Topologías de progresión aritmética

En topología general y teoría de números , ramas de las matemáticas , se pueden definir varias topologías sobre el conjunto de los números enteros o el conjunto de los números enteros positivos tomando como base una colección adecuada de progresiones aritméticas , secuencias de la forma o Los conjuntos abiertos serán entonces uniones de progresiones aritméticas en la colección. Tres ejemplos son la topología de Furstenberg sobre , y la topología de Golomb y la topología de Kirch sobre . A continuación se dan definiciones precisas. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{>0}}$ ${\displaystyle \{b,b+a,b+2a,...\}}$ ${\displaystyle \{...,b-2a,b-a,b,b+a,b+2a,...\}.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{>0}}$

Hillel Furstenberg ^[1] introdujo la primera topología para proporcionar una prueba "topológica" de la infinitud del conjunto de primos . La segunda topología fue estudiada por Solomon Golomb ^[2] y proporciona un ejemplo de un espacio de Hausdorff numerablemente infinito que es conexo . La tercera topología, introducida por AM Kirch, ^[3] es un ejemplo de un espacio de Hausdorff numerablemente infinito que es tanto conexo como localmente conexo . Estas topologías también tienen interesantes propiedades de separación y homogeneidad .

La noción de una topología de progresión aritmética puede generalizarse a dominios de Dedekind arbitrarios .

Construcción

Las progresiones aritméticas bilaterales son subconjuntos de la forma ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle a\mathbb {Z} +b:=\{an+b:n\in \mathbb {Z} \},}$

donde y La intersección de dos de estas progresiones aritméticas está vacía o es otra progresión aritmética de la misma forma: ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle a>0.}$

${\displaystyle (a\mathbb {Z} +b)\cap (c\mathbb {Z} +b)=\operatorname {lcm} (a,c)\mathbb {Z} +b,}$

¿Dónde está el mínimo común múltiplo de y ^[4]? ${\displaystyle \operatorname {lcm} (a,c)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c.}$

De manera similar, las progresiones aritméticas unilaterales son subconjuntos de la forma ${\displaystyle \mathbb {Z} _{>0}=\{1,2,...\}}$

${\displaystyle a\mathbb {N} +b:=\{an+b:n\in \mathbb {N} \}=\{b,a+b,2a+b,...\},}$

con y . La intersección de dos de estas progresiones aritméticas está vacía o es otra progresión aritmética de la misma forma: ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,...\}}$ ${\displaystyle a,b>0}$

${\displaystyle (a\mathbb {N} +b)\cap (c\mathbb {N} +d)=\operatorname {lcm} (a,c)\mathbb {N} +q,}$

con igual al elemento más pequeño en la intersección. ${\displaystyle q}$

Esto demuestra que cada intersección no vacía de un número finito de progresiones aritméticas es a su vez una progresión aritmética. Se puede entonces definir una topología en o eligiendo una colección de progresiones aritméticas, declarando todos los elementos de como conjuntos abiertos y tomando la topología generada por ellos. Si cualquier intersección no vacía de dos elementos de es a su vez un elemento de , la colección será una base para la topología. En general, será una subbase para la topología, y el conjunto de todas las progresiones aritméticas que sean intersecciones finitas no vacías de elementos de será una base para la topología. A continuación se presentan tres casos especiales. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{>0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

La topología de Furstenberg , ^[1] o topología de enteros uniformemente espaciados , ^[5] sobre el conjunto de números enteros se obtiene tomando como base la colección de todos los números con y ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle a\mathbb {Z} +b}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle a>0.}$

La topología de Golomb , ^[2] o topología de números enteros relativamente primos , ^[6] sobre el conjunto de los números enteros positivos se obtiene tomando como base la colección de todos los números enteros con y y relativamente primos . ^[2] De manera equivalente, ^[7] la subcolección de tales conjuntos con la condición extra también forma una base para la topología. ^{[6] El} espacio topológico correspondiente se llama espacio de Golomb . ^[8] ${\displaystyle \mathbb {Z} _{>0}}$ ${\displaystyle a\mathbb {N} +b}$ ${\displaystyle a,b>0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b<a}$

La topología de Kirch , ^[3] o topología de enteros primos , ^[9] sobre el conjunto de los enteros positivos se obtiene tomando como subbase la colección de todos los enteros con y primos no divisores ^[10] De manera equivalente, ^[7] se puede tomar como subbase la colección de todos los enteros con primos y . ^{[3] [9]} Una base para la topología consiste en todos los enteros con primos relativos y libres de cuadrados (o lo mismo con la condición adicional ). El espacio topológico correspondiente se llama espacio de Kirch . ^[10] ${\displaystyle \mathbb {Z} _{>0}}$ ${\displaystyle p\mathbb {N} +b}$ ${\displaystyle b>0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle b.}$ ${\displaystyle p\mathbb {N} +b}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 0<b<p}$ ${\displaystyle a\mathbb {N} +b}$ ${\displaystyle a,b>0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b<a}$

Las tres topologías están relacionadas en el sentido de que todo conjunto abierto en la topología de Kirch es abierto en la topología de Golomb, y todo conjunto abierto en la topología de Golomb es abierto en la topología de Furstenberg (restringido al subespacio ). En el conjunto , la topología de Kirch es más burda que la topología de Golomb, que a su vez es más burda que la topología de Furstenberg. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{>0}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{>0}}$

Propiedades

La topología de Golomb y la topología de Kirch son de Hausdorff , pero no regulares . ^{[6] [9]}

La topología de Furstenberg es de Hausdorff y regular. ^[5] Es metrizable , pero no completamente metrizable . ^{[5] [11]} De hecho, es homeomorfa a los números racionales con la topología del subespacio heredada de la línea real . ^[12] Broughan ^[12] ha demostrado que la topología de Furstenberg está estrechamente relacionada con la completitud p -ádica de los números racionales. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

En cuanto a las propiedades de conectividad, la topología de Furstenberg está totalmente desconectada . ^[5] La topología de Golomb está conectada , ^{[6] [2] [13]} pero no localmente conectada . ^{[6] [13] [14]} La topología de Kirch está conectada y localmente conectada. ^{[9] [3] [13]}

Los números enteros con la topología de Furstenberg forman un espacio homogéneo , porque es un anillo topológico —en cierto sentido, la única topología para la que es un anillo. ^[15] Por el contrario, el espacio de Golomb y el espacio de Kirch son topológicamente rígidos —el único autohomeomorfismo es el trivial. ^{[8] [10]} ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Relación con la infinitud de los primos

Tanto la topología de Furstenberg como la de Golomb proporcionan una prueba de que hay infinitos números primos . ^{[1] [2]} Un bosquejo de la prueba es el siguiente:

1. Fijemos un número primo p y observemos que los números enteros (positivos, en el caso del espacio de Golomb) son una unión de un número finito de clases de residuos módulo p . Cada clase de residuo es una progresión aritmética y, por lo tanto, clopen .
2. Consideremos los múltiplos de cada primo. Estos múltiplos son una clase de residuo (por lo tanto, cerrada), y la unión de estos conjuntos son todos los enteros (de Golomb: positivos) excepto las unidades ±1 .
3. Si hay un número finito de primos, esa unión es un conjunto cerrado y, por lo tanto, su complemento ( {±1 }) es abierto.
4. Pero todo conjunto abierto no vacío es infinito, por lo que {±1 } no es abierto.

Generalizaciones

La topología de Furstenberg es un caso especial de la topología profinita en un grupo. En detalle, es la topología inducida por la inclusión , donde es el anillo entero profinito con su topología profinita. ${\displaystyle \mathbb {Z} \subset {\hat {\mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$

La noción de progresión aritmética tiene sentido en módulos arbitrarios , pero la construcción de una topología sobre ellos se basa en el cierre bajo intersección. En cambio, la generalización correcta construye una topología a partir de ideales de un dominio de Dedekind . ^[16] Este procedimiento produce una gran cantidad de conjuntos conexos de Hausdorff, numerables e infinitos, pero si diferentes dominios de Dedekind pueden producir espacios topológicos homeomorfos es un tema de investigación actual. ^{[16] [17] [18]} ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Notas

1. Fürstenberg 1955.
2. Golomb, Solomon W. (1959). "Una topología conectada para los números enteros". The American Mathematical Monthly . 66 (8): 663–665. doi :10.2307/2309340. ISSN  0002-9890. JSTOR  2309340.
3. Kirch, AM (febrero de 1969). "Un espacio de Hausdorff contable, conectado y localmente conectado". The American Mathematical Monthly . 76 (2): 169–171. doi :10.1080/00029890.1969.12000163. ISSN  0002-9890.
4. Steen & Seebach, pág. 82, contraejemplo nº 60, ítem 1
5. Steen & Seebach, págs. 80-81, contraejemplo n.° 58
6. Steen & Seebach, págs. 82-84, contraejemplo n.° 60
7. "La topología de Kirch es la misma que la topología de números enteros primos".
8. Banakh, Taras; Spirito, Darío; Turek, Sławomir (28 de octubre de 2021). "El espacio de Golomb es topológicamente rígido". Comentarios Mathematicae Universitatis Carolinae . 62 (3): 347–360. arXiv : 1912.01994 . doi :10.14712/1213-7243.2021.023. ISSN  0010-2628. S2CID  240183836.
9. Steen & Seebach, págs. 82-84, contraejemplo n.° 61
10. Banakh, Taras; Stelmakh, Yaryna; Turek, Sławomir (1 de diciembre de 2021). "El espacio de Kirch es topológicamente rígido". Topología y sus aplicaciones . 304 : 107782. arXiv : 2006.12357 . doi :10.1016/j.topol.2021.107782. S2CID  219966624.
11. Lovas, R.; Mező, I. (2015). "Algunas observaciones sobre el espacio topológico de Furstenberg". Elemente der Mathematik . 70 (3): 103–116. doi :10.4171/EM/283. S2CID  126337479.
12. Broughan, Kevin A. (agosto de 2003). "Topologías ádicas para enteros racionales". Revista Canadiense de Matemáticas . 55 (4): 711–723. doi : 10.4153/CJM-2003-030-3 . ISSN  0008-414X. S2CID  121286344.
13. Szczuka, Paulina (1 de octubre de 2010). "La conectividad de las progresiones aritméticas en las topologías de Furstenberg, Golomb y Kirch". Demostración Matemática . 43 (4): 899–910. doi : 10.1515/dema-2010-0416 . ISSN  2391-4661. S2CID  122415499.
14. Kirch 1969, Teorema 1
15. Broughan 2003, Teorema 2.1
16. Clark, Pete L.; Lebowitz-Lockard, Noah; Pollack, Paul (23 de febrero de 2018). "Una nota sobre las topologías de Golomb". Cuestiones Mathematicae . 42 (1): 73–86. doi :10.2989/16073606.2018.1438533. ISSN  1607-3606. S2CID  126371036.
17. Spirito, Dario (24 de junio de 2019). "La topología de Golomb en un dominio de Dedekind y el grupo de unidades de sus cocientes". arXiv : 1906.09922 [math.GN].
18. Spirito, Dario (6 de noviembre de 2019). "La topología de Golomb de anillos polinómicos". arXiv : 1911.02328 [math.GN].

Referencias

• Furstenberg, Harry (1955), "Sobre la infinitud de los números primos", American Mathematical Monthly , 62 (5), Mathematical Association of America: 353, doi :10.2307/2307043, JSTOR  2307043, MR  0068566.
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de la edición de 1978). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3.Sr. 0507446  .