Dos figuras en un plano están en perspectiva desde un punto O , llamado centro de perspectividad , si las líneas que unen los puntos correspondientes de las figuras se encuentran todas en O . Dualmente , se dice que las figuras están en perspectiva desde una línea si los puntos de intersección de las líneas correspondientes se encuentran todos en una línea. El contexto adecuado para este concepto es la geometría proyectiva , donde no habrá casos especiales debido a líneas paralelas ya que todas las líneas se encuentran. Aunque aquí se enuncia para figuras en un plano, el concepto se extiende fácilmente a dimensiones superiores.
La línea que pasa por los puntos donde se cortan los lados correspondientes de la figura se conoce como eje de perspectividad , eje de perspectiva , eje de homología o, arcaicamente, perspectriz . Se dice que las figuras están en perspectiva desde este eje. El punto en el que se cortan las líneas que unen los vértices correspondientes de las figuras en perspectiva se llama centro de perspectividad , centro de perspectiva , centro de homología , polo o, arcaicamente, perspector . Se dice que las figuras están en perspectiva desde este centro. [1]
Si cada una de las figuras en perspectiva consta de todos los puntos de una línea (una serie ), entonces la transformación de los puntos de una serie en la otra se denomina perspectividad central . Una transformación dual, que lleva todas las líneas a través de un punto (un lápiz ) a otro lápiz por medio de un eje de perspectividad, se denomina perspectividad axial . [2]
Un caso especial importante se da cuando las figuras son triángulos . Dos triángulos que están en perspectiva desde un punto se dice que están en perspectiva central y se denominan par central . Dos triángulos que están en perspectiva desde una línea se denominan en perspectiva axial y par axial . [3]
Karl von Staudt introdujo la notación para indicar que los triángulos ABC y abc son perspectivos. [4]
El teorema de Desargues establece que un par central de triángulos es axial. La afirmación inversa, que un par axial de triángulos es central, es equivalente (cualquiera puede usarse para demostrar la otra). El teorema de Desargues puede demostrarse en el plano proyectivo real y, con modificaciones adecuadas para casos especiales, en el plano euclidiano . Los planos proyectivos en los que la perspectividad central y axial de los triángulos son equivalentes se denominan planos desarguesianos .
Hay diez puntos asociados a estos dos tipos de perspectiva: seis en los dos triángulos, tres en el eje de la perspectividad y uno en el centro de la perspectividad. Dually , también hay diez líneas asociadas a dos triángulos de perspectiva: tres lados de los triángulos, tres líneas a través del centro de la perspectividad y el eje de la perspectividad. Estos diez puntos y diez líneas forman una instancia de la configuración de Desargues .
Si dos triángulos son una pareja central de al menos dos maneras diferentes (con dos asociaciones diferentes de vértices correspondientes y dos centros diferentes de perspectividad), entonces son perspectiva de tres maneras. Esta es una de las formas equivalentes del teorema de Pappus (hexágono) . [5] Cuando esto sucede, los nueve puntos asociados (seis vértices del triángulo y tres centros) y las nueve líneas asociadas (tres a través de cada centro de perspectiva) forman una instancia de la configuración de Pappus .
La configuración de Reye está formada por cuatro tetraedros en perspectiva cuádruple de forma análoga a la configuración de Pappus.
