Estrés aereo

Cuando el vector de tensión dentro de un material es cero en un plano particular

Figura 7.1 Estado tensional plano en un continuo.

En mecánica continua , se dice que un material está bajo tensión plana si el vector de tensión es cero en un plano particular. Cuando esa situación ocurre en todo un elemento de una estructura, como suele ser el caso de las placas delgadas, el análisis de tensiones se simplifica considerablemente, ya que el estado de tensión puede representarse mediante un tensor de dimensión 2 (representable como una matriz de 2×2 en lugar de que 3×3). ^[1] Una noción relacionada, deformación plana , suele aplicarse a miembros muy gruesos.

La tensión plana generalmente ocurre en placas delgadas y planas sobre las que actúan únicamente fuerzas de carga paralelas a ellas. En determinadas situaciones, también se puede suponer que una placa delgada suavemente curvada tiene una tensión plana a los efectos del análisis de tensiones. Éste es el caso, por ejemplo, de un cilindro de pared delgada lleno de un fluido a presión. En tales casos, las componentes de tensión perpendiculares a la placa son insignificantes en comparación con las paralelas a ella. ^[1]

Sin embargo, en otras situaciones no se puede despreciar la tensión de flexión de una placa delgada. Todavía se puede simplificar el análisis utilizando un dominio bidimensional, pero el tensor de tensión plano en cada punto debe complementarse con términos de flexión.

Definición matemática

Matemáticamente, la tensión en algún punto del material es una tensión plana si una de las tres tensiones principales (los valores propios del tensor de tensiones de Cauchy ) es cero. Es decir, existe un sistema de coordenadas cartesiano en el que el tensor de tensión tiene la forma

${\displaystyle \sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&0&0\\0&\sigma _{22}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{x}&0&0\\0&\sigma _{y}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

Por ejemplo, considere un bloque rectangular de material que mide 10, 40 y 5 cm a lo largo de , y , que se estira en la dirección y se comprime en la dirección, por pares de fuerzas opuestas con magnitudes de 10 N y 20 N, respectivamente, distribuidos uniformemente en las caras correspondientes. El tensor de tensión dentro del bloque será ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \sigma ={\begin{bmatrix}500\mathrm {Pa} &0&0\\0&-4000\mathrm {Pa} &0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

De manera más general, si se eligen los dos primeros ejes de coordenadas de manera arbitraria pero perpendicular a la dirección de la tensión cero, el tensor de tensión tendrá la forma

${\displaystyle \sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&0\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&0\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

y por lo tanto puede representarse mediante una matriz de 2 × 2,

${\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}\end{bmatrix}}}$

Ecuaciones constitutivas

Tensión plana en superficies curvas.

En ciertos casos, el modelo de tensión plana se puede utilizar en el análisis de superficies suavemente curvadas. Por ejemplo, considere un cilindro de paredes delgadas sometido a una carga de compresión axial distribuida uniformemente a lo largo de su borde y lleno de un fluido presurizado. La presión interna generará una tensión circular reactiva en la pared, una tensión de tracción normal dirigida perpendicular al eje del cilindro y tangencial a su superficie. El cilindro puede desenrollarse conceptualmente y analizarse como una placa rectangular plana y delgada sometida a una carga de tracción en una dirección y a una carga de compresión en la otra dirección, ambas paralelas a la placa.

Deformación plana (matriz de deformación)

Figura 7.2 Estado de deformación plana en un continuo.

Si una dimensión es muy grande en comparación con las demás, la deformación principal en la dirección de la dimensión más larga está limitada y puede asumirse como constante, lo que significa que efectivamente habrá deformación cero a lo largo de ella, lo que producirá una condición de deformación plana (Figura 7.2). ). En este caso, aunque todas las tensiones principales son distintas de cero, la tensión principal en la dirección de la dimensión más larga se puede ignorar para los cálculos. De esta manera, se permite un análisis bidimensional de las tensiones, por ejemplo, una presa analizada en una sección transversal cargada por el embalse.

El tensor de deformación correspondiente es:

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&0\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\,\!}$

y el tensor de tensión correspondiente es:

${\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&0\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&0\\0&0&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\,\!}$

en el que el término distinto de cero surge del efecto de Poisson . Sin embargo, este término se puede eliminar temporalmente del análisis de tensiones para dejar solo los términos en el plano, reduciendo efectivamente el análisis a dos dimensiones. ^[1] ${\displaystyle \sigma _{33}\,\!}$

Transformación de tensiones en tensión plana y deformación plana.

Considere un punto en un continuo bajo un estado de tensión plana, o deformación plana, con componentes de tensión y todos los demás componentes de tensión iguales a cero (Figura 8.1). A partir del equilibrio estático de un elemento material infinitesimal en (Figura 8.2), la tensión normal y la tensión cortante en cualquier plano perpendicular al plano que pasa a través de un vector unitario que forma un ángulo con la horizontal, es decir, es el coseno director en la dirección, viene dada por: ${\displaystyle P\,\!}$ ${\displaystyle (\sigma _{x},\sigma _{y},\tau _{xy})\,\!}$ ${\displaystyle P\,\!}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }\,\!}$ ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }\,\!}$ ${\displaystyle x\,\!}$ ${\displaystyle y\,\!}$ ${\displaystyle P\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {n} \,\!}$ ${\displaystyle \theta \,\!}$ ${\displaystyle \cos \theta \,\!}$ ${\displaystyle x\,\!}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +\tau _{xy}\sin 2\theta \,\!}$

${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta \,\!}$

Estas ecuaciones indican que en una condición de tensión plana o de deformación plana, se pueden determinar los componentes de la tensión en un punto en todas las direcciones, es decir, en función de , si se conocen las componentes de la tensión en dos direcciones perpendiculares cualesquiera en ese punto. Es importante recordar que estamos considerando una unidad de área del elemento infinitesimal en la dirección paralela al plano - . ${\displaystyle \theta \,\!}$ ${\displaystyle (\sigma _{x},\sigma _{y},\tau _{xy})\,\!}$ ${\displaystyle y\,\!}$ ${\displaystyle z\,\!}$

Figura 8.1 - Transformación de tensiones en un punto de un continuo en condiciones de tensión plana.

Figura 8.2 - Componentes de tensión en un plano que pasa por un punto de un continuo en condiciones de tensión plana.

Las direcciones principales (Figura 8.3), es decir, la orientación de los planos donde los componentes del esfuerzo cortante son cero, se pueden obtener haciendo que la ecuación anterior para el esfuerzo cortante sea igual a cero. Así tenemos: ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }\,\!}$

${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta =0\,\!}$

y obtenemos

${\displaystyle \tan 2\theta _{\mathrm {p} }={\frac {2\tau _{xy}}{\sigma _{x}-\sigma _{y}}}\,\!}$

Esta ecuación define dos valores que están separados (Figura 8.3). Se puede obtener el mismo resultado encontrando el ángulo que hace que la tensión normal sea máxima, es decir ${\displaystyle \theta _{\mathrm {p} }\,\!}$ ${\displaystyle 90^{\circ }\,\!}$ ${\displaystyle \theta \,\!}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }\,\!}$ ${\displaystyle {\frac {d\sigma _{\mathrm {n} }}{d\theta }}=0\,\!}$

Las tensiones principales y , o las tensiones normales mínima y máxima y , respectivamente, se pueden obtener reemplazando ambos valores de en la ecuación anterior para . Esto se puede lograr reorganizando las ecuaciones para y , primero transponiendo el primer término de la primera ecuación y elevando al cuadrado ambos lados de cada una de las ecuaciones y luego sumándolos. Así tenemos ${\displaystyle \sigma _{1}\,\!}$ ${\displaystyle \sigma _{2}\,\!}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {max} }\,\!}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {min} }\,\!}$ ${\displaystyle \theta _{\mathrm {p} }\,\!}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }\,\!}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }\,\!}$ ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }\,\!}$

${\displaystyle \left[\sigma _{\mathrm {n} }-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{\mathrm {n} }^{2}=\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}\,\!}$

${\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{\mathrm {avg} })^{2}+\tau _{\mathrm {n} }^{2}=R^{2}\,\!}$

dónde

${\displaystyle R={\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{\mathrm {avg} }={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})\,\!}$

que es la ecuación de un círculo de radio centrado en un punto con coordenadas , llamado círculo de Mohr . Pero sabiendo que para las tensiones principales el esfuerzo cortante , entonces obtenemos de esta ecuación: ${\displaystyle R\,\!}$ ${\displaystyle [\sigma _{\mathrm {avg} },0]\,\!}$ ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }=0\,\!}$

${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{\mathrm {max} }={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\,\!}$

${\displaystyle \sigma _{2}=\sigma _{\mathrm {min} }={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})-{\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\,\!}$

Figura 8.3 - Transformación de tensiones en dos dimensiones, mostrando los planos de acción de las tensiones principales, y las tensiones cortantes máximas y mínimas.

Cuando el elemento infinitesimal está orientado en la dirección de los planos principales, las tensiones que actúan sobre el elemento rectangular son tensiones principales: y . Luego, la tensión normal y la tensión cortante en función de las tensiones principales se pueden determinar haciendo . Así tenemos ${\displaystyle \tau _{xy}=0\,\!}$ ${\displaystyle \sigma _{x}=\sigma _{1}\,\!}$ ${\displaystyle \sigma _{y}=\sigma _{2}\,\!}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }\,\!}$ ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }\,\!}$ ${\displaystyle \tau _{xy}=0\,\!}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{1}+\sigma _{2})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{2})\cos 2\theta \,\!}$

${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{2})\sin 2\theta \,\!}$

Entonces el esfuerzo cortante máximo ocurre cuando , es decir (Figura 8.3): ${\displaystyle \tau _{\mathrm {max} }\,\!}$ ${\displaystyle \sin 2\theta =1\,\!}$ ${\displaystyle \theta =45^{\circ }\,\!}$

${\displaystyle \tau _{\mathrm {max} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{2})\,\!}$

Entonces el esfuerzo cortante mínimo ocurre cuando , es decir (Figura 8.3): ${\displaystyle \tau _{\mathrm {min} }\,\!}$ ${\displaystyle \sin 2\theta =-1\,\!}$ ${\displaystyle \theta =135^{\circ }\,\!}$

${\displaystyle \tau _{\mathrm {min} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{2})\,\!}$

Ver también

• Deformación plana

Referencias

1. Meyers y Chawla (1999): "Comportamiento mecánico de los materiales", 66-75.