mapa de milnor

En matemáticas, los mapas de Milnor reciben su nombre en honor a John Milnor , quien los introdujo en la topología y la geometría algebraica en su libro Singular Points of Complex Hypersurfaces ( Princeton University Press , 1968) y conferencias anteriores. Los mapas de Milnor más estudiados son en realidad fibraciones , y la frase fibración de Milnor se encuentra con mayor frecuencia en la literatura matemática. Estos se introdujeron para estudiar singularidades aisladas mediante la construcción de invariantes numéricos relacionados con la topología de una deformación suave del espacio singular.

Definición

Sea una función polinómica no constante de variables complejas donde el lugar geométrico de fuga de ${\displaystyle f(z_{0},\dots ,z_{n})}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle z_{0},\dots ,z_{n}}$

${\displaystyle f(z)\ {\text{ and }}\ {\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}(z)}$

está sólo en el origen, lo que significa que la variedad asociada no es suave en el origen. Entonces, para (una esfera dentro del radio ) la fibración Milnor ^{[1] pg 68} asociada a se define como el mapa ${\displaystyle X=V(f)}$ ${\displaystyle K=X\cap S_{\varepsilon }^{2n+1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \phi \colon (S_{\varepsilon }^{2n+1}\setminus K)\to S^{1}\ {\text{ sending }}\ x\mapsto {\frac {f(x)}{|f(x)|}}}$,

que es una fibración suave localmente trivial para valores suficientemente pequeños . Originalmente esto fue demostrado como un teorema por Milnor, pero luego fue tomado como la definición de fibración de Milnor. Tenga en cuenta que este es un mapa bien definido ya que ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle f(x)=|f(x)|\cdot e^{2\pi i\operatorname {Arg} (f(x))}}$,

¿Dónde está el argumento de un número complejo ? ${\displaystyle \operatorname {Arg} (f(x))}$

Motivación histórica

Una de las motivaciones originales para estudiar tales mapas fue el estudio de nudos construidos tomando una bola alrededor de un punto singular de una curva plana , que es isomorfa a una bola real de 4 dimensiones, y mirando el nudo dentro del límite. que es una variedad de 1 dentro de una esfera de 3 . Dado que este concepto podía generalizarse a hipersuperficies con singularidades aisladas, Milnor introdujo el tema y demostró su teorema. ${\displaystyle \varepsilon }$

En geometría algebraica

Otra noción cerrada relacionada en geometría algebraica es la fibra de Milnor de una singularidad de hipersuperficie aislada. Esto tiene una configuración similar, donde un polinomio tiene una singularidad en el origen, pero ahora el polinomio ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=0}$

${\displaystyle f_{t}\colon \mathbb {C} ^{n+1}\to \mathbb {C} \ {\text{ sending }}\ (z_{0},\ldots ,z_{n})\mapsto f(z_{0},\ldots ,z_{n})-t}$

se considera. Luego, se toma como uno de los polinomios la fibra algebraica de Milnor . ${\displaystyle f_{t\neq 0}}$

Propiedades y teoremas

Paralelización

Uno de los teoremas estructurales básicos sobre las fibras de Milnor es que son variedades paralelizables ^{[1] pg 75} .

Tipo de homotopía

Las fibras de Milnor son especiales porque tienen el tipo de homotopía de un ramo de esferas ^{[1] pg 78} . El número de estas esferas es el número de Milnor . De hecho, el número de esferas se puede calcular mediante la fórmula

${\displaystyle \mu (f)={\text{dim}}_{\mathbb {C} }{\frac {\mathbb {C} [z_{0},\ldots ,z_{n}]}{\operatorname {Jac} (f)}},}$

donde el cociente ideal es el ideal jacobiano , definido por las derivadas parciales . Estas esferas deformadas a la fibra algebraica de Milnor son los ciclos de desaparición de la fibración ^{[1] pg 83} . Desafortunadamente, calcular los valores propios de su monodromía es un desafío computacional y requiere técnicas avanzadas como las funciones b ^{[2] pg 23} . ${\displaystyle \partial f/\partial z_{i}}$

Teorema de fibración de Milnor

El teorema de fibración de Milnor establece que, para cada tal que el origen sea un punto singular de la hipersuperficie (en particular, para cada polinomio libre de cuadrados no constante de dos variables, el caso de curvas planas), entonces para suficientemente pequeño, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V_{f}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle {\dfrac {f}{|f|}}\colon \left(S_{\varepsilon }^{2n+1}\setminus V_{f}\right)\to S^{1}}$

es una fibración. Cada fibra es una variedad diferenciable no compacta de dimensión real . Tenga en cuenta que el cierre de cada fibra es una variedad compacta con límite. Aquí el límite corresponde a la intersección de con la esfera (de radio suficientemente pequeño) y por lo tanto es una variedad real de dimensión . Además, esta variedad compacta con límite, que se conoce como fibra de Milnor (del punto singular aislado de en el origen), es difeomorfa a la intersección de la bola cerrada (delimitada por la pequeña esfera) con la (no- singular) hipersuperficie donde y es cualquier número complejo distinto de cero suficientemente pequeño . Este pequeño trozo de hipersuperficie también se llama fibra Milnor . ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle V_{f}}$ ${\displaystyle (2n+1)}$ ${\displaystyle (2n-1)}$ ${\displaystyle V_{f}}$ ${\displaystyle (2n+2)}$ ${\displaystyle (2n+1)}$ ${\displaystyle V_{g}}$ ${\displaystyle g=f-e}$ ${\displaystyle e}$

Los mapas de Milnor en otros radios no siempre son fibraciones, pero aún tienen muchas propiedades interesantes. Para la mayoría (pero no todos) los polinomios, el mapa de Milnor en el infinito (es decir, en cualquier radio suficientemente grande) es nuevamente una fibración.

Ejemplos

El mapa de Milnor en cualquier radio es una fibración; esta construcción le da al nudo trébol su estructura de nudo fibroso . ${\displaystyle f(z,w)=z^{2}+w^{3}}$

Ver también

• Ciclo de desaparición
• Estructura mixta de Hodge

Referencias

1. Dimca, Alexandru (1992). Singularidades y topología de hipersuperficies. Nueva York, Nueva York: Springer . ISBN 978-1-4612-4404-2. OCLC  852790417.
2. Budur, Nerón. "Ideales multiplicadores, fibras de Milnor y otras invariantes de singularidad" (PDF) . doi :10.1002/humu.22655. S2CID  221776902. Archivado desde el original (PDF) el 6 de marzo de 2019.

• Milnor, John W. (1968), Puntos singulares de hipersuperficies complejas , Annals of Mathematics Studies, n.º 61. Princeton University Press , Princeton, Nueva Jersey; Prensa de la Universidad de Tokio , Tokio, ISBN 0-691-08065-8