Factorión

En teoría de números , un factorión en una base numérica dada es un número natural que es igual a la suma de los factoriales de sus dígitos . ^{[1] [2] [3]} El nombre factorión fue acuñado por el autor Clifford A. Pickover . ^[4] ${\displaystyle b}$

Definición

Sea un número natural. Para una base , definimos la suma de los factoriales de los dígitos ^{[5] [6]} de , , como la siguiente: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$

${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}!.}$

donde es el número de dígitos del número en base , es el factorial de y ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}n\rfloor +1}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b^{i}}}}{b^{i}}}}$

es el valor del dígito n del número. Un número natural es un - factorión si es un punto fijo para , es decir, si . ^[7] y son puntos fijos para todas las bases , y por lo tanto son factoriones triviales para todos los , y todos los demás factoriones son factoriones no triviales . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$ ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}(n)=n}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$

Por ejemplo, el número 145 en base es un factorión porque . ${\displaystyle b=10}$ ${\displaystyle 145=1!+4!+5!}$

Para , la suma de los factoriales de los dígitos es simplemente el número de dígitos en la representación base 2 ya que . ${\displaystyle b=2}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0!=1!=1}$

Un número natural es un factorión sociable si es un punto periódico para , donde para un entero positivo , y forma un ciclo de período . Un factorión es un factorión sociable con , y un factorión amistoso es un factorión sociable con . ^{[8] [9]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$ ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}^{k}(n)=n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle k=2}$

Todos los números naturales son puntos preperiódicos para , independientemente de la base. Esto se debe a que todos los números naturales de base con dígitos satisfacen . Sin embargo, cuando , entonces para , por lo que cualquier satisfará hasta . Hay un número finito de números naturales menores que , por lo que se garantiza que el número alcance un punto periódico o un punto fijo menor que , lo que lo convierte en un punto preperiódico. Para , el número de dígitos para cualquier número, una vez más, lo convierte en un punto preperiódico. Esto significa también que hay un número finito de factoriones y ciclos para cualquier base dada . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle b^{k-1}\leq n\leq (b-1)!(k)}$ ${\displaystyle k\geq b}$ ${\displaystyle b^{k-1}>(b-1)!(k)}$ ${\displaystyle b>2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n>\operatorname {SFD} _{b}(n)}$ ${\displaystyle n<b^{b}}$ ${\displaystyle b^{b}}$ ${\displaystyle b^{b}}$ ${\displaystyle b=2}$ ${\displaystyle k\leq n}$ ${\displaystyle b}$

El número de iteraciones necesarias para alcanzar un punto fijo es la persistencia de la función de , y es indefinido si nunca alcanza un punto fijo. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}^{i}(n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$ ${\displaystyle n}$

Factores paraEstado de emergencia b

b= (a− 1)!

Sea un entero positivo y la base numérica . Entonces: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle b=(k-1)!}$

• ${\displaystyle n_{1}=kb+1}$es un factor para todos ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$ ${\displaystyle k.}$

Prueba

Sean los dígitos de , y entonces ${\displaystyle n_{1}=d_{1}b+d_{0}}$ ${\displaystyle d_{1}=k}$ ${\displaystyle d_{0}=1.}$

${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}(n_{1})=d_{1}!+d_{0}!}$

${\displaystyle =k!+1!}$

${\displaystyle =k(k-1)!+1}$

${\displaystyle =d_{1}b+d_{0}}$

${\displaystyle =n_{1}}$

Por lo tanto es un factor para todo . ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle F_{b}}$ ${\displaystyle k}$

• ${\displaystyle n_{2}=kb+2}$es un factor para todos . ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$ ${\displaystyle k}$

Prueba

Sean los dígitos de , y . Entonces ${\displaystyle n_{2}=d_{1}b+d_{0}}$ ${\displaystyle d_{1}=k}$ ${\displaystyle d_{0}=2}$

${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}(n_{2})=d_{1}!+d_{0}!}$

${\displaystyle =k!+2!}$

${\displaystyle =k(k-1)!+2}$

${\displaystyle =d_{1}b+d_{0}}$

${\displaystyle =n_{2}}$

Por lo tanto es un factor para todo . ${\displaystyle n_{2}}$ ${\displaystyle F_{b}}$ ${\displaystyle k}$

b=a!−a+ 1

Sea un entero positivo y la base numérica . Entonces: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle b=k!-k+1}$

• ${\displaystyle n_{1}=b+k}$es un factor para todos . ${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$ ${\displaystyle k}$

Prueba

Sean los dígitos de , y . Entonces ${\displaystyle n_{1}=d_{1}b+d_{0}}$ ${\displaystyle d_{1}=1}$ ${\displaystyle d_{0}=k}$

${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}(n_{1})=d_{1}!+d_{0}!}$

${\displaystyle =1!+k!}$

${\displaystyle =k!+1-k+k}$

${\displaystyle =1(k!-k+1)+k}$

${\displaystyle =d_{1}b+d_{0}}$

${\displaystyle =n_{1}}$

Por lo tanto es un factor para todo . ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle F_{b}}$ ${\displaystyle k}$

Tabla de factoriones y ciclos deEstado de emergencia b

Todos los números están representados en base . ${\displaystyle b}$

Véase también

• Dinámica aritmética
• Número de Dudeney
• Número feliz
• La constante de Kaprekar
• Número de Kaprekar
• Número de Meertens
• Número narcisista
• Invariante perfecto de dígito a dígito
• Invariante digital perfecto
• Número suma-producto

Referencias

1. Sloane, Neil, "A014080", Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros
2. Gardner, Martin (1978), "Factorial Oddities", Espectáculo de magia matemática: más acertijos, juegos, diversiones, ilusiones y otros juegos de ingenio matemático, Vintage Books, págs. 61 y 64, ISBN 9780394726236
3. Madachy, Joseph S. (1979), Recreaciones matemáticas de Madachy, Dover Publications, pág. 167, ISBN 9780486237626
4. Pickover, Clifford A. (1995), "La soledad de los Factorions", Keys to Infinity, John Wiley & Sons, págs. 169-171 y 319-320, ISBN 9780471193340– a través de Google Books
5. Gupta, Shyam S. (2004), "Suma de los factoriales de los dígitos de los números enteros", The Mathematical Gazette , 88 (512), The Mathematical Association: 258–261, doi : 10.1017/S0025557200174996 , JSTOR  3620841, S2CID  125854033
6. Sloane, Neil, "A061602", Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros
7. Abbott, Steve (2004), "Cadenas SFD y ciclos factoriales", The Mathematical Gazette , 88 (512), The Mathematical Association: 261–263, doi :10.1017/S002555720017500X, JSTOR  3620842, S2CID  99976100
8. Sloane, Neil, "A214285", Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros
9. Sloane, Neil, "A254499", Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros
10. Sloane, Neil, "A193163", Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros

Enlaces externos

• Factorión en Wolfram MathWorld