En matemáticas , y más específicamente en álgebra homológica , el lema de división establece que en cualquier categoría abeliana , las siguientes afirmaciones son equivalentes para una secuencia corta y exacta
Si alguna de estas afirmaciones se cumple, la secuencia se denomina secuencia exacta dividida y se dice que la secuencia se divide .
En la breve secuencia exacta anterior, donde la secuencia se divide, permite refinar el primer teorema de isomorfismo , que establece que:
a:
donde el primer teorema de isomorfismo es entonces solo la proyección sobre C .
Es una generalización categórica del teorema de rango-nulidad (en la forma V ≅ ker T ⊕ im T ) en álgebra lineal .
Primero, para demostrar que 3. implica tanto 1. como 2., asumimos 3. y tomamos como t la proyección natural de la suma directa sobre A , y tomamos como u la inyección natural de C en la suma directa.
Para demostrar que 1. implica 3., primero observe que cualquier miembro de B está en el conjunto ( ker t + im q ). Esto se deduce que para todo b en B , b = ( b − qt ( b )) + qt ( b ) ; qt ( b ) está en im q , y b − qt ( b ) está en ker t , ya que
A continuación, la intersección de im q y ker t es 0, ya que si existe a en A tal que q ( a ) = b y t ( b ) = 0 , entonces 0 = tq ( a ) = a ; y por tanto, b = 0 .
Esto prueba que B es la suma directa de im q y ker t . Entonces, para todo b en B , b puede identificarse de forma única mediante algún a en A , k en ker t , tal que b = q ( a ) + k .
Por exactitud ker r = im q . La subsecuencia B ⟶ C ⟶ 0 implica que r es sobre ; por lo tanto, para cualquier c en C existe algún b = q ( a ) + k tal que c = r ( b ) = r ( q ( a ) + k ) = r ( k ) . Por lo tanto, para cualquier c en C , existe k en ker t tal que c = r ( k ) y r (ker t ) = C.
Si r ( k ) = 0 , entonces k está en im q ; desde la intersección de im q y ker t = 0 , entonces k = 0 . Por tanto, la restricción r : ker t → C es un isomorfismo; y ker t es isomorfo a C .
Finalmente, im q es isomorfo a A debido a la exactitud de 0 ⟶ A ⟶ B ; entonces B es isomorfo a la suma directa de A y C , lo que prueba (3).
Para demostrar que 2. implica 3., seguimos un argumento similar. Cualquier miembro de B está en el conjunto ker r + im u ; ya que para todo b en B , b = ( b − ur ( b )) + ur ( b ) , que está en ker r + im u . La intersección de ker r e im u es 0 , ya que si r ( b ) = 0 y u ( c ) = b , entonces 0 = ru ( c ) = c .
Para ser exactos, im q = ker r , y dado que q es una inyección , im q es isomorfo a A , por lo que A es isomorfo a ker r . Dado que ru es una biyección , u es una inyección y, por tanto, im u es isomorfo a C. Entonces B es nuevamente la suma directa de A y C.
Una prueba alternativa, " sin sentido abstracto ", del lema de división puede formularse enteramente en términos de teoría de categorías .
En la forma indicada aquí, el lema de división no se cumple en la categoría completa de grupos , que no es una categoría abeliana.
Es parcialmente cierto: si se deja una secuencia corta y exacta de grupos dividida o una suma directa (1. o 3.), entonces se cumplen todas las condiciones. Para una suma directa esto está claro, ya que se puede inyectar o proyectar a los sumandos. Para una secuencia dividida por la izquierda, el mapa t × r : B → A × C da un isomorfismo, por lo que B es una suma directa (3.), y así invertir el isomorfismo y componer con la inyección natural C → A × C da un inyección C → B división r (2.).
Sin embargo, si una secuencia corta y exacta de grupos se divide por la derecha (2.), entonces no es necesario que se divida por la izquierda o sea una suma directa (ni 1. ni 3. siguen): el problema es que la imagen de la división por la derecha no necesita ser dividida por la derecha. sé normal . Lo que es cierto en este caso es que B es un producto semidirecto , aunque en general no es un producto directo .
Para formar un contraejemplo, tomemos el grupo no abeliano más pequeño B ≅ S 3 , el grupo simétrico de tres letras. Sea A el subgrupo alterno y sea C = B / A ≅ {±1 }. Sean q y r el mapa de inclusión y el mapa de signos respectivamente, de modo que
es una secuencia corta y exacta. 3. falla, porque S 3 no es abeliano, pero 2. se cumple: podemos definir u : C → B asignando el generador a cualquier ciclo de dos . Tenga en cuenta que 1. falla: cualquier mapa t : B → A debe asignar cada dos ciclos a la identidad porque el mapa tiene que ser un homomorfismo de grupo , mientras que el orden de un ciclo de dos es 2, que no se puede dividir por el orden de los elementos en A distinto del elemento identidad, que es 3 ya que A es el subgrupo alterno de S 3 , o es decir, el grupo cíclico de orden 3. Pero cada permutación es un producto de dos ciclos, por lo que t es el aplicación trivial, de donde tq : A → A es la aplicación trivial, no la identidad.
