En lógica y matemáticas , un valor de verdad , a veces llamado valor lógico , es un valor que indica la relación de una proposición con la verdad , que en lógica clásica tiene sólo dos valores posibles ( verdadero o falso ). [1] [2]
En algunos lenguajes de programación, cualquier expresión se puede evaluar en un contexto que espera un tipo de datos booleano . Normalmente (aunque esto varía según el lenguaje de programación) expresiones como el número cero , la cadena vacía , las listas vacías y nulos se tratan como falsas, y las cadenas con contenido (como "abc"), otros números y objetos se evalúan como verdadero. A veces, estas clases de expresiones se denominan "falsas" y "veraces". Por ejemplo, en Lisp , nil , la lista vacía, se trata como falsa y todos los demás valores se tratan como verdaderos. En C , el número 0 o 0,0 es falso y todos los demás valores se tratan como verdaderos.
En lógica clásica , con su semántica prevista, los valores de verdad son verdaderos (denotados por 1 o verum ⊤) y falsos o falsos (denotados por 0 o falsum ⊥); es decir, la lógica clásica es una lógica bivaluada . Este conjunto de dos valores también se denomina dominio booleano . La semántica correspondiente de los conectivos lógicos son funciones de verdad , cuyos valores se expresan en forma de tablas de verdad . El bicondicional lógico se convierte en la relación binaria de igualdad , y la negación se convierte en una biyección que permuta verdadero y falso. La conjunción y la disyunción son duales respecto de la negación, la cual se expresa mediante las leyes de De Morgan :
Las variables proposicionales se convierten en variables en el dominio booleano. La asignación de valores a variables proposicionales se denomina valoración .
Mientras que en la lógica clásica los valores de verdad forman un álgebra booleana , en la lógica intuicionista y, más generalmente, en las matemáticas constructivas , los valores de verdad forman un álgebra de Heyting . Dichos valores de verdad pueden expresar varios aspectos de validez, incluida la localidad, la temporalidad o el contenido computacional.
Por ejemplo, se pueden utilizar los conjuntos abiertos de un espacio topológico como valores de verdad intuicionistas, en cuyo caso el valor de verdad de una fórmula expresa dónde se cumple la fórmula, no si se cumple.
En realizabilidad , los valores de verdad son conjuntos de programas, que pueden entenderse como evidencia computacional de la validez de una fórmula. Por ejemplo, el valor de verdad de la afirmación "para cada número hay un número primo mayor que él" es el conjunto de todos los programas que toman como entrada un número y generan un número primo mayor que .
En la teoría de categorías , los valores de verdad aparecen como elementos del clasificador de subobjetos . En particular, en un topos a cada fórmula de lógica de orden superior se le puede asignar un valor de verdad en el clasificador de subobjetos.
Aunque un álgebra de Heyting puede tener muchos elementos, esto no debe entenderse como si existieran valores de verdad que no son ni verdaderos ni falsos, como lo demuestra la lógica intuicionista ("no es cierto que no sea ni verdadero ni falso"). [3]
En la teoría de tipos intuicionista , la correspondencia Curry-Howard exhibe una equivalencia de proposiciones y tipos, según la cual la validez equivale a la habitabilidad de un tipo.
Para conocer otras nociones de valores de verdad intuicionistas, consulte la interpretación de Brouwer-Heyting-Kolmogorov y la lógica intuicionista § Semántica .
Las lógicas de valores múltiples (como la lógica difusa y la lógica de relevancia ) permiten más de dos valores de verdad, y posiblemente contengan alguna estructura interna. Por ejemplo, en el intervalo unitario [0,1] dicha estructura es un orden total ; esto puede expresarse como la existencia de varios grados de verdad .
No todos los sistemas lógicos valoran la verdad en el sentido de que los conectivos lógicos puedan interpretarse como funciones de verdad. Por ejemplo, la lógica intuicionista carece de un conjunto completo de valores de verdad porque su semántica, la interpretación de Brouwer-Heyting-Kolmogorov , se especifica en términos de condiciones de demostrabilidad y no directamente en términos de la verdad necesaria de las fórmulas.
Pero incluso las lógicas que no valoran la verdad pueden asociar valores con fórmulas lógicas, como se hace en la semántica algebraica . La semántica algebraica de la lógica intuicionista se da en términos de álgebras de Heyting , en comparación con la semántica del álgebra booleana del cálculo proposicional clásico.
