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Identidad aditiva

En matemáticas , la identidad aditiva de un conjunto que está equipado con la operación de adición es un elemento que, cuando se suma a cualquier elemento x del conjunto, da como resultado x . Una de las identidades aditivas más conocidas es el número de las matemáticas elementales , pero las identidades aditivas aparecen en otras estructuras matemáticas donde se define la adición, como en grupos y anillos .

Ejemplos elementales

Definición formal

Sea N un grupo cerrado bajo la operación de adición , denotado + . Una identidad aditiva para N , denotada e , es un elemento en N tal que para cualquier elemento n en N ,

Más ejemplos

Propiedades

La identidad aditiva es única en un grupo.

Sea ( G , +) un grupo y sean 0 y 0' en G ambos identidades aditivas, por lo que para cualquier g en G ,

De lo anterior se desprende que

La identidad aditiva aniquila los elementos del anillo.

En un sistema con una operación de multiplicación que se distribuye sobre la suma, la identidad aditiva es un elemento absorbente multiplicativo , lo que significa que para cualquier s en S , s · 0 = 0. Esto se deduce porque:

Las identidades aditivas y multiplicativas son diferentes en un anillo no trivial

Sea R un anillo y supongamos que la identidad aditiva 0 y la identidad multiplicativa 1 son iguales, es decir, 0 = 1. Sea r cualquier elemento de R. Entonces

demostrando que R es trivial, es decir, R = {0}. Por lo tanto, se muestra el contrapositivo , es decir, que si R no es trivial, entonces 0 no es igual a 1.

Véase también

Referencias

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Identidad aditiva". mathworld.wolfram.com . Consultado el 7 de septiembre de 2020 .

Bibliografía

Enlaces externos