En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una sección es una inversa derecha de algún morfismo . Dualmente , una retracción es una inversa izquierda de algún morfismo . En otras palabras, si y son morfismos cuya composición es el morfismo identidad en , entonces es una sección de y es una retracción de . [1]
Cada sección es un monomorfismo (todo morfismo con una inversa a la izquierda es cancelativo por la izquierda ), y cada retracción es un epimorfismo (todo morfismo con una inversa a la derecha es cancelativo por la derecha ).
En álgebra , las secciones también se denominan monomorfismos divididos y las retracciones también se denominan epimorfismos divididos . En una categoría abeliana , si es un epimorfismo dividido con monomorfismo dividido , entonces es isomorfo a la suma directa de y al núcleo de . El sinónimo corretracción para sección se ve a veces en la literatura, aunque rara vez en trabajos recientes.
El concepto de retracción en la teoría de categorías proviene de la noción esencialmente similar de retracción en topología : donde es un subespacio de es una retracción en el sentido topológico, si es una retracción del mapa de inclusión en el sentido de la teoría de categorías. El concepto en topología fue definido por Karol Borsuk en 1931. [2]
El alumno de Borsuk, Samuel Eilenberg , fue junto a Saunders Mac Lane el fundador de la teoría de categorías y (como las primeras publicaciones sobre teoría de categorías se referían a varios espacios topológicos) se podría haber esperado que este término se hubiera utilizado inicialmente. De hecho, sus publicaciones anteriores, hasta, por ejemplo, la Homología de Mac Lane (1963) , utilizaron el término inversa derecha. No fue hasta 1965 cuando Eilenberg y John Coleman Moore acuñaron el término dual 'corretracción' que el término de Borsuk fue elevado a la teoría de categorías en general. [3] El término corretracción dio paso al término sección a fines de la década de 1960.
Tanto el uso de izquierda/derecha inversa como el de sección/retracción se ven comúnmente en la literatura: el primer uso tiene la ventaja de que es familiar a partir de la teoría de semigrupos y monoides ; el último es considerado menos confuso por algunos porque uno no tiene que pensar en "en qué dirección" va la composición, un problema que se ha vuelto mayor con la creciente popularidad del sinónimo para . [4]
En la categoría de conjuntos , todo monomorfismo ( función inyectiva ) con un dominio no vacío es una sección, y todo epimorfismo ( función sobreyectiva ) es una retracción; este último enunciado es equivalente al axioma de elección .
En la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo K , todo monomorfismo y todo epimorfismo se desdobla; esto se desprende del hecho de que las aplicaciones lineales pueden definirse de manera única especificando sus valores sobre una base .
En la categoría de grupos abelianos , el epimorfismo Z → Z /2 Z que envía cada entero a su resto módulo 2 no se desdobla; de hecho, el único morfismo Z /2 Z → Z es la función cero . De manera similar, el monomorfismo natural Z /2 Z → Z /4 Z no se desdobla aunque exista un morfismo no trivial Z /4 Z → Z /2 Z .
El concepto categórico de sección es importante en álgebra homológica , y también está estrechamente relacionado con la noción de sección de un haz de fibras en topología : en el último caso, una sección de un haz de fibras es una sección del mapa de proyección del haz de fibras.
Dado un espacio cociente con mapa cociente , una sección de se llama transversal .
