Espiral de Arquímedes

Espiral con distancia constante de sí misma.

Tres bucles de 360° de un brazo de una espiral de Arquímedes

La espiral de Arquímedes (también conocida como espiral aritmética ) es una espiral que lleva el nombre del matemático griego Arquímedes del siglo III a.C. Es el lugar geométrico correspondiente a las ubicaciones en el tiempo de un punto que se aleja de un punto fijo con velocidad constante a lo largo de una línea que gira con velocidad angular constante . De manera equivalente, en coordenadas polares ( r , θ ) se puede describir mediante la ecuación

$${\displaystyle r=b\cdot \theta }$$

número real bb

De la ecuación anterior se puede afirmar: la posición de la partícula desde el punto de inicio es proporcional al ángulo θ a medida que transcurre el tiempo.

Arquímedes describió tal espiral en su libro Sobre las espirales . Conón de Samos era amigo suyo y Pappus afirma que esta espiral fue descubierta por Conón. ^[1]

Derivación de la ecuación general de la espiral.

A continuación se utiliza un enfoque físico para comprender la noción de espirales de Arquímedes.

Supongamos que un objeto puntual se mueve en el sistema cartesiano con una velocidad constante v dirigida paralela al eje x , con respecto al plano xy . Sea en el momento t = 0 , el objeto estaba en un punto arbitrario ( c , 0, 0) . Si el plano xy gira con una velocidad angular constante ω alrededor del eje z , entonces la velocidad del punto con respecto al eje z se puede escribir como:

El plano xy gira formando un ángulo ωt (en sentido contrario a las agujas del reloj) alrededor del origen en el tiempo t . ( c , 0) es la posición del objeto en t = 0 . P es la posición del objeto en el tiempo t , a una distancia de R = vt + c .

$${\displaystyle {\begin{aligned}|v_{0}|&={\sqrt {v^{2}+\omega ^{2}(vt+c)^{2}}}\\v_{x}&=v\cos \omega t-\omega (vt+c)\sin \omega t\\v_{y}&=v\sin \omega t+\omega (vt+c)\cos \omega t\end{aligned}}}$$

Como se muestra en la figura al lado, tenemos vt + c que representa el módulo del vector de posición de la partícula en cualquier momento t , con v _x y v _y como componentes de velocidad a lo largo de los ejes x e y, respectivamente.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int v_{x}\,dt&=x\\\int v_{y}\,dt&=y\end{aligned}}}$$

Las ecuaciones anteriores se pueden integrar aplicando la integración por partes , lo que lleva a las siguientes ecuaciones paramétricas:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=(vt+c)\cos \omega t\\y&=(vt+c)\sin \omega t\end{aligned}}}$$

Al elevar al cuadrado las dos ecuaciones y luego sumar (y algunas pequeñas modificaciones) se obtiene la ecuación cartesiana.

$${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {v}{\omega }}\cdot \arctan {\frac {y}{x}}+c}$$

ωt = θθ = arctany/X

$${\displaystyle \tan \left(\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-c\right)\cdot {\frac {\omega }{v}}\right)={\frac {y}{x}}}$$

Su forma polar es

$${\displaystyle r={\frac {v}{\omega }}\cdot \theta +c.}$$

Longitud del arco y curvatura.

Círculos osculadores de la espiral de Arquímedes, tangentes a la espiral y que tienen la misma curvatura en el punto tangente. La espiral en sí no está dibujada, pero se puede ver como los puntos donde los círculos están especialmente cerca unos de otros.

Dada la parametrización en coordenadas cartesianas

$${\displaystyle f\colon \theta \mapsto (r\,\cos \theta ,r\,\sin \theta )=(b\,\theta \,\cos \theta ,b\,\theta \,\sin \theta )}$$

longitud del arcoθ ₁θ ₂

$${\displaystyle {\frac {b}{2}}\left[\theta \,{\sqrt {1+\theta ^{2}}}+\ln \left(\theta +{\sqrt {1+\theta ^{2}}}\right)\right]_{\theta _{1}}^{\theta _{2}}}$$

$${\displaystyle {\frac {b}{2}}\left[\theta \,{\sqrt {1+\theta ^{2}}}+\operatorname {arsinh} \theta \right]_{\theta _{1}}^{\theta _{2}}.}$$

θ ₁ = 0θ ₂ = θ

$${\displaystyle {\frac {b}{2}}\left[\theta \,{\sqrt {1+\theta ^{2}}}+\ln \left(\theta +{\sqrt {1+\theta ^{2}}}\right)\right].}$$

La curvatura está dada por

$${\displaystyle \kappa ={\frac {\theta ^{2}+2}{b\left(\theta ^{2}+1\right)^{\frac {3}{2}}}}}$$

Características

Espiral de Arquímedes representada en un gráfico polar

La espiral de Arquímedes tiene la propiedad de que cualquier rayo procedente del origen corta sucesivas espiras de la espiral en puntos con una distancia de separación constante (igual a 2 πb si θ se mide en radianes ), de ahí el nombre de "espiral aritmética". Por el contrario, en una espiral logarítmica estas distancias, así como las distancias de los puntos de intersección medidas desde el origen, forman una progresión geométrica .

La espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0 . Los dos brazos están conectados suavemente en el origen. En el gráfico adjunto solo se muestra un brazo. Al tomar la imagen especular de este brazo a través del eje y se obtendrá el otro brazo.

Para θ grande , un punto se mueve con una aceleración uniforme bien aproximada a lo largo de la espiral de Arquímedes, mientras que la espiral corresponde a las ubicaciones a lo largo del tiempo de un punto que se aleja de un punto fijo con una velocidad constante a lo largo de una línea que gira con velocidad angular constante ^[2] (ver contribución de Mikhail Gaichenkov).

A medida que la espiral de Arquímedes crece, su evolución se acerca asintóticamente a un círculo con radio| v |/ω.

Espiral general de Arquímedes

A veces, el término espiral de Arquímedes se utiliza para el grupo más general de espirales.

$${\displaystyle r=a+b\cdot \theta ^{\frac {1}{c}}.}$$

La espiral de Arquímedes normal ocurre cuando c = 1 . Otras espirales que caen en este grupo incluyen la espiral hiperbólica ( c = −1 ), la espiral de Fermat ( c = 2 ) y el lituus ( c = −2 ).

Aplicaciones

Un método para cuadrar el círculo , debido a Arquímedes, utiliza una espiral de Arquímedes. Arquímedes también mostró cómo se puede utilizar la espiral para trisecar un ángulo . Ambos enfoques relajan las limitaciones tradicionales sobre el uso de regla y compás en las pruebas geométricas de la antigua Grecia. ^[3]

Mecanismo de un compresor scroll.

La espiral de Arquímedes tiene una variedad de aplicaciones en el mundo real. Los compresores scroll , utilizados para comprimir gases, tienen rotores que pueden estar hechos de dos espirales de Arquímedes entrelazadas, involutas de un círculo del mismo tamaño que casi se asemejan a espirales de Arquímedes, ^[4] o curvas híbridas.

Las espirales de Arquímedes se pueden encontrar en antenas espirales , que pueden funcionar en una amplia gama de frecuencias.

Las espirales de los espirales de los relojes y los surcos de los primeros discos de gramófono forman espirales de Arquímedes, haciendo que los surcos estén espaciados uniformemente (aunque más tarde se introdujo el espaciado variable entre pistas para maximizar la cantidad de música que se podía cortar en un disco). ^[5]

Pedir a un paciente que dibuje una espiral de Arquímedes es una forma de cuantificar el temblor humano ; Esta información ayuda a diagnosticar enfermedades neurológicas.

Las espirales de Arquímedes también se utilizan en sistemas de proyección de procesamiento digital de luz (DLP) para minimizar el " efecto arcoíris ", haciendo que parezca que se muestran varios colores al mismo tiempo, cuando en realidad el rojo, el verde y el azul se alternan extremadamente rápido. . ^[6] Además, las espirales de Arquímedes se utilizan en microbiología de alimentos para cuantificar la concentración bacteriana a través de un plato en espiral. ^[7]

Imagen del Atacama Large Millimeter Array de LL Pegasi

También se utilizan para modelar el patrón que se produce en un rollo de papel o cinta de espesor constante enrollado alrededor de un cilindro. ^{[8] [9]}

Muchas espirales dinámicas (como la espiral de Parker del viento solar , o el patrón formado por la rueda de Catalina ) son de Arquímedes. Por ejemplo, la estrella LL Pegasi muestra una espiral de Arquímedes aproximada en las nubes de polvo que la rodean, que se cree que es materia expulsada de la estrella que ha sido conducida a una espiral por otra estrella compañera como parte de un sistema estelar doble. ^[10]

Ver también

• Portal de matemáticas

• Tornillo de Arquímedes  – Mecanismo de bombeo de agua ^[11]
• Espiral de Fermat  : espiral que rodea áreas iguales por vuelta.
• Espiral áurea  : curva autosimilar relacionada con la proporción áurea
• Espiral hiperbólica  - Espiral asintótica a una recta
• Lista de espirales
• Espiral logarítmica  : curva de crecimiento autosemejante
• Espiral de Teodoro  – Curva poligonal hecha de triángulos rectángulos
• Símbolo de triple espiral  : varios símbolos con simetría rotacional triplePáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento

Referencias

1. Bulmer-Thomas, Ivor . "Conón de Samos". Diccionario de biografía científica . vol. 3. pág. 391.
2. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A091154". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
3. Boyer, Carl B. (1968). Una historia de las matemáticas . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. págs. 140-142. ISBN 0-691-02391-3.
4. Sakata, Hirotsugu; Okuda, Masayuki. "Dispositivo de compresión de fluidos que tiene miembros espirales coaxiales" . Consultado el 25 de noviembre de 2006 .
5. Penndorf, Ron. "Desarrollo temprano del LP". Archivado desde el original el 5 de noviembre de 2005 . Consultado el 25 de noviembre de 2005 .. Vea el pasaje sobre Variable Groove .
6. Ballou, Glen (2008), Manual para ingenieros de sonido, CRC Press, p. 1586, ISBN 9780240809694
7. Gilchrist, JE; Campbell, JE; Donnelly, CB; Pelador, JT; Delaney, JM (1973). "Método de placa en espiral para la determinación de bacterias". Microbiología Aplicada . 25 (2): 244–52. doi :10.1128/AEM.25.2.244-252.1973. PMC 380780 . PMID  4632851. 
8. Peressini, Tony (3 de febrero de 2009). "El problema del rollo de papel de Joan" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 3 de noviembre de 2013 . Consultado el 6 de octubre de 2014 .
9. Walser, H.; Hilton, P.; Pedersen, J. (2000). Simetría . Asociación Matemática de América. pag. 27.ISBN​ 9780883855324. Consultado el 6 de octubre de 2014 .
10. Kim, Hyosun; Trejo, Alfonso; Liu, Sheng-Yuan; Sahai, Raghvendra; Taam, Ronald E.; Morris, Mark R.; Hirano, Naomi; Hsieh, I-Ta (marzo de 2017). "El patrón nebular a gran escala de un binario de superviento en una órbita excéntrica". Astronomía de la Naturaleza . 1 (3): 0060. arXiv : 1704.00449 . Código Bib : 2017NatAs...1E..60K. doi :10.1038/s41550-017-0060. S2CID  119433782.

enlaces externos

• Jonathan Matt hace interesante la espiral de Arquímedes - Vídeo: La sorprendente belleza de las Matemáticas - TedX Talks , Green Farms
• Weisstein, Eric W. "Espiral de Arquímedes". MundoMatemático .
• Espiral de Arquímedes en PlanetMath .
• Página con aplicación Java para explorar interactivamente la espiral de Arquímedes y sus curvas relacionadas
• Exploración en línea usando JSXGraph (JavaScript)
• Espiral de Arquímedes en la "curva matemática"