Los filtros k constantes , también filtros tipo k , son un tipo de filtro electrónico diseñado mediante el método de la imagen . Son los filtros originales y más simples producidos por esta metodología y consisten en una red en escalera de secciones idénticas de componentes pasivos . Históricamente, son los primeros filtros que podrían acercarse a la respuesta de frecuencia ideal del filtro dentro de cualquier límite prescrito con la adición de un número suficiente de secciones. Sin embargo, rara vez se consideran para un diseño moderno, ya que los principios detrás de ellos han sido reemplazados por otras metodologías que son más precisas en su predicción de la respuesta del filtro.
Los filtros k constantes fueron inventados por George Campbell . Publicó su trabajo en 1922, [1] pero claramente había inventado los filtros algún tiempo antes, [2] ya que su colega en AT&T Co , Otto Zobel , ya estaba realizando mejoras en el diseño en ese momento. Los filtros de Campbell eran muy superiores a los circuitos de un solo elemento más simples que se habían utilizado anteriormente. Campbell llamó a sus filtros filtros de ondas eléctricas, pero este término luego pasó a significar cualquier filtro que deja pasar ondas de algunas frecuencias pero no de otras. Posteriormente se inventaron muchas formas nuevas de filtros de ondas; Una variación temprana (e importante) fue el filtro derivado de m de Zobel, quien acuñó el término constante k para el filtro Campbell con el fin de distinguirlos. [3]
La gran ventaja que tenían los filtros de Campbell sobre el circuito RL y otros filtros simples de la época era que podían diseñarse para cualquier grado deseado de rechazo de banda de parada o pendiente de transición entre banda de paso y banda de parada. Sólo fue necesario agregar más secciones de filtro hasta obtener la respuesta deseada. [4]
Los filtros fueron diseñados por Campbell con el fin de separar canales telefónicos multiplexados en líneas de transmisión , pero su uso posterior ha estado mucho más extendido que eso. Las técnicas de diseño utilizadas por Campbell han sido reemplazadas en gran medida. Sin embargo, la topología en escalera utilizada por Campbell con la constante k todavía se utiliza hoy en día con implementaciones de diseños de filtros modernos como el filtro Tchebyscheff . Campbell dio diseños de k constante para filtros de paso bajo , paso alto y paso de banda . También son posibles filtros de banda eliminada y de múltiples bandas. [5]
Algunos de los términos de impedancia y términos de sección utilizados en este artículo se muestran en el siguiente diagrama. La teoría de la imagen define cantidades en términos de una cascada infinita de secciones de dos puertos y, en el caso de los filtros que se analizan, una red de escalera infinita de secciones en L. Aquí "L" no debe confundirse con la inductancia L ; en la topología de filtro electrónico , "L" se refiere a la forma específica del filtro que se asemeja a la letra "L" invertida.
Las secciones del hipotético filtro infinito están hechas de elementos en serie que tienen impedancia 2 Z y elementos en derivación con admitancia 2 Y. El factor dos se introduce por conveniencia matemática, ya que se suele trabajar en términos de medias secciones donde desaparece. La impedancia de imagen del puerto de entrada y salida de una sección generalmente no será la misma. Sin embargo, para una sección intermedia de la serie (es decir, una sección desde la mitad de un elemento de la serie hasta la mitad del siguiente elemento de la serie) tendrá la misma impedancia de imagen en ambos puertos debido a la simetría. Esta impedancia de imagen se designa debido a la " " topología de una sección a mitad de serie. Asimismo, la impedancia de imagen de una sección intermedia se designa debido a la " " topología. La mitad de dicha sección se llama media sección , que también es una sección en L pero con la mitad de los valores de los elementos de la sección en L completa. La impedancia de imagen de la media sección es diferente en los puertos de entrada y salida: en el lado que presenta el elemento en serie es igual a la serie media , pero en el lado que presenta el elemento en derivación es igual a la derivación media . Por tanto, existen dos formas variantes de utilizar una media sección.ZiTTZiΠΠ"T""Π"ZiTZiΠ
El componente básico de los filtros k constantes es la red "L" de media sección, compuesta por una impedancia en serie Z y una admitancia en derivación Y. La "k" en la "k constante" es el valor dado por, [6]
Así, k tendrá unidades de impedancia, es decir, ohmios . Es evidente que para que k sea constante, Y debe ser la impedancia dual de Z. Se puede dar una interpretación física de k observando que k es el valor límite de Z i cuando el tamaño de la sección (en términos de valores de sus componentes, como inductancias, capacitancias, etc.) se acerca a cero, mientras se mantiene k en su valor inicial. Así, k es la impedancia característica , Z 0 , de la línea de transmisión que estaría formada por estos tramos infinitamente pequeños. [7] [8] [9] También es la impedancia de imagen de la sección en resonancia , en el caso de filtros paso banda, o en ω = 0 en el caso de filtros paso bajo. [10] Por ejemplo, la media sección de paso bajo que se muestra en la imagen tiene
Los elementos L y C se pueden hacer arbitrariamente pequeños manteniendo el mismo valor de k . Sin embargo, Z e Y se acercan a cero y, según las fórmulas (a continuación) para las impedancias de la imagen,
Las impedancias de imagen de la sección están dadas por [11]
y
Dado que el filtro no contiene ningún elemento resistivo, la impedancia de la imagen en la banda de paso del filtro es puramente real y en la banda de parada es puramente imaginaria . Por ejemplo, para la media sección de paso bajo que se muestra en la imagen, [12]
La transición ocurre a una frecuencia de corte dada por
Por debajo de esta frecuencia , la impedancia de la imagen es real,
Por encima de la frecuencia de corte la impedancia de la imagen es imaginaria,
Los parámetros de transmisión para una media sección k constante general vienen dados por [13]
y para una cadena de n medias secciones
Para la sección en forma de L de paso bajo, por debajo de la frecuencia de corte, los parámetros de transmisión vienen dados por [11]
Es decir, la transmisión no tiene pérdidas en la banda de paso y solo cambia la fase de la señal. Por encima de la frecuencia de corte, los parámetros de transmisión son: [11]
Los gráficos presentados de impedancia, atenuación y cambio de fase de la imagen corresponden a una sección de filtro prototipo de paso bajo . El prototipo tiene una frecuencia de corte de ω c = 1 rad/s y una impedancia nominal k = 1 Ω. Esto se produce mediante una media sección de filtro con una inductancia L = 1 henrio y una capacitancia C = 1 faradio . Este prototipo se puede escalar en impedancia y en frecuencia a los valores deseados. El prototipo de paso bajo también se puede transformar en tipos de paso alto, paso de banda o supresión de banda mediante la aplicación de transformaciones de frecuencia adecuadas . [14]
Se pueden conectar en cascada varias medias secciones en forma de L para formar un filtro compuesto. La impedancia igual siempre debe mirar como en estas combinaciones. Por lo tanto, se pueden formar dos circuitos con dos medias secciones idénticas en forma de L. Cuando un puerto de impedancia de imagen ZiT se enfrenta a otro ZiT , la sección se denomina Πsección. Donde ZiΠ enfrenta a Z,iΠ la sección así formada es una sección en T. Adiciones adicionales de medias secciones a cualquiera de estas secciones forman una red de escalera que puede comenzar y terminar con elementos en serie o en derivación. [15]
Hay que tener en cuenta que las características del filtro predichas por el método de la imagen sólo son precisas si la sección termina con su impedancia de imagen. Por lo general, esto no es cierto para las secciones en ambos extremos, que generalmente terminan con una resistencia fija. Cuanto más alejada esté la sección del final del filtro, más precisa será la predicción, ya que los efectos de las impedancias terminales quedan enmascarados por las secciones intermedias. [dieciséis]
Si imaginamos la línea dividida en pequeños tramos Δℓ, cada tramo se verá como una sección de la escalera LC con una inductancia en serie ΔL y una capacitancia en derivación ΔC. Luego podemos usar nuestros resultados para el filtro de escalera. Si tomamos el límite cuando Δℓ llega a cero, tenemos una buena descripción de la línea de transmisión. Observe que a medida que Δℓ se hace cada vez más pequeño, tanto ΔL como ΔC disminuyen, pero en la misma proporción, de modo que la relación ΔL/ΔC permanece constante. Entonces, si tomamos el límite de la Ec. (22.28) cuando ΔL y ΔC llegan a cero, encontramos que la impedancia característica z0 es una resistencia pura cuya magnitud es √(ΔL/ΔC). También podemos escribir la relación ΔL/ΔC como L0/C0, donde L0 y C0 son la inductancia y capacitancia de una unidad de longitud de la línea; entonces nosotros tenemos
.
