Distribución (geometría diferencial)

En geometría diferencial , una disciplina dentro de las matemáticas , una distribución en una variedad es una asignación de subespacios vectoriales que satisfacen ciertas propiedades. En las situaciones más comunes, se pide que una distribución sea un subconjunto vectorial del conjunto tangente . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\mapsto \Delta _{x}\subseteq T_{x}M}$ ${\displaystyle TM}$

Las distribuciones que satisfacen una condición de integrabilidad adicional dan lugar a foliaciones , es decir, particiones de la variedad en subvariedades más pequeñas. Estas nociones tienen varias aplicaciones en muchos campos de las matemáticas, por ejemplo, sistemas integrables , geometría de Poisson , geometría no conmutativa , geometría subriemanniana , topología diferencial , etc.

Aunque comparten el mismo nombre, las distribuciones presentadas en este artículo no tienen nada que ver con las distribuciones en el sentido de análisis.

Definición

Sea una variedad suave; una distribución (suave) asigna a cualquier punto un subespacio vectorial de forma suave. Más precisamente, consiste en una colección de subespacios vectoriales con la siguiente propiedad. Alrededor de cualquiera existe una vecindad y una colección de campos vectoriales tales que, para cualquier punto , abarca ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \Delta _{x}\subset T_{x}M}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \{\Delta _{x}\subset T_{x}M\}_{x\in M}}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle N_{x}\subset M}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}$ ${\displaystyle y\in N_{x}}$ ${\displaystyle \{X_{1}(y),\ldots ,X_{k}(y)\}=\Delta _{y}.}$

El conjunto de campos vectoriales suaves también se denomina base local de . Tenga en cuenta que el número puede ser diferente para diferentes vecindarios. La notación se utiliza para indicar tanto la asignación como el subconjunto . ${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{k}\}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle x\mapsto \Delta _{x}}$ ${\displaystyle \Delta =\amalg _{x\in M}\Delta _{x}\subseteq TM}$

Distribuciones regulares

Dado un número entero , una distribución suave se llama regular de rango si todos los subespacios tienen la misma dimensión. A nivel local, esto equivale a pedir que cada base local esté dada por campos vectoriales linealmente independientes . ${\displaystyle n\leq m=\mathrm {dim} (M)}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta _{x}\subset T_{x}M}$ ${\displaystyle n}$

De manera más compacta, una distribución regular es un subconjunto vectorial de rango (esta es en realidad la definición más utilizada). Una distribución de rango a veces se denomina distribución de plano, y cuando se habla de distribuciones de hiperplano . ${\displaystyle \Delta \subset TM}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=m-1}$

Clases especiales de distribuciones.

A menos que se indique lo contrario, por "distribución" nos referimos a una distribución regular y fluida (en el sentido explicado anteriormente).

Distribuciones involutivas

Dada una distribución , sus secciones constan de los campos vectoriales que son tangentes a y forman un subespacio vectorial del espacio de todos los campos vectoriales en . Una distribución se llama involutiva si también es una subálgebra de Lie : en otras palabras, para dos campos vectoriales cualesquiera , el corchete de Lie pertenece . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta \subset TM}$ ${\displaystyle \Gamma (\Delta )\subseteq \Gamma (TM)={\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Gamma (\Delta )\subseteq {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle X,Y\in \Gamma (\Delta )\subseteq {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle \Gamma (\Delta )\subseteq {\mathfrak {X}}(M)}$

Localmente, esta condición significa que para cada punto existe una base local de la distribución en una vecindad de tal que, para todos , el corchete de Lie está en el intervalo de , es decir, es una combinación lineal de ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$ ${\displaystyle [X_{i},X_{j}]}$ ${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$ ${\displaystyle [X_{i},X_{j}]}$ ${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}.}$

Las distribuciones involutivas son un ingrediente fundamental en el estudio de sistemas integrables . Una idea relacionada ocurre en la mecánica hamiltoniana : se dice que dos funciones y en una variedad simpléctica están en involución mutua si su corchete de Poisson desaparece. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Distribuciones y foliaciones integrables.

Una variedad integral para una distribución de rango es una subvariedad de dimensión tal que para cada . Una distribución se llama integrable si por algún punto pasa una variedad integral. Los espacios de base del paquete son, por tanto, variedades integrales disjuntas, máximas y conectadas , también llamadas hojas ; es decir, define una foliación n-dimensional de . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle N\subset M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T_{x}N=\Delta _{x}}$ ${\displaystyle x\in N}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \Delta \subset TM}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle M}$

A nivel local, la integrabilidad significa que para cada punto existe un gráfico local tal que, para cada , el espacio está abarcado por los vectores de coordenadas . Es decir, cada punto admite una tabla de foliación, es decir, la distribución es tangente a las hojas de una foliación. Además, esta caracterización local coincide con la definición de integrabilidad para a -estructuras , cuando es el grupo de matrices de bloques triangulares superiores reales invertibles (con y -bloques). ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle (U,\{\chi _{1},\ldots ,\chi _{n}\})}$ ${\displaystyle y\in U}$ ${\displaystyle \Delta _{y}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \chi _{1}}}(y),\ldots ,{\frac {\partial }{\partial \chi _{n}}}(y)}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (n\times n)}$ ${\displaystyle (m-n,m-n)}$

Es fácil ver que cualquier distribución integrable es automáticamente involutiva. Lo contrario es menos trivial pero se cumple según el teorema de Frobenius .

Distribuciones débilmente regulares

Dada cualquier distribución , considere su indicador de mentira asociado (tenga en cuenta que algunos autores utilizan una calificación decreciente negativa en su lugar) ${\displaystyle \Delta \subseteq TM}$

${\displaystyle \Delta ^{(0)}\subseteq \Delta ^{(1)}\subseteq \ldots \subseteq \Delta ^{(i)}\subseteq \Delta ^{(i+1)}\subseteq \ldots }$

dónde y .​ En otras palabras, denota el conjunto de campos vectoriales abarcados por los corchetes de Lie iterados de elementos en . ${\displaystyle \Delta ^{(0)}:=\Gamma (\Delta )}$ ${\displaystyle \Delta ^{(1)}:=\langle [\Delta ^{(0)},\Delta ^{(0)}]\rangle _{{\mathcal {C}}^{\infty }(M)}}$ ${\displaystyle \Delta ^{(i+1)}:=\langle [\Delta ^{(i)},\Delta ^{(0)}]\rangle _{{\mathcal {C}}^{\infty }(M)}}$ ${\displaystyle \Delta ^{(i)}\subseteq {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Gamma (\Delta )}$

Then se llama débilmente regular (o simplemente regular por algunos autores) si existe una secuencia de subconjuntos de vectores anidados tales que (por lo tanto ). ^[1] Tenga en cuenta que, en tal caso, la bandera de Mentira asociada se estabiliza en un cierto punto , ya que los rangos de están delimitados desde arriba por . La cadena de números enteros se denomina vector de crecimiento de . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \{T^{i}M\subseteq TM\}_{i}}$ ${\displaystyle \Gamma (T^{i}M)=\Delta ^{(i)}}$ ${\displaystyle T^{0}M=\Delta }$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle T^{i}M}$ ${\displaystyle \mathrm {rank} (TM)=\mathrm {dim} (M)}$ ${\displaystyle (\mathrm {rank} (\Delta ^{(0)}),\mathrm {rank} (\Delta ^{(1)}),\ldots ,\mathrm {rank} (\Delta ^{(m)}))}$ ${\displaystyle \Delta }$

Cualquier distribución débilmente regular tiene un paquete de vectores graduados asociado.

$${\displaystyle \mathrm {gr} (TM):=T^{0}M\oplus {\Big (}\bigoplus _{i=0}^{m-1}T^{i+1}M/T^{i}M{\Big )}\oplus TM/T^{m}M.}$$

curvatura ${\displaystyle i,j=0,\ldots ,m}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle \mathrm {gr} _{i}(TM)\times \mathrm {gr} _{j}(TM)\to \mathrm {gr} _{i+j+1}(TM)}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle (0,0)}$

Al unir las curvaturas, se obtiene un morfismo , también llamado corchete de Levi , que forma un conjunto de álgebras de Lie nilpotentes; por esta razón, también se le llama nilpotenciación de . ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {L}}:\mathrm {gr} (TM)\times \mathrm {gr} (TM)\to \mathrm {gr} (TM)}$ ${\displaystyle \mathrm {gr} (TM)}$ ${\displaystyle (\mathrm {gr} (TM),{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \Delta }$

El paquete , sin embargo, en general no es localmente trivial, ya que las álgebras de Lie no son isomorfas al variar el punto . Si esto sucede, la distribución débilmente regular también se denomina regular (o fuertemente regular por algunos autores). Tenga en cuenta que los nombres (fuerte, débilmente) regulares utilizados aquí no tienen ninguna relación con la noción de regularidad discutida anteriormente (que siempre se supone), es decir, que la dimensión de los espacios es constante. ${\displaystyle \mathrm {gr} (TM)\to M}$ ${\displaystyle \mathrm {gr} _{i}(T_{x}M):=T_{x}^{i}M/T_{x}^{i+1}M}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta _{x}}$

Distribuciones generadoras de corchetes

Una distribución se llama generadora de corchetes (o no holonómica , o se dice que satisface la condición de Hörmander ) si tomar un número finito de corchetes de elementos de Lie en es suficiente para generar todo el espacio de campos vectoriales en . Con la notación introducida anteriormente, dicha condición se puede escribir como cierta ; entonces se dice también que genera corchetes en pasos , o que tiene profundidad . ${\displaystyle \Delta \subseteq TM}$ ${\displaystyle \Gamma (\Delta )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Delta ^{(m)}={\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle m+1}$

Claramente, la bandera de Lie asociada de una distribución que genera corchetes se estabiliza en el punto . Aunque ser débilmente regular y generar corchetes son dos propiedades independientes (ver los ejemplos a continuación), cuando una distribución satisface ambas, el número entero de las dos definiciones es, por supuesto, el mismo. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

Gracias al teorema de Chow-Rashevskii , dada una distribución que genera corchetes en una variedad conectada, dos puntos cualesquiera pueden unirse mediante una trayectoria tangente a la distribución. ^{[2] [3]} ${\displaystyle \Delta \subseteq TM}$ ${\displaystyle M}$

Ejemplos de distribuciones regulares

Los integrables

• Cualquier campo vectorial define una distribución de rango 1, configurando , que es automáticamente integrable: la imagen de cualquier curva integral es una variedad integral. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Delta _{x}:=\langle X_{x}\rangle \subseteq T_{x}M}$ ${\displaystyle \gamma :I\to M}$
• La distribución trivial de rango en es generada por los primeros campos vectoriales de coordenadas . Es automáticamente integrable y las variedades integrales están definidas por las ecuaciones , para cualquier constante . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}}$ ${\displaystyle \{x_{i}=c_{i}\}_{i=k+1,\ldots ,n}}$ ${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} }$
• En general, cualquier distribución involutiva/integrable es débilmente regular (con for each ), pero nunca genera corchetes. ${\displaystyle \Delta ^{(i)}=\Gamma (\Delta )}$ ${\displaystyle i}$

Los no integrables

• La distribución de Martinet está dada por , para ; de manera equivalente, es generado por los campos vectoriales y . Genera corchetes desde , pero no es débilmente regular: tiene rango 3 en todas partes excepto en la superficie . ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \Delta =\ker(\omega )\subseteq TM}$ ${\displaystyle \omega =dy-z^{2}dx\in \Omega ^{1}(M)}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}+z^{2}{\frac {\partial }{\partial y}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}}$ ${\displaystyle \Delta ^{(2)}={\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle \Delta ^{(1)}}$ ${\displaystyle z=0}$
• La distribución de contactos está dada por , para ; de manera equivalente, es generado por los campos vectoriales y , para . Es débilmente regular, con vector de crecimiento y generación de corchetes, con . También se pueden definir estructuras de contacto abstractas en una variedad como una distribución de hiperplano que es máximamente no integrable, es decir, está lo más lejos posible de ser involutiva. Un análogo del teorema de Darboux muestra que dicha estructura tiene el modelo local único descrito anteriormente. ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{2n+1}}$ ${\displaystyle \Delta =\ker(\omega )\subseteq TM}$ ${\displaystyle \omega =dz+\sum _{i=1}^{n}x_{i}dy_{i}\in \Omega ^{1}(M)}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y_{i}}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}+y_{i}{\frac {\partial }{\partial z}}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle (2n,2n+1)}$ ${\displaystyle \Delta ^{(1)}={\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle M^{2n+1}}$
• La distribución de Engel está dada por , para y ; de manera equivalente, es generado por los campos vectoriales y . Es débilmente regular, con vector de crecimiento y generación de corchetes. También se puede definir una estructura abstracta de Engel en una variedad como una distribución de rango 2 débilmente regular tal que tiene rango 3 y rango 4; Engel demostró que dicha estructura tiene el modelo local único descrito anteriormente. ^[4] ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \Delta =\ker(\omega _{1})\cap \ker(\omega _{2})\subseteq TM}$ ${\displaystyle \omega _{1}=dz-wdx\in \Omega ^{1}(M)}$ ${\displaystyle \omega _{2}=dy-zdx\in \Omega ^{1}(M)}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}+z{\frac {\partial }{\partial y}}+w{\frac {\partial }{\partial z}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial w}}}$ ${\displaystyle (2,3,4)}$ ${\displaystyle M^{4}}$ ${\displaystyle \Delta \subseteq TM}$ ${\displaystyle \Delta ^{(1)}}$ ${\displaystyle \Delta ^{(2)}}$
• En general, una estructura Goursat en una variedad es una distribución de rango 2 que es débilmente regular y genera corchetes, con un vector de crecimiento . Para y se recuperan, respectivamente, distribuciones de contacto en variedades tridimensionales y distribuciones de Engel. Las estructuras de Goursat son localmente difeomorfas con respecto a la distribución de Cartan de los haces de chorro . ${\displaystyle M^{k+2}}$ ${\displaystyle (2,3,\ldots ,k+1,k+2)}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle J^{k}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$

Distribuciones singulares

Una distribución singular , distribución generalizada o distribución de Stefan-Sussmann , es una distribución suave que no es regular. Esto significa que los subespacios pueden tener diferentes dimensiones y, por lo tanto, el subconjunto ya no es un subconjunto uniforme. ${\displaystyle \Delta _{x}\subset T_{x}M}$ ${\displaystyle \Delta \subset TM}$

En particular, el número de elementos en una extensión local cambiará con , y esos campos vectoriales ya no serán linealmente independientes en todas partes. No es difícil ver que la dimensión de es semicontinua inferior , de modo que en puntos especiales la dimensión es menor que en puntos cercanos. ${\displaystyle \Delta _{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Delta _{x}}$

Integrabilidad y foliaciones singulares.

Las definiciones de variedades integrales y de integrabilidad dadas anteriormente se aplican también al caso singular (eliminando el requisito de la dimensión fija). Sin embargo, el teorema de Frobenius no se cumple en este contexto y, en general, la involutividad no es suficiente para la integrabilidad (existen contraejemplos en dimensiones bajas).

Después de varios resultados parciales, ^[5] el problema de integrabilidad para distribuciones singulares fue completamente resuelto mediante un teorema demostrado independientemente por Stefan ^{[6] [7]} y Sussmann. ^{[8] [9]} Afirma que una distribución singular es integrable si y sólo si se cumplen las dos propiedades siguientes: ${\displaystyle \Delta }$

• ${\displaystyle \Delta }$es generado por una familia de campos vectoriales; ${\displaystyle F\subseteq {\mathfrak {X}}(M)}$
• ${\displaystyle \Delta }$es invariante con respecto a cada , es decir , donde está el flujo de , y . ${\displaystyle X\in F}$ ${\displaystyle (\phi _{X}^{t})_{*}(\Delta _{y})\subseteq \Delta _{\phi _{X}^{t}(y)}}$ ${\displaystyle \phi _{X}^{t}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle y\in \mathrm {dom} (X)}$

De manera similar al caso regular, una distribución singular integrable define una foliación singular , que intuitivamente consiste en una partición de en subvariedades (las variedades integrales máximas de ) de diferentes dimensiones. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Delta }$

La definición de foliación singular se puede precisar de varias formas equivalentes. De hecho, en la literatura existe una gran cantidad de variaciones, reformulaciones y generalizaciones del teorema de Stefan-Sussman, utilizando diferentes nociones de foliaciones singulares según las aplicaciones que se tengan en mente, por ejemplo, geometría de Poisson ^{[10] [11]} o no conmutativa. geometría . ^{[12] [13]}

Ejemplos

• Dada la acción de un grupo de Lie de un grupo de Lie sobre una variedad , sus generadores infinitesimales abarcan una distribución singular que siempre es integrable; las hojas de la foliación singular asociada son precisamente las órbitas de la acción grupal. La distribución/foliación es regular si y sólo si la acción es libre. ${\displaystyle M}$
• Dada una variedad de Poisson , la imagen de es una distribución singular que siempre es integrable; las hojas de la foliación singular asociada son precisamente las hojas simplécticas de . La distribución/foliación es regular si y sólo si la variedad de Poisson es regular. ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle \pi ^{\sharp }=\iota _{\pi }:T^{*}M\to TM}$ ${\displaystyle (M,\pi )}$
• De manera más general, la imagen del mapa de anclaje de cualquier algebroide de Lie define una distribución singular que es automáticamente integrable, y las hojas de la foliación singular asociada son precisamente las hojas del algebroide de Lie. La distribución/foliación es regular si y sólo si tiene rango constante, es decir, el algebroide de Lie es regular. Considerando, respectivamente, la acción algebroide de Lie y la cotangente algebroide de Lie , se recuperan los dos ejemplos anteriores. ${\displaystyle \rho :A\to TM}$ ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle M\times {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle T^{*}M}$
• En los sistemas dinámicos , una distribución singular surge del conjunto de campos vectoriales que conmutan con uno determinado.
• También hay ejemplos y aplicaciones en teoría del control , donde la distribución generalizada representa restricciones infinitesimales del sistema.

Referencias

1. Tanaka, Noboru (1 de enero de 1970). "Sobre sistemas diferenciales, álgebras de Lie graduadas y pseudogrupos". Revista de Matemáticas de Kioto . 10 (1). doi : 10.1215/kjm/1250523814 . ISSN  2156-2261.
2. Chow, Wei-Liang (1 de diciembre de 1940). "Über Systeme von liearren partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung". Mathematische Annalen (en alemán). 117 (1): 98-105. doi :10.1007/BF01450011. ISSN  1432-1807. S2CID  121523670.
3. Rashevsky, PK (1938). "Dos puntos cualesquiera de un espacio totalmente no holonómico pueden estar conectados por una línea admisible". Uh. Borrar. Ped. Inst. Soy. Liebknechta, Ser. Física. Matemáticas. (en ruso). 2 : 83–94.
4. Engel, Friedrich (1889). "Zur Invariantentheorie der Systeme Pfaff'scher Gleichungen". Leipzig. Ber. (en alemán). 41 : 157-176.
5. Lavau, Sylvain (1 de diciembre de 2018). "Una breve guía a través de teoremas de integración de distribuciones generalizadas". Geometría Diferencial y sus Aplicaciones . 61 : 42–58. arXiv : 1710.01627 . doi :10.1016/j.difgeo.2018.07.005. ISSN  0926-2245. S2CID  119669163.
6. Stefan, P. (1974). "Accesibilidad y foliaciones con singularidades". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 80 (6): 1142-1145. doi : 10.1090/S0002-9904-1974-13648-7 . ISSN  0002-9904.
7. Stefan, P. (1974). "Conjuntos, órbitas y foliaciones accesibles con singularidades". Actas de la Sociedad Matemática de Londres . T3-29 (4): 699–713. doi :10.1112/plms/s3-29.4.699. ISSN  1460-244X.
8. Sussmann, Héctor J. (1973). "Órbitas de familias de campos vectoriales e integrabilidad de sistemas con singularidades". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 79 (1): 197–199. doi : 10.1090/S0002-9904-1973-13152-0 . ISSN  0002-9904.
9. Sussmann, Héctor J. (1973). "Órbitas de familias de campos vectoriales e integrabilidad de distribuciones". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 180 : 171–188. doi : 10.1090/S0002-9947-1973-0321133-2 . ISSN  0002-9947.
10. Androulidakis, Iakovos; Zambon, Marco (28 de abril de 2016). "Foliaciones singulares de Stefan-Sussmann, subalgebroides singulares y sus gavillas asociadas". Revista internacional de métodos geométricos en física moderna . 13 (Suplemento 1): 1641001–1641267. Código Bib : 2016IJGMM..1341001A. doi :10.1142/S0219887816410012. ISSN  0219-8878.
11. Laurent-Gengoux, Camille; Lavau, Sylvain; Strobl, Thomas (2020). "La mentira universal ∞-algebroide de una foliación singular". ELibM – Doc. Matemáticas . 25 (2020): 1571–1652. doi :10.25537/dm.2020v25.1571-1652.
12. Debord, Claire (1 de julio de 2001). "Grupoides de holonomía de foliaciones singulares". Revista de Geometría Diferencial . 58 (3). doi : 10.4310/jdg/1090348356 . ISSN  0022-040X. S2CID  54714044.
13. Androulidakis, Iakovos; Skandalis, Georges (1 de enero de 2009). "El grupoide holonómico de una foliación singular". Journal für die reine und angewandte Mathematik (Diario de Crelle) . 2009 (626): 1–37. arXiv : matemáticas/0612370 . doi :10.1515/CRELLE.2009.001. ISSN  1435-5345. S2CID  14450917.

Libros, apuntes de conferencias y enlaces externos.

• William M. Boothby. Sección IV. 8 en Introducción a las variedades diferenciables y la geometría de Riemann, Academic Press, San Diego, California, 2003.
• John M. Lee, Capítulo 19 en Introducción a las variedades suaves, Textos de posgrado en matemáticas, Springer-Verlag, 2003.
• Richard Montgomery, Capítulos 2, 4 y 6 en Un recorrido por las geometrías suriemannianas, sus geodésicas y aplicaciones. Encuestas y monografías matemáticas 91 . América. Matemáticas. Soc., Providencia, RI, 2002.
• Álvaro del Pino, Aspectos topológicos en el estudio de distribuciones tangentes. Textos de Matemática. Serie B, 48 . Universidad de Coimbra, 2019.
• "Distribución involutiva", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

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