diádica

Tensor de segundo orden en álgebra vectorial

En matemáticas , específicamente en álgebra multilineal , un tensor diádico o diádico es un tensor de segundo orden , escrito en una notación que encaja con el álgebra vectorial .

Existen numerosas formas de multiplicar dos vectores euclidianos . El producto escalar toma dos vectores y devuelve un escalar , mientras que el producto cruzado ^[a] devuelve un pseudovector . Ambos tienen varias interpretaciones geométricas importantes y se utilizan ampliamente en matemáticas, física e ingeniería . El producto diádico toma dos vectores y devuelve un tensor de segundo orden llamado diádico en este contexto. Se puede utilizar una diádica para contener información física o geométrica, aunque en general no existe una forma directa de interpretarla geométricamente.

El producto diádico es distributivo sobre la suma de vectores y asociativo con la multiplicación escalar . Por tanto, el producto diádico es lineal en ambos operandos. En general, se pueden sumar dos diádicas para obtener otra diádica y multiplicarlas por números para escalar la diádica. Sin embargo, el producto no es conmutativo ; cambiar el orden de los vectores da como resultado una diádica diferente.

El formalismo del álgebra diádica es una extensión del álgebra vectorial para incluir el producto diádico de vectores. El producto diádico también es asociativo con los productos punto y cruz con otros vectores, lo que permite combinar los productos punto, cruz y diádico para obtener otros escalares, vectores o diádicos.

También tiene algunos aspectos del álgebra matricial , ya que los componentes numéricos de los vectores se pueden ordenar en vectores de fila y columna , y los de tensores de segundo orden en matrices cuadradas . Además, los productos puntuales, cruzados y diádicos se pueden expresar en forma matricial. Las expresiones diádicas pueden parecerse mucho a los equivalentes matriciales.

El producto escalar de una diádica con un vector da otro vector, y al tomar el producto escalar de este resultado se obtiene un escalar derivado de la diádica. El efecto que tiene una diádica determinada sobre otros vectores puede proporcionar interpretaciones físicas o geométricas indirectas.

La notación diádica fue establecida por primera vez por Josiah Willard Gibbs en 1884. La notación y la terminología están relativamente obsoletas en la actualidad. Sus usos en física incluyen la mecánica del continuo y el electromagnetismo .

En este artículo, las variables en mayúsculas y negrita denotan diádicas (incluidas las díadas), mientras que las variables en minúsculas y negrita denotan vectores. Una notación alternativa utiliza barras superiores o inferiores dobles y simples, respectivamente.

Definiciones y terminología

Productos diádicos, externos y tensoriales.

Una díada es un tensor de orden dos y rango uno, y es el producto diádico de dos vectores ( vectores complejos en general), mientras que una diádica es un tensor general de orden dos (que puede ser de rango completo o no).

Existen varios términos y notaciones equivalentes para este producto:

• el producto diádico de dos vectores y se denota por (yuxtapuesto; sin símbolos, signos de multiplicación, cruces, puntos, etc.) ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} }$
• el producto exterior de dos vectores de columna y se denota y define como o , donde significa transponer , ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} ^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {T}}}$
• el producto tensorial de dos vectores y se denota , ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} }$

En el contexto diádico todos tienen la misma definición y significado, y se usan como sinónimos, aunque el producto tensorial es un ejemplo del uso más general y abstracto del término.

La notación bracket de Dirac hace que el uso de díadas y diádicas sea intuitivamente claro, ver Cahill (2013). ^{[ dudoso ]}

Espacio euclidiano tridimensional

Para ilustrar el uso equivalente, considere el espacio euclidiano tridimensional , dejando:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} \\\mathbf {b} &=b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} \end{aligned}}}$

sean dos vectores donde i , j , k (también denominados e ₁ , e ₂ , e ₃ ) son los vectores de base estándar en este espacio vectorial (ver también coordenadas cartesianas ). Entonces el producto diádico de a y b se puede representar como una suma:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {ab} =\qquad &a_{1}b_{1}\mathbf {ii} +a_{1}b_{2}\mathbf {ij} +a_{1}b_{3}\mathbf {ik} \\{}+{}&a_{2}b_{1}\mathbf {ji} +a_{2}b_{2}\mathbf {jj} +a_{2}b_{3}\mathbf {jk} \\{}+{}&a_{3}b_{1}\mathbf {ki} +a_{3}b_{2}\mathbf {kj} +a_{3}b_{3}\mathbf {kk} \end{aligned}}}$

o por extensión de vectores de fila y columna, una matriz de 3×3 (también el resultado del producto exterior o producto tensorial de a y b ):

${\displaystyle \mathbf {ab} \equiv \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} \equiv \mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\end{pmatrix}}.}$

Una díada es un componente de la diádica (un monomio de la suma o, equivalentemente, una entrada de la matriz): el producto diádico de un par de vectores de base escalar multiplicados por un número.

Así como los vectores base (y unitarios) estándar i , j , k , tienen las representaciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {i} &={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},&\mathbf {j} &={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},&\mathbf {k} &={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

(que se puede transponer), las díadas de base estándar (y unidad) tienen la representación:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {ii} &={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {ij} &={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {ik} &={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\\\mathbf {ji} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {jj} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {jk} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}\\\mathbf {ki} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {kj} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},&\mathbf {kk} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Para un ejemplo numérico simple en la base estándar:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=2\mathbf {ij} +{\frac {\sqrt {3}}{2}}\mathbf {ji} -8\pi \mathbf {jk} +{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\mathbf {kk} \\[2pt]&=2{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}-8\pi {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\[2pt]&={\begin{pmatrix}0&2&0\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&0&-8\pi \\0&0&{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Espacio euclidiano N -dimensional

Si el espacio euclidiano es N - dimensional , y

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=\sum _{i=1}^{N}a_{i}\mathbf {e} _{i}=a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+{\ldots }+a_{N}\mathbf {e} _{N}\\\mathbf {b} &=\sum _{j=1}^{N}b_{j}\mathbf {e} _{j}=b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2}+\ldots +b_{N}\mathbf {e} _{N}\end{aligned}}}$

donde e _i y e _j son los vectores de base estándar en N dimensiones (el índice i en e _i selecciona un vector específico, no un componente del vector como en a _i ), entonces, en forma algebraica, su producto diádico es:

${\displaystyle \mathbf {ab} =\sum _{j=1}^{N}\sum _{i=1}^{N}a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}.}$

Esto se conoce como la forma noión de la diádica. Su producto externo/tensor en forma matricial es:

${\displaystyle \mathbf {ab} =\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{N}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&\cdots &a_{1}b_{N}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&\cdots &a_{2}b_{N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{N}b_{1}&a_{N}b_{2}&\cdots &a_{N}b_{N}\end{pmatrix}}.}$

Un polinomio diádico A , también conocido como diádico, se forma a partir de múltiples vectores a _i y b _j :

${\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}=\mathbf {a} _{1}\mathbf {b} _{1}+\mathbf {a} _{2}\mathbf {b} _{2}+\mathbf {a} _{3}\mathbf {b} _{3}+\ldots }$

Una diádica que no puede reducirse a una suma inferior a N diadas se dice que es completa. En este caso, los vectores de formación no son coplanares, ^{[ dudoso ]} ver Chen (1983).

Clasificación

La siguiente tabla clasifica las diádicas:

Identidades

Las siguientes identidades son consecuencia directa de la definición del producto tensorial: ^[1]

1. Compatible con la multiplicación escalar :

   ${\displaystyle (\alpha \mathbf {a} )\mathbf {b} =\mathbf {a} (\alpha \mathbf {b} )=\alpha (\mathbf {a} \mathbf {b} )}$

   para cualquier escalar . ${\displaystyle \alpha }$
2. Distributiva sobre suma de vectores :

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (\mathbf {b} +\mathbf {c} )&=\mathbf {a} \mathbf {b} +\mathbf {a} \mathbf {c} \\(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\mathbf {c} &=\mathbf {a} \mathbf {c} +\mathbf {b} \mathbf {c} \end{aligned}}}$

Álgebra diádica

Producto de diádica y vectorial.

Hay cuatro operaciones definidas sobre un vector y diádicas, construidas a partir de los productos definidos sobre vectores.

Producto de diádico y diádico.

Hay cinco operaciones de una diádica a otra diádica. Sean a , b , c , d vectores reales. Entonces:

dejando

${\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i},\quad \mathbf {B} =\sum _{j}\mathbf {c} _{j}\mathbf {d} _{j}}$

Sean dos diádicas generales, tenemos:

Producto de doble punto

La primera definición del producto de doble punto es el producto interno de Frobenius ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right)&=\sum _{i,j}\operatorname {tr} \left(\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {d} _{j}\mathbf {c} _{j}^{\mathsf {T}}\right)\\&=\sum _{i,j}\operatorname {tr} \left(\mathbf {c} _{j}^{\mathsf {T}}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {d} _{j}\right)\\&=\sum _{i,j}(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j})(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j})\\&=\mathbf {A} {}_{\centerdot }^{\centerdot }\mathbf {B} \end{aligned}}}$

Además, dado que,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}&=\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{j}^{\mathsf {T}}\right)^{\mathsf {T}}\\&=\sum _{i,j}\mathbf {b} _{i}\mathbf {a} _{j}^{\mathsf {T}}\end{aligned}}}$

lo entendemos,

${\displaystyle \mathbf {A} {}_{\centerdot }^{\centerdot }\mathbf {B} =\mathbf {A} {\underline {{}_{\centerdot }^{\centerdot }}}\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}}$

entonces la segunda definición posible del producto de doble punto es solo la primera con una transposición adicional en la segunda diádica. Por estas razones, se prefiere la primera definición del producto de doble punto, aunque algunos autores todavía utilizan la segunda.

Producto cruzado

Podemos ver que, para cualquier díada formada a partir de dos vectores a y b , su doble producto cruzado es cero.

${\displaystyle \left(\mathbf {ab} \right){}_{\times }^{\times }\left(\mathbf {ab} \right)=\left(\mathbf {a} \times \mathbf {a} \right)\left(\mathbf {b} \times \mathbf {b} \right)=0}$

Sin embargo, por definición, un producto diádico de doble traición sobre sí mismo generalmente será distinto de cero. Por ejemplo, una diádica A compuesta de seis vectores diferentes

${\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}}$

tiene un producto de autocruzamiento distinto de cero de

${\displaystyle \mathbf {A} {}_{\times }^{\times }\mathbf {A} =2\left[\left(\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\right)\left(\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2}\right)+\left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)\left(\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3}\right)+\left(\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\right)\left(\mathbf {b} _{3}\times \mathbf {b} _{1}\right)\right]}$

Contracción tensorial

El factor de estímulo o expansión surge de la expansión formal del diádico en una base de coordenadas reemplazando cada producto diádico por un producto escalar de vectores:

${\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {A} |=\qquad &A_{11}\mathbf {i} \cdot \mathbf {i} +A_{12}\mathbf {i} \cdot \mathbf {j} +A_{13}\mathbf {i} \cdot \mathbf {k} \\{}+{}&A_{21}\mathbf {j} \cdot \mathbf {i} +A_{22}\mathbf {j} \cdot \mathbf {j} +A_{23}\mathbf {j} \cdot \mathbf {k} \\{}+{}&A_{31}\mathbf {k} \cdot \mathbf {i} +A_{32}\mathbf {k} \cdot \mathbf {j} +A_{33}\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \\[6pt]=\qquad &A_{11}+A_{22}+A_{33}\end{aligned}}}$

en notación de índice, esta es la contracción de índices en la diádica:

${\displaystyle |\mathbf {A} |=\sum _{i}A_{i}{}^{i}}$

Sólo en tres dimensiones, el factor de rotación surge al reemplazar cada producto diádico por un producto cruzado.

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {A} \rangle =\qquad &A_{11}\mathbf {i} \times \mathbf {i} +A_{12}\mathbf {i} \times \mathbf {j} +A_{13}\mathbf {i} \times \mathbf {k} \\{}+{}&A_{21}\mathbf {j} \times \mathbf {i} +A_{22}\mathbf {j} \times \mathbf {j} +A_{23}\mathbf {j} \times \mathbf {k} \\{}+{}&A_{31}\mathbf {k} \times \mathbf {i} +A_{32}\mathbf {k} \times \mathbf {j} +A_{33}\mathbf {k} \times \mathbf {k} \\[6pt]=\qquad &A_{12}\mathbf {k} -A_{13}\mathbf {j} -A_{21}\mathbf {k} \\{}+{}&A_{23}\mathbf {i} +A_{31}\mathbf {j} -A_{32}\mathbf {i} \\[6pt]=\qquad &\left(A_{23}-A_{32}\right)\mathbf {i} +\left(A_{31}-A_{13}\right)\mathbf {j} +\left(A_{12}-A_{21}\right)\mathbf {k} \\\end{aligned}}}$

En notación índice, esta es la contracción de A con el tensor de Levi-Civita.

${\displaystyle \langle \mathbf {A} \rangle =\sum _{jk}{\epsilon _{i}}^{jk}A_{jk}.}$

Unidad diádica

Existe una unidad diádica, denotada por I , tal que, para cualquier vector a ,

${\displaystyle \mathbf {I} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {I} =\mathbf {a} }$

Dada una base de 3 vectores a , b y c , con base recíproca , la unidad diádica se expresa por ${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }},{\hat {\mathbf {b} }},{\hat {\mathbf {c} }}}$

${\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {a} {\hat {\mathbf {a} }}+\mathbf {b} {\hat {\mathbf {b} }}+\mathbf {c} {\hat {\mathbf {c} }}}$

En la base estándar (para las definiciones de i, j, k, consulte la sección anterior Espacio_euclidiano tridimensional),

${\displaystyle \mathbf {I} =\mathbf {ii} +\mathbf {jj} +\mathbf {kk} }$

Explícitamente, el producto escalar a la derecha de la unidad diádica es

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {I} \cdot \mathbf {a} &=(\mathbf {i} \mathbf {i} +\mathbf {j} \mathbf {j} +\mathbf {k} \mathbf {k} )\cdot \mathbf {a} \\&=\mathbf {i} (\mathbf {i} \cdot \mathbf {a} )+\mathbf {j} (\mathbf {j} \cdot \mathbf {a} )+\mathbf {k} (\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} )\\&=\mathbf {i} a_{x}+\mathbf {j} a_{y}+\mathbf {k} a_{z}\\&=\mathbf {a} \end{aligned}}}$

y a la izquierda

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {I} &=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {i} \mathbf {i} +\mathbf {j} \mathbf {j} +\mathbf {k} \mathbf {k} )\\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {i} )\mathbf {i} +(\mathbf {a} \cdot \mathbf {j} )\mathbf {j} +(\mathbf {a} \cdot \mathbf {k} )\mathbf {k} \\&=a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} \\&=\mathbf {a} \end{aligned}}}$

La matriz correspondiente es

${\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

Esto se puede plantear sobre bases más cuidadosas (explicando lo que podría significar el contenido lógico de la "notación yuxtapuesta") utilizando el lenguaje de los productos tensoriales. Si V es un espacio vectorial de dimensión finita , un tensor diádico en V es un tensor elemental en el producto tensorial de V con su espacio dual .

El producto tensorial de V y su espacio dual es isomorfo al espacio de aplicaciones lineales de V a V : un tensor diádico vf es simplemente el mapa lineal que envía cualquier w en V a f ( w ) v . Cuando V es el espacio n euclidiano , podemos usar el producto interno para identificar el espacio dual con el propio V , haciendo de un tensor diádico un producto tensorial elemental de dos vectores en el espacio euclidiano.

En este sentido, la unidad diádica ij es la función del 3-espacio hacia sí misma enviando a ₁ i + a ₂ j + a ₃ k a a ₂ i , y jj envía esta suma a a ₂ j . Ahora se revela en qué sentido (preciso) ii + jj + kk es la identidad: envía a ₁ i + a ₂ j + a ₃ k a sí mismo porque su efecto es sumar cada vector unitario en la base estándar escalada por el coeficiente del vector en esa base.

Propiedades de las diádicas unitarias

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {a} \times \mathbf {I} \right)\cdot \left(\mathbf {b} \times \mathbf {I} \right)&=\mathbf {ba} -\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right)\mathbf {I} \\\mathbf {I} {}_{\times }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {ab} \right)&=\mathbf {b} \times \mathbf {a} \\\mathbf {I} {}_{\times }^{\times }\mathbf {A} &=(\mathbf {A} {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\mathbf {I} )\mathbf {I} -\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\\\mathbf {I} {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {ab} \right)&=\left(\mathbf {I} \cdot \mathbf {a} \right)\cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathrm {tr} \left(\mathbf {ab} \right)\end{aligned}}}$

donde "tr" denota el rastro .

Ejemplos

Proyección y rechazo de vectores.

Un vector a distinto de cero siempre se puede dividir en dos componentes perpendiculares, uno paralelo (‖) a la dirección de un vector unitario n y otro perpendicular (⊥) a él;

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{\parallel }+\mathbf {a} _{\perp }}$

La componente paralela se encuentra mediante proyección vectorial , que es equivalente al producto escalar de a con la diádica nn ,

${\displaystyle \mathbf {a} _{\parallel }=\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=(\mathbf {nn} )\cdot \mathbf {a} }$

y la componente perpendicular se encuentra a partir del rechazo del vector , que es equivalente al producto escalar de a con la diádica I − nn ,

${\displaystyle \mathbf {a} _{\perp }=\mathbf {a} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=(\mathbf {I} -\mathbf {nn} )\cdot \mathbf {a} }$

Rotación diádica

rotaciones 2d

el diádico

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {ji} -\mathbf {ij} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$

es un operador de rotación de 90° en sentido antihorario en 2d. Se puede puntear a la izquierda con un vector r = x i + y j para producir el vector,

${\displaystyle (\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\cdot (x\mathbf {i} +y\mathbf {j} )=x\mathbf {ji} \cdot \mathbf {i} -x\mathbf {ij} \cdot \mathbf {i} +y\mathbf {ji} \cdot \mathbf {j} -y\mathbf {ij} \cdot \mathbf {j} =-y\mathbf {i} +x\mathbf {j} ,}$

en resumen

${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {r} =\mathbf {r} _{\mathrm {rot} }}$

o en notación matricial

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}}.}$

Para cualquier ángulo θ , la diádica de rotación 2d para una rotación en sentido antihorario en el plano es

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {I} \cos \theta +\mathbf {J} \sin \theta =(\mathbf {ii} +\mathbf {jj} )\cos \theta +(\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\sin \theta ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\;\cos \theta \end{pmatrix}}}$

donde I y J son como arriba, y la rotación de cualquier vector 2d a = a _x i + a _y j es

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {R} \cdot \mathbf {a} }$

rotaciones 3d

Se puede realizar una rotación general 3D de un vector a , alrededor de un eje en la dirección de un vector unitario ω y en sentido antihorario a través del ángulo θ , utilizando la fórmula de rotación de Rodrigues en forma diádica.

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {R} \cdot \mathbf {a} \,,}$

donde la diádica de rotación es

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {I} \cos \theta +{\boldsymbol {\Omega }}\sin \theta +{\boldsymbol {\omega \omega }}(1-\cos \theta )\,,}$

y las entradas cartesianas de ω también forman las del diádico

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=\omega _{x}(\mathbf {kj} -\mathbf {jk} )+\omega _{y}(\mathbf {ik} -\mathbf {ki} )+\omega _{z}(\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\,,}$

El efecto de Ω sobre a es el producto cruzado

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}\cdot \mathbf {a} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} }$

que es la forma diádica de la matriz de producto cruzado con un vector columna.

Transformación de Lorentz

En relatividad especial , el impulso de Lorentz con velocidad v en la dirección de un vector unitario n se puede expresar como

${\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {v\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} }{c^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {r} '=[\mathbf {I} +(\gamma -1)\mathbf {nn} ]\cdot \mathbf {r} -\gamma v\mathbf {n} t}$

dónde

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

es el factor de Lorentz .

Términos relacionados

Algunos autores generalizan desde el término diádico a términos relacionados triádico , tetrádico y poliádico . ^[2]

Ver también

• Producto Kronecker
• bivector
• Álgebra poliádica
• Vector unitario
• Multivector
• forma diferencial
• Cuaterniones
• Campo (matemáticas)

Notas

Notas explicatorias

1. El producto cruzado solo existe en espacios de productos internos orientados de tres y siete dimensiones y solo tiene buenas propiedades en espacios de productos internos tridimensionales. El producto exterior relacionado existe para todos los espacios vectoriales.

Citas

1. Spencer (1992), página 19.
2. Por ejemplo, IV Lindell y AP Kiselev (2001). "Métodos poliádicos en elastodinámica" (PDF) . Avances en la Investigación Electromagnética . 31 : 113-154. doi : 10.2528/PIER00051701 .

Referencias

• P. Mitiguy (2009). «Vectores y diádicas» (PDF) . Stanford , Estados Unidos.Capitulo 2
• Spiegel, señor; Lipschutz, S.; Spellman, D. (2009). Análisis vectorial, esquemas de Schaum . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
• AJM Spencer (1992). Mecánica de Medios Continuos . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-43594-6..
• Morse, Philip M.; Feshbach, Herman (1953), "§1.6: Dádicas y otros operadores vectoriales", Métodos de física teórica, Volumen 1 , Nueva York: McGraw-Hill , págs. 54–92, ISBN 978-0-07-043316-8, señor  0059774.
• Ismo V. Lindell (1996). Métodos de análisis de campos electromagnéticos . Wiley-Blackwell. ISBN 978-0-7803-6039-6..
• Hollis C. Chen (1983). Teoría de la onda electromagnética: un enfoque sin coordenadas . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-010688-8..
• K. Cahill (2013). Matemáticas Físicas . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1107005211.

enlaces externos

• Análisis vectorial, un libro de texto para uso de estudiantes de matemáticas y física, basado en las conferencias de J. Willard Gibbs PhD LLD, Edwind Bidwell Wilson PhD
• Teoría de campos avanzada, IV Lindel
• Análisis vectorial y diádico
• Análisis introductorio del tensor
• Nasa.gov, Fundamentos del Análisis Tensorial para estudiantes de Física e Ingeniería con una Introducción a la Teoría de la Relatividad, JC Kolecki
• Nasa.gov, Introducción a los tensores para estudiantes de Física e Ingeniería, JC Kolecki