análogo q

Tipo de generalización matemática tal que la versión original es el límite cuando q tiende a 1

En matemáticas , un q -análogo de un teorema, identidad o expresión es una generalización que implica un nuevo parámetro q que devuelve el teorema, identidad o expresión original en el límite cuando q → 1. Por lo general, los matemáticos están interesados ​​en q -análogos que surgen de forma natural, en lugar de inventar arbitrariamente q -análogos de resultados conocidos. El primer q -análogo estudiado en detalle es la serie hipergeométrica básica , que se introdujo en el siglo XIX. ^[1]

Los q -análogos se estudian con mayor frecuencia en los campos matemáticos de la combinatoria y las funciones especiales . En estos entornos, el límite q → 1 suele ser formal, ya que q suele tener un valor discreto (por ejemplo, puede representar una potencia prima ). Los q -análogos encuentran aplicaciones en varias áreas, incluido el estudio de fractales y medidas multifractales, y expresiones para la entropía de sistemas dinámicos caóticos . La relación con los fractales y los sistemas dinámicos resulta del hecho de que muchos patrones fractales tienen las simetrías de los grupos fuchsianos en general (ver, por ejemplo, las perlas de Indra y la junta apolínea ) y el grupo modular en particular. La conexión pasa por la geometría hiperbólica y la teoría ergódica , donde las integrales elípticas y las formas modulares juegan un papel destacado; las propias series q están estrechamente relacionadas con las integrales elípticas.

Los análogos q también aparecen en el estudio de los grupos cuánticos y en las superálgebras q -deformadas . La conexión aquí es similar, en el sentido de que gran parte de la teoría de cuerdas está expresada en el lenguaje de las superficies de Riemann , lo que da lugar a conexiones con las curvas elípticas , que a su vez se relacionan con las series q .

"Clásico"q-teoría

La teoría q clásica comienza con los análogos q de los números enteros no negativos. ^[2] La igualdad

${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n}$

sugiere que definamos el q -análogo de n , también conocido como el q -corchete o q -número de n , como

${\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\ldots +q^{n-1}.}$

Por sí misma, la elección de este q -análogo particular entre las muchas opciones posibles no está motivada. Sin embargo, aparece de forma natural en varios contextos. Por ejemplo, habiendo decidido utilizar [ n ] _q como el q -análogo de n , se puede definir el q -análogo del factorial , conocido como q -factorial , mediante

${\displaystyle {\begin{aligned}\,[n]_{q}!&=[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}\\[6pt]&={\frac {1-q}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}\\[6pt]&=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).\end{aligned}}}$

Este q -análogo aparece de forma natural en varios contextos. En particular, mientras n ! cuenta el número de permutaciones de longitud n , [ n ] _q ! cuenta las permutaciones mientras lleva un registro del número de inversiones . Es decir, si inv( w ) denota el número de inversiones de la permutación w y S _n denota el conjunto de permutaciones de longitud n , tenemos

${\displaystyle \sum _{w\in S_{n}}q^{{\text{inv}}(w)}=[n]_{q}!.}$

En particular, se recupera el factorial habitual tomando el límite como . ${\displaystyle q\rightarrow 1}$

El q -factorial también tiene una definición concisa en términos del símbolo q -Pochhammer , un componente básico de todas las q -teorías:

${\displaystyle [n]_{q}!={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.}$

A partir de los q -factoriales, se puede pasar a definir los q -coeficientes binomiales , también conocidos como coeficientes gaussianos, polinomios gaussianos o coeficientes binomiales gaussianos :

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}.}$

La función q -exponencial se define como:

${\displaystyle e_{q}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}.}$

En este contexto se han definido funciones q -trigonométricas, junto con una transformada q -de Fourier.

Combinacionalq-análogos

Los coeficientes gaussianos cuentan los subespacios de un espacio vectorial finito . Sea q el número de elementos de un cuerpo finito . (El número q es entonces una potencia de un número primo , q = p ^e , por lo que el uso de la letra q es especialmente apropiado). Entonces, el número de subespacios k -dimensionales del espacio vectorial n -dimensional sobre el cuerpo q -elemento es igual a

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}.}$

Si dejamos que q se acerque a 1, obtenemos el coeficiente binomial

${\displaystyle {\binom {n}{k}},}$

o en otras palabras, el número de subconjuntos de k elementos de un conjunto de n elementos.

Por lo tanto, se puede considerar un espacio vectorial finito como una generalización q de un conjunto, y los subespacios como la generalización q de los subconjuntos del conjunto. Como otro ejemplo, el número de banderas es importante, ya que el orden en el que construimos la bandera es importante, y después de tomar el límite obtenemos . Este ha sido un punto de vista fructífero para encontrar nuevos teoremas interesantes. Por ejemplo, existen q -análogos del teorema de Sperner ^[3] y la teoría de Ramsey . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle [n]_{q}!}$ ${\displaystyle n!}$

Tamizado cíclico

Sea q = ( e ^{2 π i / n} ) ^d la d -ésima potencia de una raíz primitiva n -ésima de la unidad. Sea C un grupo cíclico de orden n generado por un elemento c . Sea X el conjunto de subconjuntos de k elementos del conjunto de n elementos {1, 2, ..., n }. El grupo C tiene una acción canónica sobre X dada al enviar c a la permutación cíclica (1, 2, ..., n ). Entonces el número de puntos fijos de c ^d sobre X es igual a

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}.}$

q→ 1

Por el contrario, al dejar que q varíe y ver los q -análogos como deformaciones, se puede considerar el caso combinatorio de q  = 1 como un límite de los q -análogos cuando q  → 1 (a menudo no se puede simplemente dejar q  = 1 en las fórmulas, de ahí la necesidad de tomar un límite).

Esto se puede formalizar en el campo con un elemento , lo que recupera la combinatoria como álgebra lineal sobre el campo con un elemento: por ejemplo, los grupos de Weyl son grupos algebraicos simples sobre el campo con un elemento.

Aplicaciones en las ciencias físicas

Los análogos q se encuentran a menudo en soluciones exactas de problemas de muchos cuerpos. ^{[ cita requerida ]} En tales casos, el límite q → 1 generalmente corresponde a dinámicas relativamente simples, por ejemplo, sin interacciones no lineales, mientras que q < 1 brinda información sobre el complejo régimen no lineal con retroalimentaciones.

Un ejemplo de la física atómica es el modelo de creación de condensado molecular a partir de un gas atómico fermiónico ultrafrío durante un barrido de un campo magnético externo a través de la resonancia de Feshbach . ^[4] Este proceso se describe mediante un modelo con una versión q -deformada del álgebra SU(2) de operadores, y su solución se describe mediante distribuciones exponenciales y binomiales q -deformadas.

Véase también

• Lista de análogos q
• Número de Stirling
• Cuadro joven

Referencias

• Andrews, GE , Askey, RA y Roy, R. (1999), Funciones especiales , Cambridge University Press, Cambridge.
• Gasper, G. y Rahman, M. (2004), Series hipergeométricas básicas , Cambridge University Press, ISBN  0521833574 .
• Ismail, MEH (2005), Polinomios ortogonales clásicos y cuánticos en una variable , Cambridge University Press.
• Koekoek, R. y Swarttouw, RF (1998), El esquema Askey de polinomios ortogonales hipergeométricos y su análogo q , 98-17, Universidad Tecnológica de Delft, Facultad de Tecnología de la Información y Sistemas, Departamento de Matemáticas Técnicas e Informática.

1. Exton, H. (1983), Funciones hipergeométricas q y aplicaciones , Nueva York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914 , ISBN 0470274530 , ISBN 978-0470274538   
2. Ernst, Thomas (2003). "Un método para el cálculo q" (PDF) . Journal of Nonlinear Mathematical Physics . 10 (4): 487–525. Bibcode :2003JNMP...10..487E. doi : 10.2991/jnmp.2003.10.4.5 . Consultado el 27 de julio de 2011 .
3. Rota, Gian-Carlo ; Harper, LH (1971), "Teoría de emparejamiento, una introducción", Advances in Probability and Related Topics, vol. 1 , Nueva York: Dekker, págs. 169-215, MR  0282855.
4. C. Sun; NA Sinitsyn (2016). "Extensión Landau-Zener del modelo de Tavis-Cummings: Estructura de la solución". Phys. Rev. A . 94 (3): 033808. arXiv : 1606.08430 . Código Bibliográfico :2016PhRvA..94c3808S. doi :10.1103/PhysRevA.94.033808.

Enlaces externos

• "Cálculo umbral", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Análogo q de MathWorld
• corchete q de MathWorld
• factorial q de MathWorld
• coeficiente q-binomial de MathWorld