Electrostática

Estudio de cargas eléctricas estacionarias o de movimiento lento.

Cacahuetes de espuma adheridos al pelaje de un gato debido a la electricidad estática . El campo eléctrico del pelaje cargado provoca la polarización de las moléculas de la espuma debido a la inducción electrostática , lo que da como resultado una ligera atracción de las piezas de plástico ligeras hacia el pelaje. ^{[1] [2] [3] [4]} Este efecto también es la causa de la adherencia estática en la ropa.

La electrostática es una rama de la física que estudia las cargas eléctricas de movimiento lento o estacionarias .

Desde la época clásica se sabe que algunos materiales, como el ámbar , atraen partículas ligeras tras frotarlos . La palabra griega para ámbar, ἤλεκτρον ( ḗlektron ), fue así el origen de la palabra electricidad . Los fenómenos electrostáticos surgen de las fuerzas que ejercen entre sí las cargas eléctricas. Dichas fuerzas se describen mediante la ley de Coulomb .

Hay muchos ejemplos de fenómenos electrostáticos, desde aquellos tan simples como la atracción de un envoltorio de plástico hacia la mano después de sacarlo de un paquete, hasta la explosión aparentemente espontánea de silos de granos, el daño de componentes electrónicos durante la fabricación y el funcionamiento de fotocopiadoras e impresoras láser .

El modelo electrostático predice con precisión los fenómenos eléctricos en casos "clásicos" en los que las velocidades son bajas y el sistema es macroscópico, por lo que no intervienen efectos cuánticos. También desempeña un papel en la mecánica cuántica, donde también es necesario incluir términos adicionales.

Ley de Coulomb

La ley de Coulomb establece que: ^[5]

La magnitud de la fuerza electrostática de atracción o repulsión entre dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de las magnitudes de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas.

La fuerza se ejerce a lo largo de la línea recta que las une. Si las dos cargas tienen el mismo signo, la fuerza electrostática entre ellas es repulsiva; si tienen signos diferentes, la fuerza entre ellas es atractiva.

Si es la distancia (en metros ) entre dos cargas, entonces la fuerza entre dos cargas puntuales y es: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle F={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}{|Qq| \over r^{2}},}$

donde ε ₀ =8.854 187 8188 (14) × 10 ⁻¹²  F⋅m ⁻¹ ‍ [ ^6] es la permitividad del vacío . ^[7]

La unidad SI de ε ₀ es equivalentemente A ² ⋅ s ⁴ ⋅kg ⁻¹ ⋅m ⁻³ o C ² ⋅ N ⁻¹ ⋅m ⁻² o F ⋅m ⁻¹ .

Campo eléctrico

El campo electrostático (líneas con flechas) de una carga positiva (+) cercana hace que las cargas móviles en objetos conductores se separen debido a la inducción electrostática . Las cargas negativas (azules) son atraídas y se mueven hacia la superficie del objeto que está frente a la carga externa. Las cargas positivas (rojas) son repelidas y se mueven hacia la superficie opuesta. Estas cargas superficiales inducidas tienen exactamente el tamaño y la forma adecuados, por lo que su campo eléctrico opuesto cancela el campo eléctrico de la carga externa en todo el interior del metal. Por lo tanto, el campo electrostático en todas partes dentro de un objeto conductor es cero y el potencial electrostático es constante.

El campo eléctrico, en unidades de Newtons por Coulomb o voltios por metro, es un campo vectorial que se puede definir en todas partes, excepto en la ubicación de cargas puntuales (donde diverge hasta el infinito). ^[8] Se define como la fuerza electrostática sobre una pequeña carga de prueba hipotética en el punto debido a la ley de Coulomb, dividida por la carga ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {,} }$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle \mathbf {E} ={\mathbf {F} \over q}}$

Las líneas de campo eléctrico son útiles para visualizar el campo eléctrico. Las líneas de campo comienzan en una carga positiva y terminan en una carga negativa. Son paralelas a la dirección del campo eléctrico en cada punto, y la densidad de estas líneas de campo es una medida de la magnitud del campo eléctrico en cualquier punto dado.

Una colección de partículas de carga , ubicadas en puntos (llamados puntos fuente ) genera el campo eléctrico en (llamado punto de campo ) de: ^[8] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}{{\hat {\mathbf {r} }}_{i} \over {|\mathbf {r} _{i}|}^{2}}={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}{\mathbf {r} _{i} \over {|\mathbf {r} _{i}|}^{3}},}$

donde es el vector de desplazamiento desde un punto de origen hasta el punto de campo , y es un vector unitario que indica la dirección del campo. Para una sola carga puntual, , en el origen, la magnitud de este campo eléctrico es y apunta en dirección opuesta a esa carga si es positiva. El hecho de que la fuerza (y, por lo tanto, el campo) se pueda calcular sumando todas las contribuciones debidas a partículas de origen individuales es un ejemplo del principio de superposición . El campo eléctrico producido por una distribución de cargas viene dado por la densidad de carga volumétrica y se puede obtener convirtiendo esta suma en una integral triple : ${\textstyle \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\textstyle {\hat {\mathbf {r} }}_{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathbf {r} _{i}}{|\mathbf {r} _{i}|}}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle E=q/4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint \,\rho (\mathbf {r} '){\mathbf {r} ' \over {|\mathbf {r} '|}^{3}}\mathrm {d} ^{3}|\mathbf {r} '|}$

Ley de Gauss

La ley de Gauss ^{[9] [10]} establece que "el flujo eléctrico total a través de cualquier superficie cerrada en el espacio libre de cualquier forma dibujada en un campo eléctrico es proporcional a la carga eléctrica total encerrada por la superficie". Muchos problemas numéricos se pueden resolver considerando una superficie gaussiana alrededor de un cuerpo. Matemáticamente, la ley de Gauss toma la forma de una ecuación integral:

${\displaystyle \Phi _{E}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={Q_{\text{enclosed}} \over \varepsilon _{0}}=\int _{V}{\rho \over \varepsilon _{0}}\mathrm {d} ^{3}r,}$

donde es un elemento de volumen. Si la carga se distribuye sobre una superficie o a lo largo de una línea, reemplácela por o . El teorema de divergencia permite escribir la ley de Gauss en forma diferencial: ${\displaystyle \mathrm {d} ^{3}r=\mathrm {d} x\ \mathrm {d} y\ \mathrm {d} z}$ ${\displaystyle \rho \,\mathrm {d} ^{3}r}$ ${\displaystyle \sigma \,\mathrm {d} A}$ ${\displaystyle \lambda \,\mathrm {d} \ell }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\rho \over \varepsilon _{0}}.}$

¿Dónde está el operador de divergencia ? ${\displaystyle \nabla \cdot }$

Ecuaciones de Poisson y Laplace

La definición de potencial electrostático, combinada con la forma diferencial de la ley de Gauss (arriba), proporciona una relación entre el potencial Φ y la densidad de carga ρ :

${\displaystyle {\nabla }^{2}\phi =-{\rho \over \varepsilon _{0}}.}$

Esta relación es una forma de la ecuación de Poisson . ^[11] En ausencia de carga eléctrica desapareada, la ecuación se convierte en la ecuación de Laplace :

${\displaystyle {\nabla }^{2}\phi =0,}$

Aproximación electrostática

Resumen de las relaciones electrostáticas entre el potencial eléctrico, el campo eléctrico y la densidad de carga. Aquí, . ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {x} -\mathbf {x'} }$

La validez de la aproximación electrostática se basa en el supuesto de que el campo eléctrico es irrotacional :

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =0.}$

De la ley de Faraday , esta suposición implica la ausencia o casi ausencia de campos magnéticos variables en el tiempo:

${\displaystyle {\partial \mathbf {B} \over \partial t}=0.}$

En otras palabras, la electrostática no requiere la ausencia de campos magnéticos o corrientes eléctricas. Más bien, si existen campos magnéticos o corrientes eléctricas , no deben cambiar con el tiempo, o en el peor de los casos, deben cambiar con el tiempo sólo muy lentamente . En algunos problemas, tanto la electrostática como la magnetostática pueden ser necesarias para predicciones precisas, pero el acoplamiento entre las dos puede ignorarse. La electrostática y la magnetostática pueden verse como límites galileanos no relativistas para el electromagnetismo. ^[12] Además, la electrostática convencional ignora los efectos cuánticos que deben agregarse para una descripción completa. ^{[8] : 2}

Potencial electrostático

Como el campo eléctrico es irrotacional , es posible expresarlo como el gradiente de una función escalar, , llamada potencial electrostático (también conocido como voltaje ). Un campo eléctrico, , apunta desde regiones de alto potencial eléctrico a regiones de bajo potencial eléctrico, expresado matemáticamente como ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi .}$

El teorema del gradiente se puede utilizar para establecer que el potencial electrostático es la cantidad de trabajo por unidad de carga necesaria para mover una carga de un punto a otro con la siguiente integral de línea : ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle -\int _{a}^{b}{\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\ell } }=\phi (\mathbf {b} )-\phi (\mathbf {a} ).}$

A partir de estas ecuaciones, vemos que el potencial eléctrico es constante en cualquier región donde el campo eléctrico desaparece (como ocurre dentro de un objeto conductor).

Energía electrostática

La energía potencial de una partícula de prueba , , se puede calcular a partir de una integral lineal del trabajo, . Integramos desde un punto en el infinito y suponemos que una colección de partículas de carga , ya están situadas en los puntos . Esta energía potencial (en julios ) es: ${\displaystyle U_{\mathrm {E} }^{\text{single}}}$ ${\displaystyle q_{n}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\ell } }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Q_{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$

${\displaystyle U_{\mathrm {E} }^{\text{single}}=q\phi (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {Q_{i}}{\left\|{\mathcal {\mathbf {R} _{i}}}\right\|}}}$

donde es la distancia de cada carga a la carga de prueba , que se encuentra en el punto , y es el potencial eléctrico que habría en si la carga de prueba no estuviera presente. Si solo hay dos cargas presentes, la energía potencial es . La energía potencial eléctrica total debida a un conjunto de N cargas se calcula juntando estas partículas una a la vez : ${\displaystyle \mathbf {\mathcal {R_{i}}} =\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle Q_{1}Q_{2}/(4\pi \varepsilon _{0}r)}$

${\displaystyle U_{\mathrm {E} }^{\text{total}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}Q_{j}\sum _{i=1}^{j-1}{\frac {Q_{i}}{r_{ij}}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}Q_{i}\phi _{i},}$

donde la siguiente suma de j = 1 a N , excluye i = j :

${\displaystyle \phi _{i}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\stackrel {j=1}{j\neq i}}^{N}{\frac {Q_{j}}{r_{ij}}}.}$

Este potencial eléctrico es el que se mediría si faltara la carga. Obviamente, esta fórmula excluye la energía (infinita) que se requeriría para ensamblar cada carga puntual a partir de una nube de carga dispersa. La suma de cargas se puede convertir en una densidad de carga integral utilizando la siguiente fórmula : ${\displaystyle \phi _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\textstyle \sum (\cdots )\rightarrow \int (\cdots )\rho \,\mathrm {d} ^{3}r}$

${\displaystyle U_{\mathrm {E} }^{\text{total}}={\frac {1}{2}}\int \rho (\mathbf {r} )\phi (\mathbf {r} )\,\mathrm {d} ^{3}r={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \left|{\mathbf {E} }\right|^{2}\,\mathrm {d} ^{3}r,}$

Esta segunda expresión para la energía electrostática utiliza el hecho de que el campo eléctrico es el gradiente negativo del potencial eléctrico, así como las identidades del cálculo vectorial de una manera que se asemeja a la integración por partes . Estas dos integrales para la energía del campo eléctrico parecen indicar dos fórmulas mutuamente excluyentes para la densidad de energía electrostática, a saber y ; producen valores iguales para la energía electrostática total solo si ambas se integran en todo el espacio. ${\textstyle {\frac {1}{2}}\rho \phi }$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}}$

Presión electrostática

En un conductor , una carga superficial experimentará una fuerza en presencia de un campo eléctrico . Esta fuerza es el promedio del campo eléctrico discontinuo en la carga superficial. Este promedio en términos del campo justo fuera de la superficie asciende a:

${\displaystyle P={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}E^{2},}$

Esta presión tiende a atraer al conductor hacia el campo, independientemente del signo de la carga superficial.

Véase también

• Electromagnetismo  – Interacción fundamental entre partículas cargadas
• Generador electrostático , máquinas que crean electricidad estática.
• Inducción electrostática , separación de cargas debido a campos eléctricos.
• Permitividad y permitividad relativa , la polarizabilidad eléctrica de los materiales.
• Cuantización de carga , las unidades de carga transportadas por electrones o protones.
• Electricidad estática , carga estacionaria acumulada en un material.
• Efecto triboeléctrico , separación de cargas por deslizamiento o contacto.

Referencias

1. Ling, Samuel J.; Moebs, William; Sanny, Jeff (2019). Física Universitaria, vol. 2. AbrirStax. ISBN 9781947172210.Cap.30: Conductores, aislantes y carga por inducción
2. Bloomfield, Louis A. (2015). Cómo funcionan las cosas: la física de la vida cotidiana. John Wiley and Sons. pág. 270. ISBN 9781119013846.
3. "Polarización". Electricidad estática – Lección 1 – Terminología y conceptos básicos . El aula de física. 2020 . Consultado el 18 de junio de 2021 .
4. Thompson, Xochitl Zamora (2004). "¡Cargue! Todo sobre la atracción y repulsión eléctricas". Enseñe ingeniería: plan de estudios STEM para K-12 . Universidad de Colorado . Consultado el 18 de junio de 2021 .
5. J, Griffiths (2017). Introducción a la electrodinámica. Cambridge University Press. págs. 296–354. doi :10.1017/9781108333511.008. ISBN . 978-1-108-33351-1. Consultado el 11 de agosto de 2023 .
6. "Valor CODATA 2022: permitividad eléctrica en vacío". Referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . Mayo de 2024. Consultado el 18 de mayo de 2024 .
7. Matthew Sadiku (2009). Elementos del electromagnetismo . Oxford University Press. pág. 104. ISBN 9780195387759.
8. Purcell, Edward M. (2013). Electricidad y magnetismo. Cambridge University Press. págs. 16-18. ISBN 978-1107014022.
9. "Sur l'attraction des sphéroides elliptiques, por M. de La Grange". Colección General de Matemáticas . doi : 10.1163/9789004460409_mor2-b29447057 . Consultado el 11 de agosto de 2023 .
10. Gauss, Carl Friedrich (1877), "Theoria atracciónis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum, método nova tractata", Werke , Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, págs. 279–286, doi :10.1007/978-3-642-49319- 5_8, ISBN 978-3-642-49320-1, consultado el 11 de agosto de 2023
11. Poisson, M; ciencias (Francia), Académie royale des (1827). Mémoires de l'Académie (royale) des sciences de l'Institut (imperial) de France. vol. 6. París.
12. Heras, JA (2010). "Los límites galileanos de las ecuaciones de Maxwell". American Journal of Physics . 78 (10): 1048–1055. arXiv : 1012.1068 . Código Bibliográfico :2010AmJPh..78.1048H. doi :10.1119/1.3442798. S2CID  118443242.

Lectura adicional

• Hermann A. Haus; James R. Melcher (1989). Campos electromagnéticos y energía . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-249020-X.
• Halliday, David; Robert Resnick; Kenneth S. Krane (1992). Física . Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-80457-6.
• Griffiths, David J. (1999). Introducción a la electrodinámica . Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.

Enlaces externos

• Medios relacionados con la electrostática en Wikimedia Commons

• Las conferencias de física de Feynman, vol. II, cap. 4: electrostática
• Introducción a la electrostática: Las cargas puntuales se pueden tratar como una distribución utilizando la función delta de Dirac

Materiales de aprendizaje relacionados con la electrostática en Wikiversidad