido de Johnson-Nyquist . Sin corriente aplicada, el voltaje cuadrático medio depende de la resistencia , y el ancho de banda sobre el cual se mide el voltaje: ^[4] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}T}$ ${\displaystyle \Delta \nu }$

${\displaystyle \langle V^{2}\rangle \approx 4Rk_{\rm {B}}T\,\Delta \nu .}$

Un circuito simple para ilustrar el ruido térmico de Johnson-Nyquist en una resistencia.

Esta observación puede entenderse a través del lente del teorema de fluctuación-disipación. Tomemos, por ejemplo, un circuito simple que consta de una resistencia y un capacitor con una pequeña capacitancia . La ley de voltaje de Kirchhoff produce ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle V=-R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}}}$

y entonces la función de respuesta para este circuito es

${\displaystyle \chi (\omega )\equiv {\frac {Q(\omega )}{V(\omega )}}={\frac {1}{{\frac {1}{C}}-i\omega R}}}$

En el límite de baja frecuencia , su parte imaginaria es simplemente ${\displaystyle \omega \ll (RC)^{-1}}$

${\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]\approx \omega RC^{2}}$

que luego se puede vincular a la función de densidad espectral de potencia del voltaje mediante el teorema de fluctuación-disipación ${\displaystyle S_{V}(\omega )}$

${\displaystyle S_{V}(\omega )={\frac {S_{Q}(\omega )}{C^{2}}}\approx {\frac {2k_{\rm {B}}T}{C^{2}\omega }}{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=2Rk_{\rm {B}}T}$

El ruido de voltaje de Johnson-Nyquist se observó dentro de un ancho de banda de frecuencia pequeño centrado alrededor . Por eso ${\displaystyle \langle V^{2}\rangle }$ ${\displaystyle \Delta \nu =\Delta \omega /(2\pi )}$ ${\displaystyle \omega =\pm \omega _{0}}$

${\displaystyle \langle V^{2}\rangle \approx S_{V}(\omega )\times 2\Delta \nu \approx 4Rk_{\rm {B}}T\Delta \nu }$

formulación general

El teorema de fluctuación-disipación se puede formular de muchas maneras; una forma particularmente útil es la siguiente: ^{[ cita necesaria ]} .

Sea un observable de un sistema dinámico con hamiltoniano sujeto a fluctuaciones térmicas. El observable fluctuará alrededor de su valor medio con fluctuaciones caracterizadas por un espectro de potencia . Supongamos que podemos activar un campo espacialmente constante y variable en el tiempo que altera el hamiltoniano a . La respuesta del observable a un campo dependiente del tiempo se caracteriza de primer orden por la susceptibilidad o función de respuesta lineal del sistema. ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle H_{0}(x)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle \langle x\rangle _{0}}$ ${\displaystyle S_{x}(\omega )=\langle {\hat {x}}(\omega ){\hat {x}}^{*}(\omega )\rangle }$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle H(x)=H_{0}(x)-f(t)x}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \chi (t)}$

${\displaystyle \langle x(t)\rangle =\langle x\rangle _{0}+\int _{-\infty }^{t}\!f(\tau )\chi (t-\tau )\,d\tau ,}$

donde la perturbación se activa adiabáticamente (muy lentamente) en . ${\displaystyle \tau =-\infty }$

El teorema de fluctuación-disipación relaciona el espectro de potencia bilateral (es decir, frecuencias positivas y negativas) con la parte imaginaria de la transformada de Fourier de la susceptibilidad : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\hat {\chi }}(\omega )}$ ${\displaystyle \chi (t)}$ $${\displaystyle S_{x}(\omega )=-{\frac {2k_{\mathrm {B} }T}{\omega }}\operatorname {Im} {\hat {\chi }}(\omega ).}$$

que se cumple según la convención de transformada de Fourier . El lado izquierdo describe fluctuaciones en , el lado derecho está estrechamente relacionado con la energía disipada por el sistema cuando es bombeado por un campo oscilatorio . El espectro de fluctuaciones revela la respuesta lineal, porque las fluctuaciones pasadas causan fluctuaciones futuras a través de una respuesta lineal sobre sí misma. ${\displaystyle f(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(t)=F\sin(\omega t+\phi )}$

Ésta es la forma clásica del teorema; las fluctuaciones cuánticas se tienen en cuenta reemplazando con (cuyo límite para es ). Se puede encontrar una prueba mediante la reducción LSZ , una identidad de la teoría cuántica de campos. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle 2k_{\mathrm {B} }T/\omega }$ ${\displaystyle \hbar \,\coth(\hbar \omega /2k_{\mathrm {B} }T)}$ ${\displaystyle \hbar \to 0}$ ${\displaystyle 2k_{\mathrm {B} }T/\omega }$

El teorema de fluctuación-disipación se puede generalizar de forma sencilla al caso de campos dependientes del espacio, al caso de varias variables o a un entorno de mecánica cuántica. ^[1]

Derivación

Versión clásica

Derivamos el teorema de fluctuación-disipación en la forma dada anteriormente, usando la misma notación. Considere el siguiente caso de prueba: el campo f ha estado encendido durante un tiempo infinito y se apaga en t =0

${\displaystyle f(t)=f_{0}\theta (-t),}$

¿Dónde está la función de Heaviside ? Podemos expresar el valor esperado de mediante la distribución de probabilidad W ( x ,0) y la probabilidad de transición ${\displaystyle \theta (t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P(x',t|x,0)}$

${\displaystyle \langle x(t)\rangle =\int dx'\int dx\,x'P(x',t|x,0)W(x,0).}$

La función de distribución de probabilidad W ( x ,0) es una distribución de equilibrio y, por tanto, está dada por la distribución de Boltzmann para el hamiltoniano. ${\displaystyle H(x)=H_{0}(x)-xf_{0}}$

${\displaystyle W(x,0)={\frac {\exp(-\beta H(x))}{\int dx'\,\exp(-\beta H(x'))}}\,,}$

dónde . Para un campo débil , podemos expandir el lado derecho ${\displaystyle \beta ^{-1}=k_{\rm {B}}T}$ ${\displaystyle \beta xf_{0}\ll 1}$

${\displaystyle W(x,0)\approx W_{0}(x)[1+\beta f_{0}(x-\langle x\rangle _{0})],}$

aquí está la distribución de equilibrio en ausencia de un campo. Introduciendo esta aproximación en la fórmula de rendimientos ${\displaystyle W_{0}(x)}$ ${\displaystyle \langle x(t)\rangle }$

donde A ( t ) es la función de autocorrelación de x en ausencia de un campo:

${\displaystyle A(t)=\langle [x(t)-\langle x\rangle _{0}][x(0)-\langle x\rangle _{0}]\rangle _{0}.}$

Tenga en cuenta que, en ausencia de un campo, el sistema es invariante ante cambios de tiempo. Podemos reescribir usando la susceptibilidad del sistema y así encontrar con la ecuación anterior (*) ${\displaystyle \langle x(t)\rangle -\langle x\rangle _{0}}$

${\displaystyle f_{0}\int _{0}^{\infty }d\tau \,\chi (\tau )\theta (\tau -t)=\beta f_{0}A(t)}$

Como consecuencia,

Para hacer una afirmación sobre la dependencia de la frecuencia, es necesario tomar la transformada de Fourier de la ecuación (**) . Integrando por partes es posible demostrar que

${\displaystyle -{\hat {\chi }}(\omega )=i\omega \beta \int _{0}^{\infty }e^{-i\omega t}A(t)\,dt-\beta A(0).}$

Como es real y simétrico, se sigue que ${\displaystyle A(t)}$

${\displaystyle 2\operatorname {Im} [{\hat {\chi }}(\omega )]=-\omega \beta {\hat {A}}(\omega ).}$

Finalmente, para procesos estacionarios , el teorema de Wiener-Khinchin establece que la densidad espectral bilateral es igual a la transformada de Fourier de la función de autocorrelación:

${\displaystyle S_{x}(\omega )={\hat {A}}(\omega ).}$

Por lo tanto, se deduce que

${\displaystyle S_{x}(\omega )=-{\frac {2k_{\text{B}}T}{\omega }}\operatorname {Im} [{\hat {\chi }}(\omega )].}$

Versión cuántica

El teorema de fluctuación-disipación relaciona la función de correlación del observable de interés (una medida de fluctuación) con la parte imaginaria de la función de respuesta en el dominio de la frecuencia (una medida de disipación). Se puede encontrar un vínculo entre estas cantidades mediante la llamada fórmula de Kubo ^[5] ${\displaystyle \langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle }$ ${\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=\left[\chi (\omega )-\chi ^{*}(\omega )\right]/2i}$

${\displaystyle \chi (t-t')={\frac {i}{\hbar }}\theta (t-t')\langle [{\hat {x}}(t),{\hat {x}}(t')]\rangle }$

que se sigue, bajo los supuestos de la teoría de la respuesta lineal , de la evolución temporal del promedio del conjunto de lo observable en presencia de una fuente perturbadora. Una vez transformada de Fourier, la fórmula de Kubo permite escribir la parte imaginaria de la función de respuesta como ${\displaystyle \langle {\hat {x}}(t)\rangle }$

${\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]={\frac {1}{2\hbar }}\int _{-\infty }^{+\infty }\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)-{\hat {x}}(0){\hat {x}}(t)\rangle e^{i\omega t}dt.}$

En el conjunto canónico , el segundo término puede reexpresarse como

${\displaystyle \langle {\hat {x}}(0){\hat {x}}(t)\rangle ={\text{Tr }}e^{-\beta {\hat {H}}}{\hat {x}}(0){\hat {x}}(t)={\text{Tr }}{\hat {x}}(t)e^{-\beta {\hat {H}}}{\hat {x}}(0)={\text{Tr }}e^{-\beta {\hat {H}}}\underbrace {e^{\beta {\hat {H}}}{\hat {x}}(t)e^{-\beta {\hat {H}}}} _{{\hat {x}}(t-i\hbar \beta )}{\hat {x}}(0)=\langle {\hat {x}}(t-i\hbar \beta ){\hat {x}}(0)\rangle }$

donde en la segunda igualdad reposicionamos usando la propiedad cíclica de la traza. A continuación, en la tercera igualdad, la insertamos junto a la traza y la interpretamos como un operador de evolución temporal con un intervalo de tiempo imaginario . El desplazamiento temporal imaginario se convierte en un factor tras la transformada de Fourier ${\displaystyle {\hat {x}}(t)}$ ${\displaystyle e^{-\beta {\hat {H}}}e^{\beta {\hat {H}}}}$ ${\displaystyle e^{-\beta {\hat {H}}}}$ ${\displaystyle e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\Delta t}}$ ${\displaystyle \Delta t=-i\hbar \beta }$ ${\displaystyle e^{-\beta \hbar \omega }}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\langle {\hat {x}}(t-i\hbar \beta ){\hat {x}}(0)\rangle e^{i\omega t}dt=e^{-\beta \hbar \omega }\int _{-\infty }^{+\infty }\langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle e^{i\omega t}dt}$

y por lo tanto la expresión para puede reescribirse fácilmente como la relación de fluctuación-disipación cuántica ^[6] ${\displaystyle {\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]}$

${\displaystyle S_{x}(\omega )=2\hbar \left[n_{\rm {BE}}(\omega )+1\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]}$

donde la densidad espectral de potencia es la transformada de Fourier de la autocorrelación y es la función de distribución de Bose-Einstein . El mismo cálculo también arroja ${\displaystyle S_{x}(\omega )}$ ${\displaystyle \langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle }$ ${\displaystyle n_{\rm {BE}}(\omega )=\left(e^{\beta \hbar \omega }-1\right)^{-1}}$

${\displaystyle S_{x}(-\omega )=e^{-\beta \hbar \omega }S_{x}(\omega )=2\hbar \left[n_{\rm {BE}}(\omega )\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]\neq S_{x}(+\omega )}$

por tanto, a diferencia de lo obtenido en el caso clásico, la densidad espectral de potencia no es exactamente simétrica en frecuencia en el límite cuántico. Consistentemente, tiene una parte imaginaria que se origina a partir de las reglas de conmutación de operadores. ^[7] El término adicional " " en la expresión de en frecuencias positivas también puede considerarse vinculado a la emisión espontánea . Un resultado citado a menudo es también la densidad espectral de potencia simetrizada. ${\displaystyle \langle {\hat {x}}(t){\hat {x}}(0)\rangle }$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle S_{x}(\omega )}$

${\displaystyle {\frac {S_{x}(\omega )+S_{x}(-\omega )}{2}}=2\hbar \left[n_{\rm {BE}}(\omega )+{\frac {1}{2}}\right]{\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right]=\hbar \coth \left({\frac {\hbar \omega }{2k_{B}T}}\right){\text{Im}}\left[\chi (\omega )\right].}$

Se puede pensar que el " " está vinculado a fluctuaciones cuánticas o al movimiento de punto cero de lo observable . A temperaturas suficientemente altas, es decir, la contribución cuántica es insignificante, y recuperamos la versión clásica. ${\displaystyle +1/2}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle n_{\rm {BE}}\approx (\beta \hbar \omega )^{-1}\gg 1}$

Violaciones en sistemas vítreos.

Si bien el teorema de fluctuación-disipación proporciona una relación general entre la respuesta de los sistemas que obedecen a un equilibrio detallado , cuando se viola el equilibrio detallado, la comparación de las fluctuaciones con la disipación es más compleja. Por debajo de la llamada temperatura del vidrio , los sistemas vítreos no están equilibrados y lentamente se acercan a su estado de equilibrio. Este lento acercamiento al equilibrio es sinónimo de violación del equilibrio detallado. Por lo tanto, estos sistemas requieren grandes escalas de tiempo para ser estudiados mientras avanzan lentamente hacia el equilibrio. ${\displaystyle T_{\rm {g}}}$

Para estudiar la violación de la relación fluctuación-disipación en sistemas vítreos, en particular en vidrios giratorios , se realizaron simulaciones numéricas de sistemas macroscópicos (es decir, grandes en comparación con sus longitudes de correlación) descritos mediante el modelo tridimensional de Edwards-Anderson utilizando supercomputadoras. ^[8] En sus simulaciones, el sistema se prepara inicialmente a una temperatura alta, se enfría rápidamente a una temperatura inferior a la temperatura del vidrio y se deja equilibrar durante un tiempo muy largo bajo un campo magnético . Luego, en un momento posterior , se prueban dos observables dinámicos, a saber, la función de respuesta y la función de correlación temporal de espín, donde es el espín que vive en el nodo de la red cúbica de volumen y es la densidad de magnetización. La relación fluctuación-disipación en este sistema se puede escribir en términos de estos observables como ${\displaystyle T=0.64T_{\rm {g}}}$ ${\displaystyle T_{\rm {g}}}$ ${\displaystyle t_{\rm {w}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle t+t_{\rm {w}}}$ $${\displaystyle \chi (t+t_{\rm {w}},t_{\rm {w}})\equiv \left.{\frac {\partial m(t+t_{\rm {w}})}{\partial H}}\right|_{H=0}}$$ $${\displaystyle C(t+t_{\rm {w}},t_{\rm {w}})\equiv {\frac {1}{V}}\left.\sum _{x}\langle S_{x}(t_{\rm {w}})S_{x}(t+t_{\rm {w}})\rangle \right|_{H=0}}$$ ${\displaystyle S_{x}=\pm 1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\textstyle m(t)\equiv {\frac {1}{V}}\sum _{x}\langle S_{x}(t)\rangle }$ $${\displaystyle T\chi (t+t_{\rm {w}},t_{\rm {w}})=1-C(t+t_{\rm {w}},t_{\rm {w}})}$$

Sus resultados confirman la expectativa de que a medida que se deja que el sistema se equilibre durante tiempos más prolongados, la relación fluctuación-disipación está más cerca de satisfacerse.

A mediados de la década de 1990, en el estudio de la dinámica de los modelos de vidrio giratorio, se descubrió una generalización del teorema de fluctuación-disipación que se cumple para estados asintóticos no estacionarios, donde la temperatura que aparece en la relación de equilibrio se sustituye por una temperatura efectiva con una dependencia no trivial de las escalas de tiempo. ^[9] Se propone que esta relación se mantenga en sistemas vítreos más allá de los modelos para los que se encontró inicialmente.

Ver también

• Termodinámica de no equilibrio
• Relaciones Verde-Kubo
• Relaciones recíprocas de Onsager
• Teorema de equipartición
• Distribución Boltzmann
• Sistema disipativo

Notas

1. HB Callen ; TA Welton (1951). "Irreversibilidad y ruido generalizado". Revisión física . 83 (1): 34–40. Código bibliográfico : 1951PhRv...83...34C. doi : 10.1103/PhysRev.83.34.
2. Einstein, Albert (mayo de 1905). "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen". Annalen der Physik . 322 (8): 549–560. Código bibliográfico : 1905AnP...322..549E. doi : 10.1002/andp.19053220806 .
3. Nyquist H (1928). "Agitación térmica de carga eléctrica en conductores". Revisión física . 32 (1): 110-113. Código bibliográfico : 1928PhRv...32..110N. doi : 10.1103/PhysRev.32.110.
4. Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2009). Conceptos en física térmica . OUP Oxford.
5. Kubo R (1966). "El teorema de fluctuación-disipación". Informes sobre los avances en física . 29 (1): 255–284. Código bibliográfico : 1966RPPh...29..255K. doi :10.1088/0034-4885/29/1/306. S2CID  250892844.
6. Hänggi Peter, Ingold Gert-Ludwig (2005). "Aspectos fundamentales del movimiento browniano cuántico". Caos: una revista interdisciplinaria de ciencia no lineal . 15 (2): 026105. arXiv : quant-ph/0412052 . Código Bib :2005Caos..15b6105H. doi :10.1063/1.1853631. PMID  16035907. S2CID  9787833.
7. Secretario, AA; Devoret, MH; Girvin, SM; Marquardt, Florián; Schoelkopf, RJ (2010). "Introducción al Ruido Cuántico, Medición y Amplificación". Reseñas de Física Moderna . 82 (2): 1155. arXiv : 0810.4729 . Código Bib : 2010RvMP...82.1155C. doi : 10.1103/RevModPhys.82.1155. S2CID  119200464.
8. Baity-Jesi Marco, Calore Enrico, Cruz Andres, Antonio Fernandez Luis, Miguel Gil-Narvión José, Gordillo-Guerrero Antonio, Iñiguez David, Maiorano Andrea, Marinari Enzo, Martin-Mayor Victor, Monforte-García Jorge, Muñoz Sudupe Antonio, Navarro Denis, Parisi Giorgio, Perez-Gaviro Sergio, Ricci-Tersenghi Federico, Jesus Ruiz-Lorenzo Juan, Fabio Schifano Sebastiano, Seoane Beatriz, Tarancón Alfonso, Tripiccione Raffaele, Yllanes David (2017). "Una equivalencia estática-dinámica a través de la relación fluctuación-disipación proporciona una ventana a la fase de vidrio giratorio a partir de mediciones de desequilibrio". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 114 (8): 1838–1843. arXiv : 1610.01418 . Código Bib : 2017PNAS..114.1838B. doi : 10.1073/pnas.1621242114 . PMC 5338409 . PMID  28174274. {{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
9. Cugliandolo LF ; Kurchan J. (1993). "Solución analítica de la dinámica de desequilibrio de un modelo de vidrio giratorio de largo alcance". Cartas de revisión física . 71 (1): 173-176. arXiv : cond-mat/9303036 . Código bibliográfico : 1993PhRvL..71..173C. doi :10.1103/PhysRevLett.71.173. PMID  10054401. S2CID  8591240.

Referencias

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• Umberto Marini Bettolo Marconi; Andrea Puglisi; Lamberto Rondoni; Ángel Vulpiani (2008). "Fluctuación-disipación: teoría de la respuesta en física estadística". Informes de Física . 461 (4–6): 111–195. arXiv : 0803.0719 . Código bibliográfico : 2008PhR...461..111M. doi :10.1016/j.physrep.2008.02.002. S2CID  118575899.

Lectura adicional

• Grabación de audio de una conferencia del Prof. EW Carlson de la Universidad Purdue
• El famoso texto de Kubo: Teorema de fluctuación-disipación
• Weber J (1956). "Teorema de disipación de fluctuaciones". Revisión física . 101 (6): 1620-1626. arXiv : 0710.4394 . Código bibliográfico : 1956PhRv..101.1620W. doi : 10.1103/PhysRev.101.1620.
• Felderhof BU (1978). "Sobre la derivación del teorema de fluctuación-disipación". Revista de Física A. 11 (5): 921–927. Código bibliográfico : 1978JPhA...11..921F. doi :10.1088/0305-4470/5/11/021.
• Cristani A, Ritort F (2003). "Violación del teorema de fluctuación-disipación en sistemas vítreos: nociones básicas y evidencia numérica". Revista de Física A. 36 (21): R181–R290. arXiv : cond-mat/0212490 . Código Bib : 2003JPhA...36R.181C. doi :10.1088/0305-4470/36/21/201. S2CID  14144683.
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• Mazonka, Oleg (2016). "Tan fácil como Pi: la relación fluctuación-disipación" (PDF) . Revista de referencia . 16 .