El teorema de bisección de Bartlett es un teorema eléctrico en análisis de redes atribuido a Albert Charles Bartlett . El teorema muestra que cualquier red simétrica de dos puertos se puede transformar en una red reticular . [1] El teorema aparece a menudo en la teoría de filtros , donde la red reticular a veces se conoce como sección X de filtro siguiendo la práctica común de la teoría de filtros de nombrar secciones según letras alfabéticas con las que se parecen.
El teorema establecido originalmente por Bartlett requería que las dos mitades de la red fueran topológicamente simétricas. Posteriormente, Wilhelm Cauer amplió el teorema para aplicarlo a todas las redes eléctricamente simétricas. Es decir, la implementación física de la red no tiene ninguna relevancia. Sólo se requiere que su respuesta en ambas mitades sea simétrica. [2]
Los filtros de topología reticular no son muy comunes. La razón de esto es que requieren más componentes (especialmente inductores ) que otros diseños. La topología en escalera es mucho más popular. Sin embargo, tienen la propiedad de estar intrínsecamente equilibrados y una versión equilibrada de otra topología , como las secciones en T, puede acabar utilizando más inductores. Una aplicación es para filtros de corrección de fase de paso total en líneas de telecomunicaciones balanceadas. El teorema también aparece en el diseño de filtros de cristal en frecuencias de RF. Aquí las topologías en escalera tienen algunas propiedades indeseables, pero una estrategia de diseño común es comenzar desde una implementación en escalera debido a su simplicidad. Luego se utiliza el teorema de Bartlett para transformar el diseño a una etapa intermedia como un paso hacia la implementación final (usando un transformador para producir una versión desequilibrada de la topología reticular). [3]
Comience con una red de dos puertos , N, con un plano de simetría entre los dos puertos . Luego corte N a través de su plano de simetría para formar dos nuevos dos puertos idénticos, 1/2 N. Conecte dos generadores de voltaje idénticos a los dos puertos de N. De la simetría se desprende claramente que no fluirá corriente a través de ninguna rama que pase por el plano de simetría. La impedancia medida en un puerto de N en estas circunstancias será la misma que la impedancia medida si todas las ramas que pasan por el plano de simetría estuvieran en circuito abierto. Por lo tanto, es la misma impedancia que la impedancia del circuito abierto de 1/2 N. Llamemos a eso impedancia .
Ahora considere la red N con dos generadores de voltaje idénticos conectados a los puertos pero con polaridad opuesta. Así como la superposición de corrientes a través de las ramas en el plano de simetría debe ser cero en el caso anterior, por analogía y aplicando el principio de dualidad , la superposición de voltajes entre nodos en el plano de simetría también debe ser cero en este caso. Por tanto, la impedancia de entrada es la misma que la impedancia de cortocircuito de 1/2 N. Llamemos a eso impedancia .
El teorema de bisección de Bartlett establece que la red N es equivalente a una red reticular con ramas en serie y ramas cruzadas de . [4]
Considere la red reticular que se muestra con generadores idénticos, E, conectados a cada puerto. De la simetría y la superposición se desprende claramente que por las ramas en serie no fluye corriente alguna . De este modo, esas ramas pueden eliminarse y dejarse en circuito abierto sin ningún efecto sobre el resto del circuito. Esto deja un circuito con un voltaje de 2E y una impedancia de dar una corriente en el circuito de;
y una impedancia de entrada de;
como se requiere para la equivalencia con los dos puertos originales.
De manera similar, invertir uno de los generadores da como resultado, mediante un argumento idéntico, un bucle con una impedancia de y una impedancia de entrada de;
Recordando que estas configuraciones del generador son la forma precisa en que se definieron en los dos puertos originales, se demuestra que la red es equivalente para esos dos casos. Se demuestra que esto es así para todos los casos considerando que todas las demás condiciones de entrada y salida pueden expresarse como una superposición lineal de los dos casos ya demostrados.
Es posible utilizar la transformación de Bartlett a la inversa; es decir, transformar una red reticular simétrica en alguna otra topología simétrica. Los ejemplos mostrados arriba también podrían haberse mostrado al revés. Sin embargo, a diferencia de los ejemplos anteriores, el resultado no siempre es físicamente realizable con componentes pasivos lineales. Esto se debe a que existe la posibilidad de que la transformación inversa genere componentes con valores negativos. Las cantidades negativas sólo pueden realizarse físicamente con componentes activos presentes en la red.
Existe una extensión del teorema de Bartlett que permite modificar una red de filtro simétrica que opera entre terminaciones de impedancia de entrada y salida iguales para impedancias de fuente y carga desiguales. Este es un ejemplo de escalado de impedancia de un filtro prototipo . La red simétrica se divide en dos a lo largo de su plano de simetría. La mitad está escalada en impedancia a la impedancia de entrada y la otra mitad está escalada a la impedancia de salida. La forma de respuesta del filtro sigue siendo la misma. Esto no equivale a una red de adaptación de impedancias ; las impedancias que llegan a los puertos de la red no guardan relación con las impedancias de terminación. Esto significa que una red diseñada según el teorema de Bartlett, si bien tiene exactamente la respuesta del filtro predicha, también agrega una atenuación constante además de la respuesta del filtro. En las redes de adaptación de impedancias, un criterio de diseño habitual es maximizar la transferencia de potencia. La respuesta de salida tiene "la misma forma" en relación con el voltaje del generador ideal teórico que impulsa la entrada. No es lo mismo en relación con el voltaje de entrada real que entrega el generador ideal teórico a través de su impedancia de carga. [5] [6]
La ganancia constante debida a la diferencia entre las impedancias de entrada y salida viene dada por;
Tenga en cuenta que es posible que esto sea mayor que la unidad, es decir, es posible una ganancia de voltaje, pero siempre se pierde energía.
