En geometría , un plano es un subespacio afín , es decir, un subconjunto de un espacio afín que es en sí mismo un espacio afín. [1] En particular, en el caso de que el espacio padre sea euclidiano , un plano es un subespacio euclidiano que hereda la noción de distancia de su espacio padre.
En un espacio n -dimensional , hay k -planos de cada dimensión k desde 0 hasta n ; los planos una dimensión menor que el espacio padre, ( n − 1) -planos, se denominan hiperplanos .
Los planos de un plano (espacio bidimensional) son puntos , líneas y el propio plano; los planos de un espacio tridimensional son puntos, líneas, planos y el propio espacio. La definición de plano excluye las curvas no rectas y las superficies no planas , que son subespacios que tienen nociones diferentes de distancia: longitud de arco y longitud geodésica , respectivamente.
Los planos aparecen en el álgebra lineal como realizaciones geométricas de conjuntos de soluciones de sistemas de ecuaciones lineales .
Una plana es una variedad y una variedad algebraica , y a veces se denomina variedad lineal o variedad lineal para distinguirla de otras variedades o variedades.
Un plano se puede describir mediante un sistema de ecuaciones lineales . Por ejemplo, una línea en un espacio bidimensional se puede describir mediante una única ecuación lineal que involucra x e y :
En el espacio tridimensional, una única ecuación lineal que involucra x , y y z define un plano, mientras que un par de ecuaciones lineales se pueden utilizar para describir una línea. En general, una ecuación lineal en n variables describe un hiperplano, y un sistema de ecuaciones lineales describe la intersección de esos hiperplanos. Suponiendo que las ecuaciones son consistentes y linealmente independientes , un sistema de k ecuaciones describe un plano de dimensión n − k .
Un plano también puede describirse mediante un sistema de ecuaciones paramétricas lineales . Una línea puede describirse mediante ecuaciones que involucran un parámetro :
Mientras que la descripción de un avión requeriría dos parámetros:
En general, una parametrización de un plano de dimensión k requeriría k parámetros, por ejemplo t 1 , …, t k .
Una intersección de planos es un plano o el conjunto vacío .
Si cada línea que parte de un plano es paralela a alguna línea que parte de otro plano, entonces estos dos planos son paralelos . Dos planos paralelos de la misma dimensión coinciden o no se cortan; pueden describirse mediante dos sistemas de ecuaciones lineales que difieren solo en sus lados derechos.
Si los planos no se intersecan y ninguna línea que parte del primer plano es paralela a la línea que parte del segundo, se trata de planos oblicuos . Esto solo es posible si la suma de sus dimensiones es menor que la dimensión del espacio circundante.
Para dos planos de dimensiones k 1 y k 2 existe el plano mínimo que los contiene, de dimensión como máximo k 1 + k 2 + 1 . Si dos planos se cortan, entonces la dimensión del plano contenedor es igual a k 1 + k 2 menos la dimensión de la intersección.
Estas dos operaciones (conocidas como encuentro y unión ) hacen que el conjunto de todos los planos en el espacio n euclidiano sea una red y pueden construir coordenadas sistemáticas para planos en cualquier dimensión, lo que conduce a coordenadas de Grassmann o coordenadas de Grassmann duales. Por ejemplo, una línea en el espacio tridimensional está determinada por dos puntos distintos o por dos planos distintos.
Sin embargo, la red de todos los planos no es una red distributiva . Si dos líneas ℓ 1 y ℓ 2 se intersecan, entonces ℓ 1 ∩ ℓ 2 es un punto. Si p es un punto que no se encuentra en el mismo plano, entonces (ℓ 1 ∩ ℓ 2 ) + p = (ℓ 1 + p ) ∩ (ℓ 2 + p ) , ambos representan una línea. Pero cuando ℓ 1 y ℓ 2 son paralelas, esta distributividad falla, dando p en el lado izquierdo y una tercera línea paralela en el lado derecho.
Los hechos antes mencionados no dependen de que la estructura sea la del espacio euclidiano (es decir, que involucre la distancia euclidiana ) y son correctos en cualquier espacio afín . En un espacio euclidiano:
Algunos autores
también denominan
plano a un subespacio afín.
