Giro-1/2

Tipo de materia

Un único punto en el espacio puede girar continuamente sin enredarse. Observe que después de una rotación de 360°, la espiral cambia de orientación en el sentido de las agujas del reloj a las agujas del reloj y vuelve a su configuración original después de girar 720°.

En mecánica cuántica , el espín es una propiedad intrínseca de todas las partículas elementales . Todos los fermiones conocidos , las partículas que constituyen la materia ordinaria, tienen un espín de ⁠ 1 / 2 ⁠ . ^{[1] [2] [3]} El número de espín describe cuántas facetas simétricas tiene una partícula en una rotación completa; un espín de ⁠ 1 / 2 ⁠ significa que la partícula debe rotar dos vueltas completas (720°) antes de que tenga la misma configuración que cuando comenzó.

Las partículas que tienen un espín neto ⁠ 1 / 2 ⁠ incluyen el protón , el neutrón , el electrón , el neutrino y los quarks . La dinámica de los objetos de espín ⁠ 1 / 2 ⁠ no se puede describir con precisión utilizando la física clásica ; se encuentran entre los sistemas más simples que requieren la mecánica cuántica para describirlos. Como tal, el estudio del comportamiento de los sistemas de espín ⁠ 1 / 2 ⁠ forma una parte central de la mecánica cuántica .

Experimento de Stern-Gerlach

La necesidad de introducir un espín semientero se remonta experimentalmente a los resultados del experimento de Stern-Gerlach . Se hace pasar un haz de átomos a través de un fuerte campo magnético heterogéneo, que luego se divide en N partes dependiendo del momento angular intrínseco de los átomos. Se descubrió que, en el caso de los átomos de plata, el haz se dividía en dos; por lo tanto, el estado fundamental no podía ser un entero, porque incluso si el momento angular intrínseco de los átomos fuera el entero más pequeño (distinto de cero) posible, 1, el haz se dividiría en 3 partes, correspondientes a átomos con L _z  = −1, +1 y 0, siendo 0 simplemente el valor que se sabe que está entre −1 y +1, aunque también es un entero entero en sí mismo y, por lo tanto, un número de espín cuantizado válido en este caso. La existencia de este hipotético "paso adicional" entre los dos estados cuánticos polarizados necesitaría un tercer estado cuántico; un tercer haz, que no se observa en el experimento. La conclusión fue que los átomos de plata tenían un momento angular intrínseco neto de ⁠ 1 / 2 ⁠ . ^[1]

Propiedades generales

Representación heurística de los conos de momento angular de espín para una partícula de espín 1/2 .

Los objetos de espín 1/2 son todos fermiones ( un hecho explicado por el teorema de estadística de espín ) y satisfacen el principio de exclusión de Pauli . Las partículas de espín 1/2 pueden tener un momento magnético permanente a lo largo de la dirección de su espín, y este momento magnético da lugar a interacciones electromagnéticas que dependen del espín. Uno de esos efectos que fue importante en el descubrimiento del espín es el efecto Zeeman , la división de una línea espectral en varios componentes en presencia de un campo magnético estático.

A diferencia de los sistemas mecánicos cuánticos más complicados, el espín de una partícula de espín 1/2 se puede expresar como una combinación lineal de solo dos estados propios o espineres propios . Estos se etiquetan tradicionalmente como espín hacia arriba y espín hacia abajo. Debido a esto, los operadores de espín mecánicos cuánticos se pueden representar como matrices simples de 2 × 2. Estas matrices se denominan matrices de Pauli .

Se pueden construir operadores de creación y aniquilación para objetos de espín ⁠ 1 / 2 ⁠ ; estos obedecen las mismas relaciones de conmutación que otros operadores de momento angular .

Conexión con el principio de incertidumbre

Una consecuencia del principio de incertidumbre generalizada es que los operadores de proyección de espín (que miden el espín a lo largo de una dirección dada como x , y o z ) no se pueden medir simultáneamente. Físicamente, esto significa que el eje sobre el que gira una partícula está mal definido. Una medición del componente z del espín destruye cualquier información sobre los componentes x e y que se pudiera haber obtenido previamente.

Descripción matemática

Una partícula de espín 1/2 se caracteriza por un número cuántico de momento angular para espines de 1/2 . En las soluciones de la ecuación de Schrödinger , el momento angular se cuantifica de acuerdo con este número, de modo que el momento angular de espín total

${\displaystyle S={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {1}{2}}+1\right)}}\ \hbar ={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\hbar .}$

Sin embargo, la estructura fina observada cuando se observa el electrón a lo largo de un eje, como el eje z , se cuantifica en términos de un número cuántico magnético , que puede verse como una cuantificación de un componente vectorial de este momento angular total, que solo puede tener los valores de ± ⁠ 1 / 2 ⁠ ħ .

Tenga en cuenta que estos valores para el momento angular son funciones únicamente de la constante de Planck reducida (el momento angular de cualquier fotón ), sin dependencia de la masa o la carga. ^[4]

Fase compleja

Matemáticamente, el espín mecánico cuántico no se describe mediante un vector como en el caso del momento angular clásico, sino mediante un vector de valor complejo con dos componentes llamado espinor . Existen diferencias sutiles entre el comportamiento de los espinores y los vectores bajo rotaciones de coordenadas , que surgen del comportamiento de un espacio vectorial sobre un campo complejo.

Cuando un espinor se rota 360° (una vuelta completa), se transforma en su valor negativo y luego, después de una rotación adicional de 360°, se transforma nuevamente a su valor inicial. Esto se debe a que en la teoría cuántica, el estado de una partícula o sistema se representa mediante una amplitud de probabilidad compleja ( función de onda ) ψ , y cuando se mide el sistema, la probabilidad de encontrar el sistema en el estado ψ es igual a | ψ | ² = ψ * ψ , el cuadrado absoluto (cuadrado del valor absoluto ) de la amplitud. En términos matemáticos, el espacio cuántico de Hilbert lleva una representación proyectiva del grupo de rotación SO(3).

Supongamos que un detector que se puede rotar mide una partícula en la que las probabilidades de detectar algún estado se ven afectadas por la rotación del detector. Cuando el sistema se rota 360°, la salida observada y la física son las mismas que inicialmente, pero las amplitudes cambian para una partícula de espín 1/2 por un factor de −1 o un cambio de fase de la mitad de 360°. Cuando se calculan las probabilidades, el −1 se eleva al cuadrado, ( −1 ) ² = 1 , por lo que la física predicha es la misma que en la posición inicial. Además, en una partícula de espín 1/2 solo hay dos estados de espín y las amplitudes para ambos cambian por el mismo factor −1, por lo que los efectos de interferencia son idénticos, a diferencia del caso de espines superiores. Las amplitudes de probabilidad complejas son algo así como una construcción teórica que no se puede observar directamente.

Si las amplitudes de probabilidad rotaran en la misma cantidad que el detector, entonces habrían cambiado en un factor de −1 cuando el equipo se rotara 180°, lo que al cuadrado predeciría el mismo resultado que al principio, pero los experimentos muestran que esto es incorrecto. Si el detector se rota 180°, el resultado con partículas de espín ⁠ 1 / 2 ⁠ puede ser diferente de lo que sería si no se rotara, por lo tanto, el factor de la mitad es necesario para que las predicciones de la teoría coincidan con los experimentos.

En términos de evidencia más directa, los efectos físicos de la diferencia entre la rotación de una partícula de espín ⁠ 1 / 2 ⁠ de 360° en comparación con 720° se han observado experimentalmente en experimentos clásicos ^{[5] en interferometría de neutrones. En particular, si un haz de partículas de espín} ⁠ 1 / 2 ⁠ orientadas por espín se divide, y solo uno de los haces se gira sobre el eje de su dirección de movimiento y luego se recombina con el haz original, se observan diferentes efectos de interferencia dependiendo del ángulo de rotación. En el caso de la rotación de 360°, se observan efectos de cancelación, mientras que en el caso de la rotación de 720°, los haces se refuerzan mutuamente. ^[5]

Mecánica cuántica no relativista

El estado cuántico de una partícula de espín 1/2 se puede describir mediante un vector de valor complejo de dos componentes llamado espinor . Los estados observables de la partícula se encuentran entonces mediante los operadores de espín S _x , S _y y S _z , y el operador de espín total  S .

Observables

Cuando se utilizan espinores para describir los estados cuánticos, los tres operadores de espín ( S _x , S _y , S _z , ) pueden describirse mediante matrices de 2 × 2 llamadas matrices de Pauli cuyos valores propios son ± ⁠ ħ / 2 ⁠ .

Por ejemplo, el operador de proyección de espín S _z afecta una medición del espín en la dirección z .

${\displaystyle S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$

Los dos valores propios de S _z , ± ⁠ ħ / 2 ⁠ , corresponden entonces a los siguientes espinores propios:

${\displaystyle \chi _{+}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{z}{=}{+\textstyle {\frac {1}{2}}}}\right\rangle =|{\uparrow }\rangle =|0\rangle }$

${\displaystyle \chi _{-}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{z}{=}{-\textstyle {\frac {1}{2}}}}\right\rangle =|{\downarrow }\rangle =|1\rangle .}$

Estos vectores forman una base completa para el espacio de Hilbert que describe la partícula de espín 1/2 . Por lo tanto, las combinaciones lineales de estos dos estados pueden representar todos los estados posibles del espín, incluso en las direcciones x e y .

Los operadores de escalera son:

${\displaystyle S_{+}=\hbar {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},S_{-}=\hbar {\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}}$

Como S _± = S _x ± i S _y , ^[6] se deduce que S _x = ⁠ 1 / 2 ⁠ ( S ₊ + S ₋ ) y S _y = ⁠ 1 / 2 i ⁠ ( S ₊ − S ₋ ) . Por lo tanto:

${\displaystyle S_{x}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle S_{y}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}}$

Sus espinores propios normalizados se pueden encontrar de la forma habitual. Para S _x , son:

${\displaystyle \chi _{+}^{(x)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{x}{=}{+\textstyle {\frac {1}{2}}}}\right\rangle }$

${\displaystyle \chi _{-}^{(x)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{x}{=}{-\textstyle {\frac {1}{2}}}}\right\rangle }$

Para S _y , son:

${\displaystyle \chi _{+}^{(y)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{y}{=}{+\textstyle {\frac {1}{2}}}}\right\rangle }$

${\displaystyle \chi _{-}^{(y)}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}=\left\vert {s_{y}{=}{-\textstyle {\frac {1}{2}}}}\right\rangle }$

Mecánica cuántica relativista

Mientras que la mecánica cuántica no relativista define el espín ⁠ 1 / 2 ⁠ con 2 dimensiones en el espacio de Hilbert con dinámicas que se describen en el espacio y tiempo tridimensionales, la mecánica cuántica relativista define el espín con 4 dimensiones en el espacio de Hilbert y dinámicas descritas por el espacio-tiempo cuatridimensional. ^{[ cita requerida ]}

Observables

Como consecuencia de la naturaleza cuatridimensional del espacio-tiempo en la relatividad, la mecánica cuántica relativista utiliza matrices de 4×4 para describir los operadores de espín y los observables. ^{[ cita requerida ]}

Historia

Cuando el físico Paul Dirac intentó modificar la ecuación de Schrödinger para que fuera coherente con la teoría de la relatividad de Einstein , descubrió que solo era posible incluyendo matrices en la ecuación de Dirac resultante , lo que implica que la onda debe tener múltiples componentes que conducen al espín. ^[7]

La rotación del espinor 4π fue verificada experimentalmente usando interferometría de neutrones en 1974, por Helmut Rauch y colaboradores, ^[8] después de ser sugerida por Yakir Aharonov y Leonard Susskind en 1967. ^[9]

Véase también

• Representación proyectiva

Notas

1. Resnick, R.; Eisberg, R. (1985). Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2.ª ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-87373-0.
2. Atkins, PW (1974). Quanta: un manual de conceptos . Oxford University Press. ISBN 0-19-855493-1.
3. Peleg, Y.; Pnini, R.; Zaarur, E.; Hecht, E. (2010). Mecánica cuántica (2.ª ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-071-62358-2.
4. Nave, CR (2005). "El giro del electrón". Universidad Estatal de Georgia .
5. Rauch, Helmut; Werner, Samuel A. (2015). Interferometría de neutrones: lecciones de mecánica cuántica experimental, dualidad onda-partícula y entrelazamiento . Estados Unidos: Oxford University Press.
6. Griffiths, David J. (2018). Introducción a la mecánica cuántica. Darrell F. Schroeter (3.ª ed.). Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-18963-8.OCLC 1030447903  .
7. McMahon, D. (2008). Teoría cuántica de campos . Estados Unidos: McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154382-8.
8. Rauch, H.; Zeilinger, A.; Badurek, G.; Wilfing, A.; Bauspiess, W.; Bonse, U. (octubre de 1975). "Verificación de la rotación espinorial coherente de fermiones". Physics Letters A . 54 (6): 425–427. doi :10.1016/0375-9601(75)90798-7. ISSN  0375-9601.
9. Aharonov, Yakir; Susskind, Leonard (25 de junio de 1967). "Observabilidad del cambio de signo de los espinores bajo rotaciones de $2\ensuremath{\pi}$". Physical Review . 158 (5): 1237–1238. doi :10.1103/PhysRev.158.1237.

Lectura adicional

• Feynman, Richard (1963). "Volumen III, Capítulo 6. Spin One-Half". Las conferencias Feynman sobre física . Caltech .
• Penrose, Roger (2007). El camino hacia la realidad . Libros antiguos. ISBN 978-0-679-77631-4.

Enlaces externos

• Medios relacionados con Spin-½ en Wikimedia Commons