En la teoría cuántica de campos , la expansión del producto del operador ( OPE ) se utiliza como axioma para definir el producto de campos como una suma de los mismos campos. Como axioma, ofrece un enfoque no perturbativo a la teoría cuántica de campos. Un ejemplo es el álgebra del operador de vértice , que se ha utilizado para construir teorías de campos conformes bidimensionales . Sigue siendo una cuestión de investigación abierta si este resultado puede extenderse a QFT en general, resolviendo así muchas de las dificultades de un enfoque perturbativo.
En cálculos prácticos, como los necesarios para dispersar amplitudes en varios experimentos de colisionadores, la expansión del producto del operador se utiliza en las reglas de suma QCD para combinar resultados de cálculos perturbativos y no perturbativos (condensado).
En la teoría de campos euclidianos 2D, la expansión del producto del operador es una expansión en serie de Laurent asociada con dos operadores. Una serie de Laurent es una generalización de la serie de Taylor en el sentido de que un número finito de potencias de la inversa de las variables de expansión se agregan a la serie de Taylor: se agregan polos de orden finito a la serie.
Heurísticamente, en la teoría cuántica de campos uno está interesado en el resultado de los observables físicos representados por operadores . Si uno quiere saber el resultado de hacer dos observaciones físicas en dos puntos y , puede ordenar estos operadores en tiempo creciente.
Si uno asigna las coordenadas de manera conforme, a menudo está interesado en el orden radial. Este es el análogo del ordenamiento temporal en el que el tiempo creciente se ha asignado a algún radio creciente en el plano complejo. También estamos interesados en el orden normal de los operadores de creación.
Una OPE de orden radial se puede escribir como una OPE de orden normal menos los términos de orden no normal. Los términos de orden no normal a menudo se pueden escribir como un conmutador y tienen identidades simplificadoras útiles. El ordenamiento radial proporciona la convergencia de la expansión.
El resultado es una expansión convergente del producto de dos operadores en términos de algunos términos que tienen polos en el plano complejo (los términos de Laurent) y términos que son finitos. Este resultado representa la expansión de dos operadores en dos puntos diferentes como una expansión alrededor de un solo punto, donde los polos representan dónde los dos puntos diferentes son el mismo punto, por ejemplo.
Relacionado con esto está el hecho de que un operador en el plano complejo en general se escribe como una función de y . Estas se conocen como partes holomorfas y antiholomórficas respectivamente, ya que son continuas y diferenciables excepto en las (número finito de) singularidades. Realmente deberíamos llamarlos meromorfos , pero holomorfos es el lenguaje común. En general, la expansión del producto del operador no puede separarse en partes holomorfas y antiholomórficas, especialmente si hay términos en la expansión. Sin embargo, los derivados de la OPE a menudo pueden separar la expansión en expansiones holomorfas y antiholomórficas. Esta expresión también es OPE y en general es más útil.
En el caso genérico, se le proporciona un conjunto de campos (u operadores) que se supone que están valorados según alguna álgebra . Por ejemplo, fijando x , se puede considerar que abarca algo de álgebra de Lie . Al dejar x libre para vivir en una variedad, el producto operador es entonces simplemente algún elemento en el anillo de funciones . En general, estos anillos no poseen suficiente estructura para hacer declaraciones significativas; por tanto, se consideran axiomas adicionales para fortalecer el sistema.
El álgebra del producto del operador es un álgebra asociativa de la forma
Se requiere que las constantes de estructura sean funciones de un solo valor, en lugar de secciones de algún paquete de vectores . Además, los campos deben abarcar el anillo de funciones. En cálculos prácticos, normalmente se requiere que las sumas sean analíticas dentro de algún radio de convergencia ; típicamente con un radio de convergencia de . Por tanto, el anillo de funciones puede considerarse como el anillo de funciones polinómicas .
Lo anterior puede verse como un requisito que se impone a un conjunto de funciones; imponer este requisito a los campos de una teoría de campos conforme se conoce como bootstrap conforme .
Un ejemplo de álgebra de operador-producto es el álgebra de operador de vértice . Actualmente se espera que las álgebras de productos de operadores puedan usarse para axiomatizar toda la teoría cuántica de campos; lo han hecho con éxito para las teorías de campos conformes, y si pueden usarse como base para QFT no perturbativa es un área de investigación abierta.
En la teoría cuántica de campos , la expansión del producto del operador ( OPE ) es una expansión convergente del producto de dos campos en diferentes puntos como una suma (posiblemente infinita) de campos locales.
Más precisamente, si es un punto y y son campos valorados por el operador, entonces existe una vecindad abierta de tal que para todos
donde la suma abarca un número finito o contable de términos, son campos valorados por operadores, son funciones analíticas y la suma es convergente en la topología del operador dentro .
Los OPE se utilizan con mayor frecuencia en la teoría de campos conforme .
La notación se utiliza a menudo para indicar que la diferencia G(x,y)-F(x,y) permanece analítica en los puntos x=y. Esta es una relación de equivalencia .
