q-exponencial

En matemáticas combinatorias , una q -exponencial es un q -análogo de la función exponencial , es decir, la función propia de una q -derivada. Hay muchas q -derivadas, por ejemplo, la q -derivada clásica , el operador de Askey-Wilson , etc. Por lo tanto, a diferencia de las exponenciales clásicas, las q -exponenciales no son únicas. Por ejemplo, es la q -exponencial correspondiente a la q -derivada clásica mientras que son funciones propias de los operadores de Askey-Wilson. ${\displaystyle e_{q}(z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{q}(z)}$

La q -exponencial también se conoce como dilogaritmo cuántico . ^{[1] [2]}

Definición

La función q -exponencial se define como ${\displaystyle e_{q}(z)}$

${\displaystyle e_{q}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{[n]_{q}!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}(1-q)^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}{\frac {(1-q)^{n}}{(1-q^{n})(1-q^{n-1})\cdots (1-q)}}}$

¿Dónde está el q -factorial y ${\displaystyle [n]!_{q}}$

${\displaystyle (q;q)_{n}=(1-q^{n})(1-q^{n-1})\cdots (1-q)}$

es el símbolo q -Pochhammer . Que éste es el análogo q de la exponencial se deduce de la propiedad

${\displaystyle \left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}e_{q}(z)=e_{q}(z)}$

donde la derivada de la izquierda es la derivada q . Lo anterior se verifica fácilmente considerando la derivada q del monomio

${\displaystyle \left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}=z^{n-1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=[n]_{q}z^{n-1}.}$

Aquí, está el corchete q . Para otras definiciones de la función exponencial q , véase Exton (1983), Ismail & Zhang (1994) y Cieśliński (2011). ${\displaystyle [n]_{q}}$

Propiedades

En realidad , la función es una función completa de . Porque , es regular en el disco . ${\displaystyle q>1}$ ${\displaystyle e_{q}(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle q<1}$ ${\displaystyle e_{q}(z)}$ ${\displaystyle |z|<1/(1-q)}$

Nótese la inversa, . ${\displaystyle ~e_{q}(z)~e_{1/q}(-z)=1}$

Fórmula de adición

El análogo de no se cumple para los números reales y . Sin embargo, si estos son operadores que satisfacen la relación de conmutación , entonces es cierto. ^[3] ${\displaystyle \exp(x)\exp(y)=\exp(x+y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle xy=qyx}$ ${\displaystyle e_{q}(x)e_{q}(y)=e_{q}(x+y)}$

Relaciones

Para , una función que está estrechamente relacionada es Es un caso especial de la serie hipergeométrica básica , ${\displaystyle -1<q<1}$ ${\displaystyle E_{q}(z).}$

${\displaystyle E_{q}(z)=\;_{1}\phi _{1}\left({\scriptstyle {0 \atop 0}}\,;\,z\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{\binom {n}{2}}(-z)^{n}}{(q;q)_{n}}}=\prod _{n=0}^{\infty }(1-q^{n}z)=(z;q)_{\infty }.}$

Claramente,

${\displaystyle \lim _{q\to 1}E_{q}\left(z(1-q)\right)=\lim _{q\to 1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{\binom {n}{2}}(1-q)^{n}}{(q;q)_{n}}}(-z)^{n}=e^{-z}.~}$

Relación con el dilogaritmo

${\displaystyle e_{q}(x)}$tiene la siguiente representación de producto infinito:

${\displaystyle e_{q}(x)=\left(\prod _{k=0}^{\infty }(1-q^{k}(1-q)x)\right)^{-1}.}$

Por otra parte, se sostiene. Cuando , ${\displaystyle \log(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}}$ ${\displaystyle |q|<1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\log e_{q}(x)&=-\sum _{k=0}^{\infty }\log(1-q^{k}(1-q)x)\\&=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(q^{k}(1-q)x)^{n}}{n}}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {((1-q)x)^{n}}{(1-q^{n})n}}\\&={\frac {1}{1-q}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {((1-q)x)^{n}}{[n]_{q}n}}\end{aligned}}.}$

Al tomar el límite , ${\displaystyle q\to 1}$

${\displaystyle \lim _{q\to 1}(1-q)\log e_{q}(x/(1-q))=\mathrm {Li} _{2}(x),}$

¿Dónde está el dilogaritmo ? ${\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(x)}$

Referencias

1. Zudilin, Wadim (14 de marzo de 2006). «Dilogaritmo cuántico» (PDF) . wain.mi.ras.ru . Consultado el 16 de julio de 2021 .
2. Faddeev, Ld; Kashaev, Rm (20 de febrero de 1994). "Dilogaritmo cuántico". Modern Physics Letters A . 09 (5): 427–434. arXiv : hep-th/9310070 . Código Bibliográfico :1994MPLA....9..427F. doi :10.1142/S0217732394000447. ISSN  0217-7323. S2CID  119124642.
3. Kac, V.; Cheung, P. (2011). Cálculo cuántico . Springer. pág. 31. ISBN 978-1461300724.

• Cieśliński, Jan L. (2011). "Funciones q-exponenciales y q-trigonométricas mejoradas". Applied Mathematics Letters . 24 (12): 2110–2114. arXiv : 1006.5652 . doi : 10.1016/j.aml.2011.06.009 . S2CID  205496812.
• Exton, Harold (1983). Funciones q-hipergeométricas y aplicaciones . Nueva York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood. ISBN 0853124914.
• Gasper, George ; Rahman, Mizan Rahman (2004). Series hipergeométricas básicas . Cambridge University Press. ISBN 0521833574.
• Ismail, Mourad EH (2005). Polinomios ortogonales clásicos y cuánticos en una variable . Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9781107325982. ISBN 9780521782012.
• Ismail, Mourad EH ; Zhang, Ruiming (1994). "Diagonalización de ciertos operadores integrales". Avances en Matemáticas . 108 (1): 1–33. doi : 10.1006/aima.1994.1077 .
• Ismail, Mourad EH ; Rahman, Mizan ; Zhang, Ruiming (1996). "Diagonalización de ciertos operadores integrales II". Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 68 (1–2): 163–196. CiteSeerX  10.1.1.234.4251 . doi : 10.1016/0377-0427(95)00263-4 .
• Jackson, FH (1909). "Sobre funciones q y un cierto operador diferencial". Transactions of the Royal Society of Edinburgh . 46 (2): 253–281. doi :10.1017/S0080456800002751. S2CID  123927312.