Número de Stirling

Secuencias importantes en combinatoria

En matemáticas , los números de Stirling surgen en una variedad de problemas analíticos y combinatorios . Su nombre se debe a James Stirling , quien los introdujo en un contexto puramente algebraico en su libro Methodus Differentialis (1730). ^[1] Fueron redescubiertos y se les dio un significado combinatorio por Masanobu Saka en 1782. ^[2]

Dos conjuntos diferentes de números llevan este nombre: los números de Stirling de primer tipo y los números de Stirling de segundo tipo . Además, a los números de Lah a veces se los denomina números de Stirling de tercer tipo. Cada tipo se detalla en su artículo respectivo, y este sirve como descripción de las relaciones entre ellos.

Una propiedad común de los tres tipos es que describen coeficientes que relacionan tres secuencias diferentes de polinomios que surgen con frecuencia en la combinatoria. Además, los tres pueden definirse como el número de particiones de n elementos en k subconjuntos no vacíos, donde cada subconjunto está dotado de un cierto tipo de orden (sin orden, cíclico o lineal).

Notación

Se utilizan varias notaciones diferentes para los números de Stirling. Los números de Stirling ordinarios (con signo) del primer tipo se denotan comúnmente:

${\displaystyle s(n,k)\,.}$

Los números de Stirling sin signo del primer tipo , que cuentan el número de permutaciones de n elementos con k ciclos disjuntos , se denotan:

${\displaystyle {\biggl [}{n \atop k}{\biggr ]}=c(n,k)=|s(n,k)|=(-1)^{n-k}s(n,k)\,}$

Números de Stirling del segundo tipo , que cuentan el número de formas de particionar un conjunto de n elementos en k subconjuntos no vacíos: ^[3]

${\displaystyle {\biggl \{}{\!n\! \atop \!k\!}{\biggr \}}=S(n,k)=S_{n}^{(k)}\,}$

Abramowitz y Stegun utilizan una letra mayúscula y una letra gótica , respectivamente, para el primer y segundo tipo de número de Stirling. La notación de corchetes y llaves, en analogía con los coeficientes binomiales , fue introducida en 1935 por Jovan Karamata y promovida más tarde por Donald Knuth , aunque la notación de corchetes entra en conflicto con una notación común para los coeficientes gaussianos . ^[4] La motivación matemática para este tipo de notación, así como fórmulas adicionales de números de Stirling, se pueden encontrar en la página de números de Stirling y funciones generadoras exponenciales . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$

Otra notación poco frecuente es y . ${\displaystyle s_{1}(n,k)}$ ${\displaystyle s_{2}(n,k)}$

Expansiones de factoriales ascendentes y descendentes

Los números de Stirling expresan coeficientes en expansiones de factoriales descendentes y ascendentes (también conocidos como símbolo de Pochhammer) como polinomios.

Es decir, el factorial descendente , definido como es un polinomio en x de grado n cuya expansión es ${\displaystyle \ (x)_{n}=x(x-1)\ \cdots (x-n+1)\ ,}$

${\displaystyle (x)_{n}\ =\ \sum _{k=0}^{n}\ s(n,k)\ x^{k}\ }$

con números de Stirling (con signo) del primer tipo como coeficientes.

Obsérvese que, por convención, dado que se trata de un producto vacío , también se utilizan a menudo las notaciones para el factorial descendente y para el factorial ascendente. ^[5] (De manera confusa, el símbolo Pochhammer que muchos usan para los factoriales descendentes se usa en funciones especiales para los factoriales ascendentes ). ${\displaystyle \ (x)_{0}\equiv 1\ ,}$ ${\displaystyle \ x^{\underline {n}}\ }$ ${\displaystyle \ x^{\overline {n}}\ }$

De manera similar, el factorial ascendente , definido como es un polinomio en x de grado n cuya expansión es ${\displaystyle \ x^{(n)}\ =\ x(x+1)\ \cdots (x+n-1)\ ,}$

${\displaystyle x^{(n)}\ =\ \sum _{k=0}^{n}\ {\biggl [}{n \atop k}{\biggr ]}\ x^{k}\ =\ \sum _{k=0}^{n}\ (-1)^{n-k}\ s(n,k)\ x^{k}\ ,}$

con números de Stirling sin signo de primera especie como coeficientes. Una de estas expansiones se puede derivar de la otra observando que ${\displaystyle \ x^{(n)}=(-1)^{n}(-x)_{n}~.}$

Los números de Stirling del segundo tipo expresan las relaciones inversas:

${\displaystyle \ x^{n}\ =\ \sum _{k=0}^{n}\ S(n,k)\ (x)_{k}\ }$

y

${\displaystyle \ x^{n}\ =\ \sum _{k=0}^{n}\ (-1)^{n-k}\ S(n,k)\ x^{(k)}~.}$

Como coeficientes de cambio de base

Considerando el conjunto de polinomios en la variable (indeterminada) x como un espacio vectorial, cada una de las tres secuencias

${\displaystyle x^{0},x^{1},x^{2},x^{3},\dots \quad (x)_{0},(x)_{1},(x)_{2},\dots \quad x^{(0)},x^{(1)},x^{(2)},\dots }$

es una base . Es decir, cada polinomio en x puede escribirse como una suma para algunos coeficientes únicos (de manera similar para las otras dos bases). Las relaciones anteriores expresan entonces el cambio de base entre ellas, como se resume en el siguiente diagrama conmutativo : ${\displaystyle a_{0}x^{(0)}+a_{1}x^{(1)}+\dots +a_{n}x^{(n)}}$ ${\displaystyle a_{i}}$

Un diagrama de cómo diferentes números de Stirling dan coeficientes para cambiar una base de polinomios a otra.

Los coeficientes de los dos cambios de base se describen mediante los números de Lah que aparecen a continuación. Dado que los coeficientes de cualquier base son únicos, se pueden definir los números de Stirling de esta manera, como los coeficientes que expresan polinomios de una base en términos de otra, es decir, los números únicos relacionados con los factoriales ascendentes y descendentes como se indicó anteriormente. ${\displaystyle x^{n}}$

Los factoriales descendentes definen, hasta el escalamiento, los mismos polinomios que los coeficientes binomiales : . Los cambios entre la base estándar y la base se describen, por tanto, mediante fórmulas similares: ${\textstyle {\binom {x}{k}}=(x)_{k}/k!}$ ${\displaystyle \textstyle x^{0},x^{1},x^{2},\dots }$ ${\textstyle {\binom {x}{0}},{\binom {x}{1}},{\binom {x}{2}},\dots }$

${\displaystyle x^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\biggl \{}{\!n\! \atop \!k\!}{\biggr \}}k!{\binom {x}{k}}\quad {\text{and}}\quad {\binom {x}{n}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {s(n,k)}{n!}}x^{k}}$.

Ejemplo

Expresar un polinomio en base a factoriales decrecientes es útil para calcular sumas del polinomio evaluado en números enteros consecutivos. De hecho, la suma de factoriales decrecientes con k fijo puede expresarse como otro factor decreciente (para ) ${\displaystyle k\neq -1}$

${\displaystyle \sum _{0\leq i<n}(i)_{k}={\frac {(n)_{k+1}}{k+1}}}$

Esto puede demostrarse por inducción .

Por ejemplo, la suma de cuartas potencias de números enteros hasta n (esta vez con n incluido), es:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n}i^{4}&=\sum _{i=0}^{n}\sum _{k=0}^{4}{\biggl \{}{\!4\! \atop \!k\!}{\biggr \}}(i)_{k}=\sum _{k=0}^{4}{\biggl \{}{\!4\! \atop \!k\!}{\biggr \}}\sum _{i=0}^{n}(i)_{k}=\sum _{k=0}^{4}{\biggl \{}{\!4\! \atop \!k\!}{\biggr \}}{\frac {(n{+}1)_{k+1}}{k{+}1}}\\[10mu]&={\biggl \{}{\!4\! \atop \!1\!}{\biggr \}}{\frac {(n{+}1)_{2}}{2}}+{\biggl \{}{\!4\! \atop \!2\!}{\biggr \}}{\frac {(n{+}1)_{3}}{3}}+{\biggl \{}{\!4\! \atop \!3\!}{\biggr \}}{\frac {(n{+}1)_{4}}{4}}+{\biggl \{}{\!4\! \atop \!4\!}{\biggr \}}{\frac {(n{+}1)_{5}}{5}}\\[8mu]&={\frac {1}{2}}(n{+}1)_{2}+{\frac {7}{3}}(n{+}1)_{3}+{\frac {6}{4}}(n{+}1)_{4}+{\frac {1}{5}}(n{+}1)_{5}\,.\end{aligned}}}$

Aquí los números de Stirling se pueden calcular a partir de su definición como el número de particiones de 4 elementos en k subconjuntos no vacíos y no etiquetados.

En cambio, la suma en la base estándar viene dada por la fórmula de Faulhaber , que en general es más complicada. ${\textstyle \sum _{i=0}^{n}i^{k}}$

Como matrices inversas

Los números de Stirling de primer y segundo tipo pueden considerarse inversos entre sí:

${\displaystyle \sum _{j=k}^{n}s(n,j)S(j,k)=\sum _{j=k}^{n}(-1)^{n-j}{\biggl [}{n \atop j}{\biggr ]}{\biggl \{}{\!j\! \atop \!k\!}{\biggr \}}=\delta _{n,k}}$

y

${\displaystyle \sum _{j=k}^{n}S(n,j)s(j,k)=\sum _{j=k}^{n}(-1)^{j-k}{\biggl \{}{\!n\! \atop \!j\!}{\biggr \}}{\biggl [}{j \atop k}{\biggr ]}=\delta _{n,k},}$

donde es la delta de Kronecker . Estas dos relaciones pueden entenderse como relaciones de matriz inversa. Es decir, sea s la matriz triangular inferior de números de Stirling de primera especie, cuyos elementos de matriz La inversa de esta matriz es S , la matriz triangular inferior de números de Stirling de segunda especie, cuyas entradas son Simbólicamente, esto se escribe ${\displaystyle \delta _{nk}}$ ${\displaystyle s_{nk}=s(n,k).\,}$ ${\displaystyle S_{nk}=S(n,k).}$

${\displaystyle s^{-1}=S\,}$

Aunque s y S son infinitos, por lo que calcular una entrada de producto implica una suma infinita, las multiplicaciones de matrices funcionan porque estas matrices son triangulares inferiores, por lo que solo un número finito de términos en la suma son distintos de cero.

Números de Lah

Los números de Lah a veces se denominan números de Stirling del tercer tipo. ^[6] Por convención, y si o . ${\displaystyle L(n,k)={n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}}$ ${\displaystyle L(0,0)=1}$ ${\displaystyle L(n,k)=0}$ ${\displaystyle n<k}$ ${\displaystyle k=0<n}$

Estos números son coeficientes que expresan factoriales descendentes en términos de factoriales ascendentes y viceversa:

${\displaystyle x^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(x)_{k}\quad }$y ${\displaystyle \quad (x)_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}L(n,k)x^{(k)}.}$

Como se indicó anteriormente, esto significa que expresan el cambio de base entre las bases y , completando el diagrama. En particular, una fórmula es la inversa de la otra, por lo tanto: ${\displaystyle (x)_{0},(x)_{1},(x)_{2},\cdots }$ ${\displaystyle x^{(0)},x^{(1)},x^{(2)},\cdots }$

${\displaystyle \sum _{j=k}^{n}(-1)^{j-k}L(n,j)L(j,k)=\delta _{n,k}.}$

De manera similar, al componer el cambio de base de a con el cambio de base de a se obtiene directamente el cambio de base de a : ${\displaystyle x^{(n)}}$ ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle (x)_{n}}$ ${\displaystyle x^{(n)}}$ ${\displaystyle (x)_{n}}$

${\displaystyle L(n,k)=\sum _{j=k}^{n}{\biggl [}{n \atop j}{\biggr ]}{\biggl \{}{\!j\! \atop \!k\!}{\biggr \}},}$

y de manera similar para otras composiciones. En términos de matrices, si denota la matriz con entradas y denota la matriz con entradas , entonces una es la inversa de la otra: . Al componer la matriz de números de Stirling sin signo de primera especie con la matriz de números de Stirling de segunda especie se obtienen los números de Lah: . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{nk}=L(n,k)}$ ${\displaystyle L^{-}}$ ${\displaystyle L_{nk}^{-}=(-1)^{n-k}L(n,k)}$ ${\displaystyle L^{-}=L^{-1}}$ ${\displaystyle L=|s|\cdot S}$

Enumerativamente , se puede definir como el número de particiones de n elementos en k subconjuntos no vacíos y sin etiquetar, donde cada subconjunto está dotado de ningún orden, un orden cíclico o un orden lineal, respectivamente. En particular, esto implica las desigualdades: ${\textstyle \left\{{\!n\! \atop \!k\!}\right\},\left[{n \atop k}\right],L(n,k)}$

${\displaystyle {\biggl \{}{\!n\! \atop \!k\!}{\biggr \}}\leq {\biggl [}{n \atop k}{\biggr ]}\leq L(n,k).}$

Relaciones de inversión y transformada de Stirling

Para cualquier par de secuencias, y , relacionadas por una suma finita, la fórmula del número de Stirling está dada por ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ ${\displaystyle \{g_{n}\}}$

${\displaystyle g_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}f_{k},}$

Para todos los números enteros , tenemos una fórmula de inversión correspondiente dada por ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle f_{n}}$

${\displaystyle f_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right](-1)^{n-k}g_{k}.}$

Los índices inferiores podrían ser cualquier número entero entre y . ${\textstyle 0}$ ${\textstyle n}$

Estas relaciones de inversión entre las dos secuencias se traducen en ecuaciones funcionales entre las funciones generadoras exponenciales de la secuencia dadas por la transformada de Stirling (función generadora) como

${\displaystyle {\widehat {G}}(z)={\widehat {F}}\left(e^{z}-1\right)}$

y

${\displaystyle {\widehat {F}}(z)={\widehat {G}}\left(\log(1+z)\right).}$

Para , los operadores diferenciales y están relacionados por las siguientes fórmulas para todos los números enteros : ^[7] ${\displaystyle D=d/dx}$ ${\displaystyle x^{n}D^{n}}$ ${\displaystyle (xD)^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(xD)^{n}&=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)x^{k}D^{k}\\x^{n}D^{n}&=\sum _{k=0}^{n}s(n,k)(xD)^{k}=(xD)_{n}=xD(xD-1)\ldots (xD-n+1)\end{aligned}}}$

Otro par de relaciones de " inversión " que involucran los números de Stirling relacionan las diferencias hacia adelante y las derivadas ordinarias de una función, , que es analítica para todas mediante las fórmulas ^[8] ${\displaystyle n^{th}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}f(x)=\sum _{n=k}^{\infty }{\frac {s(n,k)}{n!}}\Delta ^{n}f(x)}$

${\displaystyle {\frac {1}{k!}}\Delta ^{k}f(x)=\sum _{n=k}^{\infty }{\frac {S(n,k)}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x).}$

Propiedades similares

Consulte los artículos específicos para obtener más detalles.

Fórmulas simétricas

Abramowitz y Stegun dan las siguientes fórmulas simétricas que relacionan los números de Stirling de primer y segundo tipo. ^[9]

${\displaystyle \left[{n \atop k}\right]=\sum _{j=n}^{2n-k}(-1)^{j-k}{\binom {j-1}{k-1}}{\binom {2n-k}{j}}\left\{{j-k \atop j-n}\right\}}$

y

${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}=\sum _{j=n}^{2n-k}(-1)^{j-k}{\binom {j-1}{k-1}}{\binom {2n-k}{j}}\left[{j-k \atop j-n}\right]}$

Números de Stirling con valores integrales negativos

Los números de Stirling se pueden extender a valores enteros negativos, pero no todos los autores lo hacen de la misma manera. ^{[10] [11] [12]} Independientemente del enfoque adoptado, vale la pena señalar que los números de Stirling de primer y segundo tipo están conectados por las relaciones:

${\displaystyle {\biggl [}{n \atop k}{\biggr ]}={\biggl \{}{\!-k\! \atop \!-n\!}{\biggr \}}\quad {\text{and}}\quad {\biggl \{}{\!n\! \atop \!k\!}{\biggr \}}={\biggl [}{-k \atop -n}{\biggr ]}}$

Cuando n y k son números enteros no negativos, tenemos la siguiente tabla para : ${\displaystyle \left[{-n \atop -k}\right]}$

Donald Knuth ^[12] definió los números de Stirling más generales extendiendo una relación de recurrencia a todos los números enteros. En este enfoque, y son cero si n es negativo y k no es negativo, o si n no es negativo y k es negativo, y entonces tenemos, para cualquier número entero n y k , ${\textstyle \left[{n \atop k}\right]}$ ${\textstyle \left\{{\!n\! \atop \!k\!}\right\}}$

${\displaystyle {\biggl [}{n \atop k}{\biggr ]}={\biggl \{}{\!-k\! \atop \!-n\!}{\biggr \}}\quad {\text{and}}\quad {\biggl \{}{\!n\! \atop \!k\!}{\biggr \}}={\biggl [}{-k \atop -n}{\biggr ]}.}$

Por otra parte, para los números enteros positivos n y k , David Branson ^[11] definió y (pero no o ). En este enfoque, se tiene la siguiente extensión de la relación de recurrencia de los números de Stirling de primera especie: ${\textstyle \left[{-n \atop -k}\right]\!,}$ ${\textstyle \left\{{\!-n\! \atop \!-k\!}\right\}\!,}$ ${\textstyle \left[{-n \atop k}\right]\!,}$ ${\textstyle \left\{{\!-n\! \atop \!k\!}\right\}}$ ${\textstyle \left[{n \atop -k}\right]}$ ${\textstyle \left\{{\!n\! \atop \!-k\!}\right\}}$

${\displaystyle {\biggl [}{-n \atop k}{\biggr ]}={\frac {(-1)^{n+1}}{n!}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {(-1)^{i+1}}{i^{k}}}{\binom {n}{i}}}$,

Por ejemplo, Esto conduce a la siguiente tabla de valores de para la integral negativa n . ${\textstyle \left[{-5 \atop k}\right]={\frac {1}{120}}{\Bigl (}5-{\frac {10}{2^{k}}}+{\frac {10}{3^{k}}}-{\frac {5}{4^{k}}}+{\frac {1}{5^{k}}}{\Bigr )}.}$ ${\textstyle \left[{n \atop k}\right]}$

En este caso , donde es un número de Bell , por lo que se pueden definir los números de Bell negativos como . ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left[{-n \atop -k}\right]=B_{k}}$ ${\displaystyle B_{k}}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left[{-n \atop k}\right]=:B_{-k}}$

Por ejemplo, esto produce , generalmente . ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\left[{-n \atop 1}\right]=B_{-1}={\frac {1}{e}}\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{j\cdot j!}}={\frac {1}{e}}\int _{0}^{1}{\frac {e^{t}-1}{t}}dt=0.4848291\dots }$ ${\textstyle B_{-k}={\frac {1}{e}}\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{j^{k}j!}}}$

Véase también

• Polinomios de Bell
• Número catalán
• Ciclos y puntos fijos
• Símbolo del martillo perforador
• Sucesión polinómica
• Polinomios de Touchard
• Permutación de Stirling

Citas

1. Mansour y Schork 2015, pág. 5.
2. Mansour y Schork 2015, pág. 4.
3. Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) Matemáticas concretas , Addison-Wesley, Reading MA. ISBN  0-201-14236-8 , pág. 244.
4. Knuth, Donald E. (1992). "Dos notas sobre notación". American Mathematical Monthly . 99 (5): 403–422. doi :10.2307/2325085. JSTOR  2325085 – vía JSTOR.
5. Aigner, Martin (2007). "Sección 1.2 - Subconjuntos y coeficientes binomiales". Un curso de enumeración . Springer. pp. 561. ISBN. 978-3-540-39032-9.
6. Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Manual de teoría de números II. Editores académicos de Kluwer . pag. 464.ISBN​ 9781402025464.
7. Matemáticas Concretas de la sección 6. Nótese que esta fórmula implica inmediatamente la primera transformación de número de Stirling de orden positivo dada en el artículo principal sobre transformaciones de funciones generadoras .
8. Olver, Frank; Lozier, Daniel; Boisvert, Ronald; Clark, Charles (2010). "Manual de funciones matemáticas del NIST". Manual de funciones matemáticas del NIST .(Sección 26.8)
9. Goldberg, K.; Newman, M.; Haynsworth, E. (1972), "Números de Stirling de primera clase, números de Stirling de segunda clase", en Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (eds.), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, décima edición , Nueva York: Dover, págs. 824–825
10. Loeb, Daniel E. (1992) [Recibido el 3 de noviembre de 1989]. "Una generalización de los números de Stirling". Matemáticas discretas . 103 (3): 259–269. doi : 10.1016/0012-365X(92)90318-A .
11. Branson, David (agosto de 1994). "Una extensión de los números de Stirling" (PDF) . The Fibonacci Quarterly . Archivado (PDF) desde el original el 27 de agosto de 2011. Consultado el 6 de diciembre de 2017 .
12. DE Knuth, 1992.

Referencias

• Rosen, Kenneth H., ed. (2018), Manual de matemáticas discretas y combinatorias , CRC Press, ISBN 978-1-5848-8780-5
• Mansour, Toufik; Schork, Mathias (2015), Relaciones de conmutación, ordenamiento normal y números de Stirling , CRC Press, ISBN 978-1-4665-7989-7

Lectura adicional

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• Benjamin, Arthur T.; Preston, Gregory O.; Quinn, Jennifer J. (2002). "Un encuentro de Stirling con números armónicos" (PDF) . Revista de Matemáticas . 75 (2): 95–103. CiteSeerX  10.1.1.383.722 . doi :10.2307/3219141. JSTOR  3219141. Archivado (PDF) desde el original el 2020-09-10.
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• Comtet, Luis (1970). "Valeur de s(n, k)" . Analizar Combinatoire, Tomo Segundo (en francés): 51.
• Comtet, Louis (1974). Combinatoria avanzada: el arte de las expansiones finitas e infinitas. Dordrecht-Holland/Boston-EE. UU.: Reidel Publishing Company. ISBN 9789027703804.
• Hsien-Kuei Hwang (1995). "Expansiones asintóticas para los números de Stirling de primera especie". Journal of Combinatorial Theory, Serie A . 71 (2): 343–351. doi : 10.1016/0097-3165(95)90010-1 .
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• Miksa, Francis L. (enero de 1956). "Números de Stirling de primera clase: 27 hojas reproducidas de un manuscrito mecanografiado depositado en el Archivo UMT". Tablas matemáticas y otras ayudas para el cálculo: reseñas y descripciones de tablas y libros . 10 (53): 37–38. JSTOR  2002617.
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