astroide

Curva generada al hacer rodar un círculo dentro de otro círculo con 4x o (4/3)x el radio

astroide

La construcción hipocicloide del astroide.

Astroide x ^{2 ⁄ 3} + y ^{2 ⁄ 3} = r ^{2 ⁄ 3} como la envolvente común de una familia de elipses de ecuación ( x ⁄ a ) ² + ( y ⁄ b ) ² = r ² , donde a + b = 1 .

La envoltura de una escalera (líneas de colores en el cuadrante superior derecho) que se desliza por una pared vertical y sus reflejos (otros cuadrantes) es un astroide. Los puntos medios trazan un círculo mientras que otros puntos trazan elipses similares a la figura anterior. En el archivo SVG, coloque el cursor sobre una escalera para resaltarla.

Astroide como evolución de elipse

En matemáticas , una astroide es un tipo particular de curva de ruleta : una hipocicloide con cuatro cúspides . Específicamente, es el lugar geométrico de un punto en un círculo cuando rueda dentro de un círculo fijo con cuatro veces el radio . ^[1] Por generación doble, también es el lugar geométrico de un punto en un círculo que rueda dentro de un círculo fijo con 4/3 veces el radio. También se puede definir como la envolvente de un segmento de recta de longitud fija que se mueve manteniendo un punto final en cada uno de los ejes. Es por tanto la envolvente de la barra móvil en el trasmallo de Arquímedes .

Su nombre moderno proviene de la palabra griega que significa " estrella ". Fue propuesta, originalmente en la forma de "Astrois", por Joseph Johann von Littrow en 1838. ^{[2] [3]} La curva tenía una variedad de nombres, incluyendo tetracúspide (aún en uso), cubocicloide y paraciclo . Tiene una forma casi idéntica a la evolución de una elipse.

Ecuaciones

Si el radio del círculo fijo es a entonces la ecuación viene dada por ^[4] Esto implica que un astroide también es una superelipse . $${\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.}$$

Las ecuaciones paramétricas son $${\displaystyle {\begin{aligned}x=a\cos ^{3}t&={\frac {a}{4}}\left(3\cos \left(t\right)+\cos \left(3t\right)\right),\\[2ex]y=a\sin ^{3}t&={\frac {a}{4}}\left(3\sin \left(t\right)-\sin \left(3t\right)\right).\end{aligned}}}$$

La ecuación del pedal con respecto al origen es $${\displaystyle r^{2}=a^{2}-3p^{2},}$$

la ecuación de Whewell es y la ecuación de Cesàro es $${\displaystyle s={3a \over 4}\cos 2\varphi ,}$$ $${\displaystyle R^{2}+4s^{2}={\frac {9a^{2}}{4}}.}$$

La ecuación polar es ^[5] $${\displaystyle r={\frac {a}{\left(\cos ^{2/3}\theta +\sin ^{2/3}\theta \right)^{3/2}}}.}$$

El astroide es un lugar real de una curva algebraica plana de género cero. Tiene la ecuación ^[6] $${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}+27a^{2}x^{2}y^{2}=0.}$$

La astroide es, por tanto, una curva algebraica real de grado seis.

Derivación de la ecuación polinómica

La ecuación polinómica se puede derivar de la ecuación de Leibniz mediante álgebra elemental: $${\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.}$$

Cubo de ambos lados: $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{6/3}+3x^{4/3}y^{2/3}+3x^{2/3}y^{4/3}+y^{6/3}&=a^{6/3}\\[1.5ex]x^{2}+3x^{2/3}y^{2/3}\left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)+y^{2}&=a^{2}\\[1ex]x^{2}+y^{2}-a^{2}&=-3x^{2/3}y^{2/3}\left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)\end{aligned}}}$$

Vuelva a cubos ambos lados: $${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}=-27x^{2}y^{2}\left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)^{3}}$$

Pero desde: $${\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\,}$$

Resulta que $${\displaystyle \left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)^{3}=a^{2}.}$$

Por lo tanto: o $${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}=-27x^{2}y^{2}a^{2}}$$ $${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}+27x^{2}y^{2}a^{2}=0.}$$

Propiedades métricas

Área cerrada ^[7]

${\displaystyle {\frac {3}{8}}\pi a^{2}}$

Longitud de la curva

${\displaystyle 6a}$

Volumen de la superficie de revolución del área encerrada alrededor del eje x .

${\displaystyle {\frac {32}{105}}\pi a^{3}}$

Área de superficie de revolución alrededor del eje x

${\displaystyle {\frac {12}{5}}\pi a^{2}}$

Propiedades

El astroide tiene cuatro singularidades cúspides en el plano real, los puntos de la estrella. Tiene dos singularidades de cúspide más complejas en el infinito y cuatro puntos dobles complejos, para un total de diez singularidades.

La curva dual del astroide es la curva cruciforme con ecuación. La evoluta de un astroide es un astroide dos veces más grande. ${\textstyle x^{2}y^{2}=x^{2}+y^{2}.}$

El astroide tiene sólo una línea tangente en cada dirección orientada, lo que lo convierte en un ejemplo de erizo . ^[8]

Ver también

• Cardioide : una epicicloide con una cúspide.
• Nefroide : una epicicloide con dos cúspides.
• Deltoides : un hipocicloide con tres cúspides.
• Astroide Stoner-Wohlfarth : un uso de esta curva en magnetismo
• espirógrafo

Referencias

1. Yates
2. JJ contra Littrow (1838). "§99. Los astrois". Kurze Anleitung zur gesammten Mathematik . Viena. pag. 299.
3. Loria, Gino (1902). Spezielle algebraische und trasscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Leipzig. págs.224.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace )
4. Yates, para la sección
5. Weisstein, Eric W. "Astroide". MundoMatemático .
6. En la p. 3 de http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/Astroid_dir/astroid.pdf
7. Yates, para la sección
8. Nishimura, Takashi; Sakemi, Yu (2011). "Vista desde dentro". Revista de Matemáticas de Hokkaido . 40 (3): 361–373. doi : 10.14492/hokmj/1319595861 . SEÑOR  2883496.

• J. Dennis Lawrence (1972). Un catálogo de curvas de planos especiales . Publicaciones de Dover. págs. 4–5, 34–35, 173–174. ISBN 0-486-60288-5.
• Pozos D (1991). Diccionario pingüino de geometría curiosa e interesante . Nueva York: Penguin Books. págs. 10-11. ISBN 0-14-011813-6.
• RC Yates (1952). "Astroide". Un manual sobre curvas y sus propiedades . Ann Arbor, Michigan: JW Edwards. págs.1 y sigs.

enlaces externos

• "Astroid", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Astroid" en el archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor
• "Astroid" en la enciclopedia de formas matemáticas notables
• Artículo en 2dcurves.com
• Diccionario visual de curvas planas especiales, Xah Lee
• Barras de un astroide de Sándor Kabai, The Wolfram Demonstrations Project .