En geometría de Riemann , el fibrado tangente unitario de una variedad de Riemann ( M , g ), denotado por T 1 M , UT( M ), UT M o S M es el fibrado esférico unitario del fibrado tangente T( M ). Es un fibrado sobre M cuya fibra en cada punto es la esfera unitaria en el espacio tangente:
donde T x ( M ) denota el espacio tangente a M en x . Por lo tanto, los elementos de UT( M ) son pares ( x , v ), donde x es algún punto de la variedad y v es alguna dirección tangente (de longitud unitaria) a la variedad en x . El fibrado tangente unitario está equipado con una proyección natural
que lleva cada punto del fibrado a su punto base. La fibra π −1 ( x ) sobre cada punto x ∈ M es una ( n −1) -esfera S n −1 , donde n es la dimensión de M . El fibrado tangente unitario es por tanto un fibrado esférico sobre M con fibra S n −1 .
La definición de fibrado esférico unitario también puede dar cabida a variedades de Finsler . En concreto, si M es una variedad dotada de una métrica de Finsler F : T M → R , entonces el fibrado esférico unitario es el subfibrado del fibrado tangente cuya fibra en x es la indicatriz de F :
Si M es una variedad de dimensión infinita (por ejemplo, una variedad de Banach , Fréchet o Hilbert ), entonces UT( M ) todavía puede considerarse como el fibrado de esferas unitarias para el fibrado tangente T( M ), pero la fibra π −1 ( x ) sobre x es entonces la esfera unitaria de dimensión infinita en el espacio tangente.
El fibrado tangente unitario tiene una variedad de estructuras geométricas diferenciales. La métrica en M induce una estructura de contacto en UT M . Esto se da en términos de una forma unitaria tautológica , definida en un punto u de UT M (un vector tangente unitario de M ) por
donde es el empuje hacia adelante a lo largo de π del vector v ∈ T u UT M .
Geométricamente, esta estructura de contacto puede considerarse como la distribución de (2 n −2)-planos que, en el vector unitario u , es el pullback del complemento ortogonal de u en el espacio tangente de M . Esta es una estructura de contacto, ya que la fibra de UT M es obviamente una variedad integral (el fibrado vertical está en todas partes en el núcleo de θ), y las direcciones tangentes restantes se completan al moverse hacia arriba en la fibra de UT M . Por lo tanto, la variedad integral máxima de θ es (un conjunto abierto de) M misma.
En una variedad de Finsler, la forma de contacto se define mediante la fórmula análoga
donde g u es el tensor fundamental (el hessiano de la métrica de Finsler). Geométricamente, la distribución asociada de hiperplanos en el punto u ∈ UT x M es la imagen inversa bajo π * del hiperplano tangente a la esfera unitaria en T x M en u .
La forma de volumen θ∧ d θ n −1 define una medida en M , conocida como medida cinemática o medida de Liouville , que es invariante bajo el flujo geodésico de M . Como medida de Radon , la medida cinemática μ se define en funciones continuas ƒ soportadas de forma compacta en UT M por
donde d V es el elemento de volumen en M , y μ p es la medida de Borel estándar invariante rotacionalmente en la esfera euclidiana UT p M .
La conexión de Levi-Civita de M da lugar a una división del fibrado tangente
en un espacio vertical V = kerπ * y un espacio horizontal H en el que π * es un isomorfismo lineal en cada punto de UT M . Esta división induce una métrica en UT M al declarar que esta división es una suma directa ortogonal y definir la métrica en H por el pullback:
y definiendo la métrica en V como la métrica inducida a partir de la incrustación de la fibra UT x M en el espacio euclidiano T x M . Equipada con esta métrica y forma de contacto, UT M se convierte en una variedad sasakiana .
