Una impedancia equivalente es un circuito equivalente de una red eléctrica de elementos de impedancia [nota 2] que presenta la misma impedancia entre todos los pares de terminales [nota 10] que la red dada. Este artículo describe transformaciones matemáticas entre algunas redes de impedancia lineal pasivas que se encuentran comúnmente en circuitos electrónicos .
Existen varios circuitos equivalentes muy conocidos y de uso frecuente en el análisis de redes lineales . Entre ellos se incluyen los resistores en serie , los resistores en paralelo y la extensión a circuitos en serie y en paralelo para capacitores , inductores e impedancias generales. También son muy conocidos los circuitos generadores de corriente y de voltaje equivalentes de Norton y Thévenin respectivamente, al igual que la transformada Y-Δ . Ninguno de ellos se analiza en detalle aquí; se deben consultar los artículos vinculados individuales.
El número de circuitos equivalentes en los que se puede transformar una red lineal es ilimitado. Incluso en los casos más triviales se puede comprobar que esto es cierto, por ejemplo, preguntando cuántas combinaciones diferentes de resistencias en paralelo son equivalentes a una resistencia combinada dada. El número de combinaciones en serie y en paralelo que se pueden formar crece exponencialmente con el número de resistencias, n . Para n grandes, se ha descubierto mediante técnicas numéricas que el tamaño del conjunto es aproximadamente 2,53 n y los límites analíticamente estrictos se dan mediante una secuencia de Farey de números de Fibonacci . [1] Este artículo nunca podría aspirar a ser exhaustivo, pero hay algunas generalizaciones posibles. Wilhelm Cauer encontró una transformación que podía generar todos los equivalentes posibles de una impedancia lineal de un puerto racional dada [nota 9] pasiva [nota 8] o, en otras palabras, cualquier impedancia de dos terminales dada. También se encuentran comúnmente transformaciones de redes de 4 terminales, especialmente de 2 puertos, y son posibles transformaciones de redes aún más complejas.
La gran escala del tema de los circuitos equivalentes se ve subrayada en una historia contada por Sidney Darlington . Según Darlington, Ronald M. Foster encontró una gran cantidad de circuitos equivalentes , a raíz del artículo que él y George Campbell publicaron en 1920 sobre los cuatro puertos no disipativos. En el curso de este trabajo, analizaron las formas en que se podían interconectar cuatro puertos con transformadores ideales [nota 5] y la máxima transferencia de potencia. Encontraron varias combinaciones que podrían tener aplicaciones prácticas y pidieron al departamento de patentes de AT&T que las patentara. El departamento de patentes respondió que no tenía sentido patentar solo algunos de los circuitos si un competidor podía usar un circuito equivalente para evitar la patente; deberían patentarlos todos o no molestarse. Por lo tanto, Foster se puso a trabajar para calcular cada uno de ellos. Llegó a un total enorme de 83.539 equivalentes (577.722 si se incluyen diferentes relaciones de salida). Eran demasiadas para patentar, por lo que la información se hizo pública para evitar que cualquiera de los competidores de AT&T las patentara en el futuro. [2] [3]
Una sola impedancia tiene dos terminales para conectarse al mundo exterior, por lo tanto, puede describirse como una red de 2 terminales o de un puerto . A pesar de la descripción simple, no hay límite para la cantidad de mallas [nota 6] y, por lo tanto, la complejidad y la cantidad de elementos que puede tener la red de impedancia. Las redes de tipo 2 elementos [nota 4] son comunes en el diseño de circuitos; los filtros, por ejemplo, a menudo son redes de tipo LC y los diseñadores de circuitos impresos prefieren las redes de tipo RC porque los inductores son menos fáciles de fabricar. Las transformaciones son más simples y fáciles de encontrar que para las redes de tipo 3 elementos. Las redes de tipo un elemento se pueden considerar como un caso especial de tipo dos elementos. Es posible utilizar las transformaciones en esta sección en algunas redes de tipo 3 elementos sustituyendo una red de elementos por el elemento Z n . Sin embargo, esto está limitado a un máximo de dos impedancias sustituidas; el resto no será una elección libre. Todas las ecuaciones de transformación dadas en esta sección se deben a Otto Zobel . [4]
Las redes de un elemento son triviales y las redes de dos elementos, [nota 3] las redes de dos terminales son dos elementos en serie o dos elementos en paralelo, también triviales. El número más pequeño de elementos que no es trivial es tres, y hay dos transformaciones no triviales de tipo 2 elementos posibles, una es a la vez la transformación inversa y el dual topológico , de la otra. [5]
Existen cuatro transformaciones no triviales de 4 elementos para redes de 2 elementos. Dos de ellas son las transformaciones inversas de las otras dos y dos son el dual de dos elementos diferentes. Son posibles otras transformaciones en el caso especial de que Z 2 se convierta en el mismo tipo de elemento que Z 1 , es decir, cuando la red se reduce a un tipo de elemento único. El número de redes posibles continúa creciendo a medida que aumenta el número de elementos. Para todas las entradas de la siguiente tabla se define: [6]
Las redes simples con sólo unos pocos elementos pueden ser tratadas formulando las ecuaciones de red "a mano" con la aplicación de teoremas de red simples como las leyes de Kirchhoff . La equivalencia se prueba entre dos redes comparando directamente los dos conjuntos de ecuaciones e igualando los coeficientes . Para redes grandes se requieren técnicas más potentes. Un enfoque común es comenzar expresando la red de impedancias como una matriz . Este enfoque sólo es bueno para redes racionales [nota 9] . Cualquier red que incluya elementos distribuidos , como una línea de transmisión , no puede ser representada por una matriz finita. Generalmente, una red de n mallas [nota 6] requiere una matriz n x n para representarla. Por ejemplo, la matriz para una red de 3 mallas podría verse así
Las entradas de la matriz se eligen de modo que la matriz forme un sistema de ecuaciones lineales en los voltajes y corrientes de malla (como se define para el análisis de malla ):
El diagrama de ejemplo de la Figura 1, por ejemplo, se puede representar como una matriz de impedancia mediante
y el sistema asociado de ecuaciones lineales es
En el caso más general, cada rama [nota 1] Z p de la red puede estar formada por tres elementos de modo que
donde L , R y C representan inductancia , resistencia y capacitancia respectivamente y s es el operador de frecuencia complejo .
Esta es la forma convencional de representar una impedancia general, pero para los fines de este artículo es matemáticamente más conveniente tratar con la elastancia , D , la inversa de la capacitancia, C. En esos términos, la impedancia de rama general se puede representar por
Asimismo, cada entrada de la matriz de impedancia puede estar formada por la suma de tres elementos. En consecuencia, la matriz puede descomponerse en tres matrices n x n , una para cada uno de los tres tipos de elementos:
Se desea que la matriz [ Z ] represente una impedancia, Z ( s ). Para este propósito, se corta el bucle de una de las mallas y Z ( s ) es la impedancia medida entre los puntos así cortados. Es convencional suponer que el puerto de conexión externo está en la malla 1 y, por lo tanto, está conectado a través de la entrada de matriz Z 11 , aunque sería perfectamente posible formular esto con conexiones a cualquier nodo deseado. [nota 7] En la siguiente discusión , se supone que Z ( s ) se toma a través de Z 11. Z ( s ) se puede calcular a partir de [ Z ] mediante [7]
donde z 11 es el complemento de Z 11 y | Z | es el determinante de [ Z ].
Para la red de ejemplo anterior,
Este resultado se puede verificar fácilmente con el método más directo de resistencias en serie y en paralelo. Sin embargo, estos métodos se vuelven rápidamente tediosos y engorrosos a medida que aumenta el tamaño y la complejidad de la red que se analiza.
Las entradas de [ R ], [ L ] y [ D ] no se pueden establecer arbitrariamente. Para que [ Z ] pueda realizar la impedancia Z ( s ), entonces [ R ], [ L ] y [ D ] deben ser todas matrices definidas positivas . Incluso entonces, la realización de Z ( s ) contendrá, en general, transformadores ideales [nota 5] dentro de la red. Encontrar solo aquellas transformadas que no requieren inductancias mutuas o transformadores ideales es una tarea más difícil. De manera similar, si se comienza desde el "otro extremo" y se especifica una expresión para Z ( s ), esto nuevamente no se puede hacer arbitrariamente. Para ser realizable como una impedancia racional, Z ( s ) debe ser positiva-real . La condición positiva-real (PR) es necesaria y suficiente [8] pero puede haber razones prácticas para rechazar algunas topologías . [7]
Una transformación de impedancia general para encontrar puertos unidireccionales racionales equivalentes a partir de una instancia dada de [ Z ] se debe a Wilhelm Cauer . El grupo de transformaciones afines reales
es invariante en Z ( s ). Es decir, todas las redes transformadas son equivalentes según la definición dada aquí. Si la Z ( s ) para la matriz inicial dada es realizable, es decir, cumple la condición PR, entonces todas las redes transformadas producidas por esta transformación también cumplirán la condición PR. [7]
Cuando se habla de redes de 4 terminales, el análisis de redes a menudo se realiza en términos de redes de 2 puertos, lo que cubre una amplia gama de circuitos de utilidad práctica. "2 puertos", en esencia, se refiere a la forma en que la red se ha conectado al mundo exterior: que los terminales se han conectado en pares a una fuente o carga. Es posible tomar exactamente la misma red y conectarla a circuitos externos de tal manera que ya no se comporte como una red de 2 puertos. Esta idea se demuestra en la Figura 2.
Una red de 3 terminales también puede utilizarse como una de 2 puertos. Para lograr esto, uno de los terminales se conecta en común a un terminal de ambos puertos. En otras palabras, un terminal se ha dividido en dos terminales y la red se ha convertido efectivamente en una red de 4 terminales. Esta topología se conoce como topología desequilibrada y se opone a la topología equilibrada. La topología equilibrada requiere, haciendo referencia a la Figura 3, que la impedancia medida entre los terminales 1 y 3 sea igual a la impedancia medida entre 2 y 4. Se trata de los pares de terminales que no forman puertos: el caso en el que los pares de terminales que forman puertos tienen la misma impedancia se denomina simétrico . En sentido estricto, cualquier red que no cumpla con la condición de equilibrio está desequilibrada, pero el término se refiere con mayor frecuencia a la topología de 3 terminales descrita anteriormente y en la Figura 3. Transformar una red desequilibrada de 2 puertos en una red equilibrada suele ser bastante sencillo: todos los elementos conectados en serie se dividen por la mitad y una mitad se reubica en lo que era la rama común. La transformación de una topología equilibrada a una desequilibrada suele ser posible con la transformación inversa, pero hay ciertos casos de determinadas topologías que no se pueden transformar de esta manera. Por ejemplo, consulte la discusión sobre las transformaciones de red a continuación.
Un ejemplo de una transformación de red de 3 terminales que no está restringida a 2 puertos es la transformación Y-Δ . Esta es una transformación particularmente importante para encontrar impedancias equivalentes. Su importancia surge del hecho de que la impedancia total entre dos terminales no se puede determinar únicamente calculando combinaciones en serie y en paralelo, excepto para una cierta clase restringida de red. En el caso general, se requieren transformaciones adicionales. La transformación Y-Δ, su inversa, la transformación Δ-Y, y los análogos n -terminales de estas dos transformaciones ( transformaciones estrella-polígono ) representan las transformaciones adicionales mínimas requeridas para resolver el caso general. La serie y el paralelo son, de hecho, las versiones de 2 terminales de la topología en estrella y polígono. Una topología simple común que no se puede resolver mediante combinaciones en serie y en paralelo es la impedancia de entrada a una red en puente (excepto en el caso especial cuando el puente está en equilibrio). [9] El resto de las transformaciones en esta sección están restringidas para usarse solo con 2 puertos.
Las redes simétricas de 2 puertos se pueden transformar en redes reticulares mediante el teorema de bisección de Bartlett . El método se limita a las redes simétricas, pero incluye muchas topologías que se encuentran comúnmente en filtros, atenuadores y ecualizadores . La topología reticular está intrínsecamente equilibrada, no existe una contraparte desequilibrada de la reticular y, por lo general, requerirá más componentes que la red transformada.
Las transformaciones inversas de una topología reticular a una topología desequilibrada no siempre son posibles en términos de componentes pasivos. Por ejemplo, esta transformación:
No se puede realizar con componentes pasivos debido a los valores negativos que surgen en el circuito transformado. Sin embargo, se puede realizar si se permiten inductancias mutuas y transformadores ideales, por ejemplo, en este circuito . Otra posibilidad es permitir el uso de componentes activos que permitan realizar impedancias negativas directamente como componentes del circuito. [13]
A veces puede ser útil realizar una transformación de este tipo, no con el propósito de construir realmente el circuito transformado, sino más bien, con el propósito de ayudar a comprender cómo funciona el circuito original. El siguiente circuito en topología en T puenteada es una modificación de una sección en T de filtro derivado de m en serie media . El circuito se debe a Hendrik Bode , quien afirma que la adición de la resistencia de puente de un valor adecuado cancelará la resistencia parásita del inductor en derivación. La acción de este circuito es clara si se transforma en topología en T: en esta forma hay una resistencia negativa en la rama en derivación que se puede hacer que sea exactamente igual a la resistencia parásita positiva del inductor. [14]
Cualquier red simétrica puede transformarse en cualquier otra red simétrica mediante el mismo método, es decir, primero transformándola en la forma reticular intermedia (omitida para mayor claridad en el ejemplo de transformación anterior) y luego desde la forma reticular a la forma objetivo requerida. Al igual que en el ejemplo, esto generalmente dará como resultado elementos negativos, excepto en casos especiales. [15]
Un teorema de Sidney Darlington establece que cualquier función PR Z ( s ) puede realizarse como un puerto doble sin pérdidas terminado en una resistencia positiva R. Es decir, independientemente de cuántas resistencias figuren en la matriz [ Z ] que representa la red de impedancia, se puede encontrar una transformación que realice la red completamente como una red de tipo LC con solo una resistencia en el puerto de salida (que normalmente representaría la carga). No se necesitan resistencias dentro de la red para realizar la respuesta especificada. En consecuencia, siempre es posible reducir redes de 2 puertos de tipo 3 elementos a redes de 2 puertos de tipo 2 elementos (LC) siempre que el puerto de salida termine en una resistencia del valor requerido. [8] [16] [17]
Una transformación elemental que se puede realizar con transformadores ideales y algún otro elemento de impedancia es desplazar la impedancia hacia el otro lado del transformador. En todas las transformaciones siguientes, r es la relación de vueltas del transformador.
Estas transformaciones no se aplican únicamente a elementos individuales; se pueden pasar redes enteras a través del transformador. De esta manera, el transformador se puede desplazar por la red hasta una ubicación más conveniente.
Darlington ofrece una transformación equivalente que puede eliminar por completo un transformador ideal. Esta técnica requiere que el transformador esté junto a (o sea posible moverlo junto a) una red en "L" de impedancias del mismo tipo. La transformación en todas las variantes da como resultado que la red en "L" esté orientada en sentido opuesto, es decir, topológicamente reflejada. [2]
El ejemplo 3 muestra que el resultado es una red Π en lugar de una red L. La razón de esto es que el elemento de derivación tiene más capacitancia que la requerida por la transformada, por lo que aún queda algo después de aplicar la transformada. Si el exceso estuviera en cambio en el elemento más cercano al transformador, esto podría solucionarse desplazando primero el exceso al otro lado del transformador antes de realizar la transformada. [2]
![{\displaystyle \mathbf {[Z]} ={\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{12}&Z_{13}\\Z_{21}&Z_{22}&Z_{23}\\Z_{31}&Z_ {32}&Z_{33}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a3ad5a75d23711b0a6b9076315e08048ecc6ad5)
![{\displaystyle \mathbf {[V]} =\mathbf {[Z][I]} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7641bc53ed8dad8a6ced24e7e09a788235db0736)
![{\displaystyle \mathbf {[Z]} ={\begin{bmatrix}R_{1}+R_{2}&-R_{2}\\-R_{2}&R_{2}+R_{3}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3307f9ced33526217885f1024e854e23610efc0)
![{\displaystyle s\mathbf {[Z]} = s^{2}\mathbf {[L]} + s\mathbf {[R]} +\mathbf {[D]} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f37cbea3f2334c58706db3ad40139f76d8d1f375)
![{\displaystyle \mathbf {[Z']} =\mathbf {[T]} ^{T}\mathbf {[Z]} \mathbf {[T]} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e7b431d0275bca3e9a12be141b0630c789867b2)
![{\displaystyle \mathbf {[T]} ={\begin{bmatrix}1&0\cdots 0\\T_{21}&T_{22}\cdots T_{2n}\\\cdot &\cdots \\T_{n1}&T_{n2}\cdots T_{nn}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5843c3ee96f594963075b4131cc46dbf79ad3593)