En análisis matemático y áreas relacionadas de las matemáticas , un conjunto se llama acotado si todos sus puntos están dentro de una cierta distancia entre sí. Por el contrario, un conjunto que no está acotado se llama ilimitado . La palabra "limitado" no tiene sentido en un espacio topológico general sin una métrica correspondiente .
El límite es un concepto distinto: por ejemplo, un círculo aislado es un conjunto acotado sin límites, mientras que el semiplano no tiene límites pero tiene un límite.
Un conjunto acotado no es necesariamente un conjunto cerrado y viceversa. Por ejemplo, un subconjunto S de un espacio real bidimensional R 2 restringido por dos curvas parabólicas x 2 + 1 y x 2 - 1 definidas en un sistema de coordenadas cartesiano está cerrado por las curvas pero no acotado (por lo tanto, ilimitado).
Un conjunto S de números reales se llama acotado desde arriba si existe algún número real k ( no necesariamente en S ) tal que k ≥ s para todo s en S. El número k se llama límite superior de S. Los términos acotado desde abajo y límite inferior se definen de manera similar.
Un conjunto S está acotado si tiene límites superior e inferior. Por tanto, un conjunto de números reales es acotado si está contenido en un intervalo finito .
Un subconjunto S de un espacio métrico ( M , d ) está acotado si existe r > 0 tal que para todos s y t en S , tenemos d(s , t ) < r . El espacio métrico ( M , d ) es un espacio métrico acotado (o d es una métrica acotada ) si M está acotado como un subconjunto de sí mismo.
En espacios vectoriales topológicos , existe una definición diferente para conjuntos acotados que a veces se denomina acotación de von Neumann . Si la topología del espacio vectorial topológico es inducida por una métrica que es homogénea , como en el caso de una métrica inducida por la norma de los espacios vectoriales normados , entonces las dos definiciones coinciden.
Un conjunto de números reales está acotado si y sólo si tiene un límite superior y otro inferior. Esta definición es extensible a subconjuntos de cualquier conjunto parcialmente ordenado . Tenga en cuenta que este concepto más general de acotación no corresponde a una noción de "tamaño".
Un subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado P se llama acotado arriba si hay un elemento k en P tal que k ≥ s para todo s en S. El elemento k se llama límite superior de S. Los conceptos de acotado inferior y límite inferior se definen de manera similar. (Ver también límites superior e inferior ).
Un subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado P se llama acotado si tiene un límite superior y un límite inferior, o de manera equivalente, si está contenido en un intervalo . Tenga en cuenta que esto no es sólo una propiedad del conjunto S sino también una del conjunto S como subconjunto de P .
Un poset acotado P (es decir, por sí mismo, no como subconjunto) es aquel que tiene un elemento mínimo y un elemento mayor . Tenga en cuenta que este concepto de acotación no tiene nada que ver con el tamaño finito, y que un subconjunto S de un poset acotado P con como orden la restricción del orden en P no es necesariamente un poset acotado.
Un subconjunto S de R n está acotado con respecto a la distancia euclidiana si y sólo si está acotado como subconjunto de R n con el orden del producto . Sin embargo, S puede estar acotado como subconjunto de R n con el orden lexicográfico , pero no con respecto a la distancia euclidiana.
Se dice que una clase de números ordinales es ilimitada o cofinal cuando, dado cualquier ordinal, siempre hay algún elemento de la clase mayor que él. Por tanto, en este caso "ilimitado" no significa ilimitado por sí mismo sino ilimitado como subclase de la clase de todos los números ordinales.