En optimización matemática e informática , una región factible, conjunto factible o espacio de solución es el conjunto de todos los puntos posibles (conjuntos de valores de las variables de elección) de un problema de optimización que satisfacen las restricciones del problema , incluyendo potencialmente desigualdades , igualdades y restricciones de números enteros . [1] Este es el conjunto inicial de soluciones candidatas al problema, antes de que el conjunto de candidatos se haya reducido.
Por ejemplo, considere el problema de minimizar la función con respecto a las variables y sujeta a y Aquí el conjunto factible es el conjunto de pares ( x , y ) en los que el valor de x es al menos 1 y como máximo 10 y el valor de y es al menos 5 y como máximo 12. El conjunto factible del problema está separado de la función objetivo , que establece el criterio a optimizar y que en el ejemplo anterior es
En muchos problemas, el conjunto factible refleja la restricción de que una o más variables no deben ser negativas. En problemas de programación entera pura , el conjunto factible es el conjunto de números enteros (o algún subconjunto del mismo). En problemas de programación lineal , el conjunto factible es un politopo convexo : una región en el espacio multidimensional cuyos límites están formados por hiperplanos y cuyas esquinas son vértices .
La satisfacción de restricciones es el proceso de encontrar un punto en la región factible.
Un conjunto factible convexo es aquel en el que un segmento de recta que conecta dos puntos factibles cualesquiera pasa sólo por otros puntos factibles, y no por ningún punto fuera del conjunto factible. Los conjuntos convexos factibles surgen en muchos tipos de problemas, incluidos los problemas de programación lineal, y son de particular interés porque, si el problema tiene una función objetivo convexa que debe maximizarse, generalmente será más fácil de resolver en presencia de una función objetivo convexa. conjunto factible y cualquier óptimo local también será un óptimo global .
Si las restricciones de un problema de optimización son mutuamente contradictorias, no hay puntos que satisfagan todas las restricciones y, por tanto, la región factible es el conjunto vacío . En este caso el problema no tiene solución y se dice que es inviable .
Los conjuntos factibles pueden ser acotados o no acotados . Por ejemplo, el conjunto factible definido por el conjunto de restricciones { x ≥ 0, y ≥ 0} no está acotado porque en algunas direcciones no hay límite sobre hasta dónde se puede llegar y aún estar en la región factible. En contraste, el conjunto factible formado por el conjunto de restricciones { x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2 y ≤ 4} está acotado porque la extensión del movimiento en cualquier dirección está limitada por las restricciones.
En problemas de programación lineal con n variables, una condición necesaria pero insuficiente para que el conjunto factible sea acotado es que el número de restricciones sea al menos n + 1 (como se ilustra en el ejemplo anterior).
Si el conjunto factible es ilimitado, puede haber o no un óptimo, dependiendo de las características específicas de la función objetivo. Por ejemplo, si la región factible está definida por el conjunto de restricciones { x ≥ 0, y ≥ 0}, entonces el problema de maximizar x + y no tiene un óptimo ya que cualquier solución candidata puede mejorarse aumentando x o y ; sin embargo, si el problema es minimizar x + y , entonces hay un óptimo (específicamente en ( x , y ) = (0, 0)).
En optimización y otras ramas de las matemáticas , y en algoritmos de búsqueda (un tema de informática ), una solución candidata es un miembro del conjunto de posibles soluciones en la región factible de un problema determinado. [2] Una solución candidata no tiene que ser una solución probable o razonable al problema; simplemente está en el conjunto que satisface todas las restricciones ; es decir, está en el conjunto de soluciones factibles . Los algoritmos para resolver varios tipos de problemas de optimización a menudo reducen el conjunto de soluciones candidatas a un subconjunto de soluciones factibles, cuyos puntos permanecen como soluciones candidatas mientras que las otras soluciones factibles quedan excluidas como candidatas.
El espacio de todas las soluciones candidatas, antes de que se hayan excluido los puntos factibles, se llama región factible, conjunto factible, espacio de búsqueda o espacio de soluciones. [2] Este es el conjunto de todas las soluciones posibles que satisfacen las restricciones del problema. La satisfacción de restricciones es el proceso de encontrar un punto en el conjunto factible.
En el caso del algoritmo genético , las soluciones candidatas son los individuos de la población que el algoritmo evoluciona. [3]
En cálculo, se busca una solución óptima utilizando la prueba de la primera derivada : la primera derivada de la función que se optimiza se iguala a cero, y cualquier valor de la variable elegida que satisfaga esta ecuación se considera solución candidata (mientras que aquellos que no quedan descartados como candidatos). Hay varias formas en las que una solución candidata podría no ser una solución real. En primer lugar, podría dar un mínimo cuando se busca un máximo (o viceversa), y en segundo lugar, podría no dar ni un mínimo ni un máximo, sino más bien un punto de silla o un punto de inflexión , en el que se produciría una pausa temporal en el aumento local. o se produce una caída de la función. Estas soluciones candidatas pueden descartarse mediante el uso de la prueba de la segunda derivada , cuyo cumplimiento es suficiente para que la solución candidata sea al menos localmente óptima. En tercer lugar, una solución candidata puede ser un óptimo local pero no un óptimo global .
Al tomar primitivas de monomios de la forma, la solución candidata usando la fórmula de cuadratura de Cavalieri sería. Esta solución candidata es de hecho correcta excepto cuando
En el método simplex para resolver problemas de programación lineal , se selecciona un vértice del politopo factible como solución candidata inicial y se prueba su optimización; si se rechaza como óptima, se considera un vértice adyacente como la siguiente solución candidata. Este proceso continúa hasta que se encuentra que una solución candidata es la óptima.
