Óptica hamiltoniana

La óptica hamiltoniana ^[1] y la óptica lagrangiana ^[2] son ​​dos formulaciones de la óptica geométrica que comparten gran parte del formalismo matemático con la mecánica hamiltoniana y la mecánica lagrangiana .

principio de hamilton

En física , el principio de Hamilton establece que la evolución de un sistema descrito por coordenadas generalizadas entre dos estados específicos en dos parámetros específicos σ _A y σ _B es un punto estacionario (un punto donde la variación es cero) de la acción funcional , o ${\displaystyle \left(q_{1}{\left(\sigma \right)},\dots ,q_{N}{\left(\sigma \right)}\right)}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle \delta S=\delta \int _{\sigma _{A}}^{\sigma _{B}}L\left(q_{1},\cdots ,q_{N},{\dot {q}}_{1},\cdots ,{\dot {q}}_{N},\sigma \right)\,d\sigma =0}$$

lagrangiano ${\displaystyle {\dot {q}}_{k}=dq_{k}/d\sigma }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \delta S=0}$

$${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}-{\frac {d}{d\sigma }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}=0}$$

${\displaystyle k=1,\dots ,N}$

El impulso se define como

$${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}}$$

$${\displaystyle {\dot {p}}_{k}={\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}}$$

${\displaystyle {\dot {p}}_{k}=dp_{k}/d\sigma }$

Un enfoque diferente para resolver este problema consiste en definir un hamiltoniano (tomando una transformada de Legendre del lagrangiano ) como

$${\displaystyle H=\sum _{k}{{\dot {q}}_{k}}p_{k}-L}$$

para lo cual se puede derivardiferencial totallagrangianoσσtσ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}=-{\dot {p}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}={\dot {q}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial \sigma }}=-{\partial L \over \partial \sigma }\,.}$$

Las ecuaciones de Hamilton son ecuaciones diferenciales ${\displaystyle k=1,\dots ,N}$

óptica lagrangiana

Los resultados generales presentados anteriormente para el principio de Hamilton se pueden aplicar a la óptica. ^{[3] [4]} En el espacio euclidiano 3D , las coordenadas generalizadas ahora son las coordenadas del espacio euclidiano .

principio de fermat

El principio de Fermat establece que la longitud óptica del camino seguido por la luz entre dos puntos fijos, A y B , es un punto estacionario. Puede ser un máximo, un mínimo, una constante o un punto de inflexión . En general, a medida que la luz viaja, se mueve en un medio de índice de refracción variable que es un campo escalar de posición en el espacio, es decir, en el espacio euclidiano 3D . Suponiendo ahora que la luz viaja a lo largo del eje x ₃ , la trayectoria de un rayo de luz puede parametrizarse comenzando en un punto y terminando en un punto . En este caso, en comparación con el principio de Hamilton anterior, las coordenadas y toman el rol de coordenadas generalizadas mientras que toma el rol de parámetro , es decir, el parámetro σ  = x ₃ y N =2. ${\displaystyle n=n\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)}$ ${\displaystyle s=\left(x_{1}\left(x_{3}\right),x_{2}\left(x_{3}\right),x_{3}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =\left(x_{1}\left(x_{3A}\right),x_{2}\left(x_{3A}\right),x_{3A}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {B} =\left(x_{1}\left(x_{3B}\right),x_{2}\left(x_{3B}\right),x_{3B}\right)}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle q_{k}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle \sigma }$

En el contexto del cálculo de variaciones , esto se puede escribir como ^[2]

$${\displaystyle \delta S=\delta \int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }n\,ds=\delta \int _{x_{3A}}^{x_{3B}}n{\frac {ds}{dx_{3}}}\,dx_{3}=\delta \int _{x_{3A}}^{x_{3B}}L\left(x_{1},x_{2},{\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},x_{3}\right)\,dx_{3}=0}$$

ds ${\textstyle ds={\sqrt {dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}}}}$

$${\displaystyle L=n{\frac {ds}{dx_{3}}}=n\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right){\sqrt {1+{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}}}}$$

${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/dx_{3}}$

La longitud del camino óptico (OPL) se define como

$${\displaystyle S=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }n\,ds=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }L\,dx_{3}}$$

nAB.

Las ecuaciones de Euler-Lagrange

Los resultados generales presentados anteriormente para el principio de Hamilton se pueden aplicar a la óptica utilizando el lagrangiano definido en el principio de Fermat. Las ecuaciones de Euler-Lagrange con parámetro σ  = x ₃ y N =2 aplicadas al principio de Fermat dan como resultado

$${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x_{k}}}-{\frac {d}{dx_{3}}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{k}}}=0}$$

k = 1, 2L ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/dx_{3}}$

Momento óptico

El momento óptico se define como

$${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{k}}}}$$

${\textstyle L=n{\sqrt {1+{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}}}}$

$${\displaystyle p_{k}=n{\frac {{\dot {x}}_{k}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}=n{\frac {dx_{k}}{\sqrt {dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}}}}=n{\frac {dx_{k}}{ds}}}$$

Momento óptico

o en forma vectorial

$${\displaystyle \mathbf {p} =n{\frac {\mathbf {ds} }{ds}}=\left(p_{1},p_{2},p_{3}\right)=\left(n\cos \alpha _{1},n\cos \alpha _{2},n\cos \alpha _{3}\right)=n\mathbf {\hat {e}} }$$

vector unitarioα ₁α ₂α ₃que px ₁x ₂x ₃norma. ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} }$

$${\displaystyle \|\mathbf {p} \|={\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}}}=n}$$

nppóptica de índice de gradiente,p

La expresión para la longitud del camino óptico también se puede escribir en función del momento óptico. Teniendo en cuenta que la expresión del lagrangiano óptico se puede reescribir como ${\displaystyle {\dot {x}}_{3}=dx_{3}/dx_{3}=1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}L&=n{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}={\dot {x}}_{1}{\frac {n{\dot {x}}_{1}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}+{\dot {x}}_{2}{\frac {n{\dot {x}}_{2}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}+{\frac {n{\dot {x}}_{3}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}\\[1ex]&={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+{\dot {x}}_{3}p_{3}={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+p_{3}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle S=\int L\,dx_{3}=\int \mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} }$$

ecuaciones de hamilton

De manera similar a lo que sucede en la mecánica hamiltoniana , también en óptica el hamiltoniano se define por la expresión dada anteriormente para N = 2 correspondientes a funciones y por determinar. ${\displaystyle x_{1}{\left(x_{3}\right)}}$ ${\displaystyle x_{2}{\left(x_{3}\right)}}$

$${\displaystyle H={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}-L}$$

Comparando esta expresión con la del Lagrangiano se obtiene ${\displaystyle L={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+p_{3}}$

$${\displaystyle H=-p_{3}=-{\sqrt {n^{2}-p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}}}$$

Y las correspondientes ecuaciones de Hamilton con parámetro σ  = x ₃ y k =1,2 aplicadas a la óptica son ^{[5] [6]}

$${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}=-{\dot {p}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}={\dot {x}}_{k}}$$

${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/dx_{3}}$ ${\displaystyle {\dot {p}}_{k}=dp_{k}/dx_{3}}$

Aplicaciones

Se supone que la luz viaja a lo largo del eje x ₃ , en el principio de Hamilton anterior, coordina y toma el papel de coordenadas generalizadas mientras toma el papel de parámetro , es decir, parámetro σ  = x ₃ y N =2. ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle q_{k}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Refracción y reflexión

Si el plano x ₁ x ₂ separa dos medios de índice de refracción n _A debajo y n _B encima, el índice de refracción viene dado por una función escalonada

$${\displaystyle n(x_{3})={\begin{cases}n_{A}&{\text{if }}x_{3}<0\\n_{B}&{\text{if }}x_{3}>0\\\end{cases}}}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}=-{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}{\sqrt {n(x_{3})^{2}-p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}}=0}$$

k = 1, 2 ${\displaystyle {\dot {p}}_{k}=0}$ ${\displaystyle p_{k}={\text{Constant}}}$

Un rayo de luz entrante tiene un momento p _A antes de la refracción (debajo del plano x ₁ x ₂ ) y un momento p _B después de la refracción (sobre el plano x ₁ x ₂ ). El rayo de luz forma un ángulo θ _A con eje x ₃ (la normal a la superficie refractiva) antes de la refracción y un ángulo θ _B con eje x ₃ después de la refracción. Dado que las componentes p ₁ y p ₂ del impulso son constantes, sólo p ₃ cambia de p _{3 A} a p _{3 B} .

Refracción

La figura "refracción" muestra la geometría de esta refracción a partir de la cual . Dado que y , esta última expresión se puede escribir como ${\displaystyle d=\|\mathbf {p} _{A}\|\sin \theta _{A}=\|\mathbf {p} _{B}\|\sin \theta _{B}}$ ${\displaystyle \|\mathbf {p} _{A}\|=n_{A}}$ ${\displaystyle \|\mathbf {p} _{B}\|=n_{B}}$

$${\displaystyle n_{A}\sin \theta _{A}=n_{B}\sin \theta _{B}}$$

refracción de Snell

En la figura "refracción", la normal a la superficie refractiva apunta en la dirección del eje x ₃ , y también del vector . Entonces se puede obtener una unidad normal a la superficie refractiva a partir de los momentos de los rayos entrantes y salientes mediante ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {p} _{A}-\mathbf {p} _{B}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {v} /\|\mathbf {v} \|}$

$${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {p} _{A}-\mathbf {p} _{B}}{\|\mathbf {p} _{A}-\mathbf {p} _{B}\|}}={\frac {n_{A}\mathbf {i} -n_{B}\mathbf {r} }{\|n_{A}\mathbf {i} -n_{B}\mathbf {r} \|}}}$$

ir ${\displaystyle \mathbf {p} _{B}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{A}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

Se puede utilizar un argumento similar para la reflexión al derivar la ley de la reflexión especular , sólo que ahora con n _A = n _B , lo que da como resultado θ _A = θ _B. Además, si i y r son vectores unitarios en las direcciones del rayo incidente y refractado respectivamente, la normal correspondiente a la superficie viene dada por la misma expresión que para la refracción, sólo que con n _A = n _B

$${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {i} -\mathbf {r} }{\|\mathbf {i} -\mathbf {r} \|}}}$$

En forma vectorial, si i es un vector unitario que apunta en la dirección del rayo incidente y n es la unidad normal a la superficie, la dirección r del rayo refractado viene dada por: ^[3]

$${\displaystyle \mathbf {r} ={\frac {n_{A}}{n_{B}}}\mathbf {i} +\left(-\left(\mathbf {i} \cdot \mathbf {n} \right){\frac {n_{A}}{n_{B}}}+{\sqrt {\Delta }}\right)\mathbf {n} }$$

$${\displaystyle \Delta =1-\left({\frac {n_{A}}{n_{B}}}\right)^{2}\left(1-\left(\mathbf {i} \cdot \mathbf {n} \right)^{2}\right)}$$

Si i ⋅ n <0 entonces − n debería usarse en los cálculos. Cuando , la luz sufre una reflexión interna total y la expresión para el rayo reflejado es la de reflexión: ${\displaystyle \Delta <0}$

$${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {i} -2\left(\mathbf {i} \cdot \mathbf {n} \right)\mathbf {n} }$$

Rayos y frentes de onda

De la definición de longitud del camino óptico. ${\textstyle S=\int L\,dx_{3}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial x_{k}}}=\int {\frac {\partial L}{\partial x_{k}}}\,dx_{3}=\int {\frac {dp_{k}}{dx_{3}}}\,dx_{3}=p_{k}}$$

Rayos y frentes de onda

con k =1,2 donde se utilizaron las ecuaciones de Euler-Lagrange con k =1,2. Además, de la última de las ecuaciones de Hamilton y desde arriba ${\displaystyle \partial L/\partial x_{k}=dp_{k}/dx_{3}}$ ${\displaystyle \partial H/\partial x_{3}=-\partial L/\partial x_{3}}$ ${\displaystyle H=-p_{3}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial x_{3}}}=\int {\frac {\partial L}{\partial x_{3}}}\,dx_{3}=\int {\frac {dp_{3}}{dx_{3}}}\,dx_{3}=p_{3}}$$

p da

$${\displaystyle \mathbf {p} =\nabla S}$$

Como p es un vector tangente a los rayos de luz, las superficies S =Constante deben ser perpendiculares a esos rayos de luz. Estas superficies se llaman frentes de onda . La figura "rayos y frentes de onda" ilustra esta relación. También se muestra el momento óptico p , tangente a un rayo de luz y perpendicular al frente de onda.

El campo vectorial es un campo vectorial conservador . Luego, el teorema del gradiente se puede aplicar a la longitud del camino óptico (como se indicó anteriormente), lo que da como resultado ${\displaystyle \mathbf {p} =\nabla S}$

$${\displaystyle S=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }\nabla S\cdot d\mathbf {s} =S(\mathbf {B} )-S(\mathbf {A} )}$$

SCABABAB

$${\displaystyle S=\oint \nabla S\cdot d\mathbf {s} =0}$$

Este resultado se puede aplicar a un camino cerrado ABCDA como en la figura "longitud del camino óptico"

$${\displaystyle S=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} +\int _{\mathbf {B} }^{\mathbf {C} }\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} +\int _{\mathbf {C} }^{\mathbf {D} }\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} +\int _{\mathbf {D} }^{\mathbf {A} }\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =0}$$

Longitud del camino óptico

para el segmento de curva AB, el momento óptico p es perpendicular a un desplazamiento d s a lo largo de la curva AB , o . Lo mismo ocurre con el segmento CD . Para el segmento BC, el momento óptico p tiene la misma dirección que el desplazamiento d s y . Para el segmento DA el momento óptico p tiene la dirección opuesta al desplazamiento d s y . Sin embargo, al invertir la dirección de la integración para que la integral se tome de A a D , d s invierte la dirección y . De estas consideraciones ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =nds}$ ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =-n\,ds}$ ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =n\,ds}$

$${\displaystyle \int _{\mathbf {B} }^{\mathbf {C} }n\,ds=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {D} }n\,ds}$$

$${\displaystyle S_{\mathbf {BC} }=S_{\mathbf {AD} }}$$

S _BCBCS _ADAD

Espacio de fase

La figura "Espacio de fases 2D" muestra en la parte superior algunos rayos de luz en un espacio bidimensional. Aquí x ₂ =0 y p ₂ =0, por lo que la luz viaja en el plano x ₁ x ₃ en direcciones de valores crecientes de x ₃ . En este caso , la dirección de un rayo de luz está completamente especificada por la componente p ₁ del momento, ya que p ₂ =0. Si se da p _{1 , se puede calcular} p ₃ (dado el valor del índice de refracción n ) y por lo tanto p ₁ es suficiente para determinar la dirección del rayo luminoso. El índice de refracción del medio en el que viaja el rayo está determinado por . ${\displaystyle p_{1}^{2}+p_{3}^{2}=n^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{3})}$ ${\displaystyle \|\mathbf {p} \|=n}$

espacio de fase 2D

Por ejemplo, el rayo r _C cruza el eje x ₁ en la coordenada x _B con un momento óptico p _C , que tiene su punta en un círculo de radio n centrado en la posición x _B . La coordenada x _B y la coordenada horizontal p _{1 C} del momento p _C definen completamente el rayo r _C cuando cruza el eje x ₁ . Este rayo puede entonces definirse por un punto r _C =( x _B , p _{1 C} ) en el espacio x ₁ p ₁ como se muestra en la parte inferior de la figura. El espacio x ₁ p ₁ se llama espacio de fase y diferentes rayos de luz pueden estar representados por diferentes puntos en este espacio.

Como tal, el rayo r _D que se muestra en la parte superior está representado por un punto r _D en el espacio de fase en la parte inferior. Todos los rayos que cruzan el eje x ₁ en la coordenada x _B contenidos entre los rayos r _C y r _D están representados por una línea vertical que conecta los puntos r _C y r _D en el espacio de fase. En consecuencia, todos los rayos que cruzan el eje x ₁ en la coordenada x _A contenidos entre los rayos r _A y r _B están representados por una línea vertical que conecta los puntos r _A y r _B en el espacio de fase. En general, todos los rayos que cruzan el eje x ₁ entre x _L y x _R están representados por un volumen R en el espacio de fase. Los rayos en la frontera ∂ R del volumen R se llaman rayos de borde. Por ejemplo, en la posición x _A del eje x ₁ , los rayos r _A y r _B son los rayos de borde, ya que todos los demás rayos están contenidos entre estos dos. (Un rayo paralelo a x1 no estaría entre los dos rayos, ya que el momento no está entre los dos rayos)

En geometría tridimensional, el momento óptico viene dado por con . Si se dan p ₁ y p _{2 , se puede calcular} p ₃ (dado el valor del índice de refracción n ) y por lo tanto p ₁ y p ₂ son suficientes para determinar la dirección del rayo luminoso. Un rayo que viaja a lo largo del eje x ₃ se define entonces por un punto ( x ₁ , x ₂ ) en el plano x ₁ x ₂ y una dirección ( p ₁ , p ₂ ). Entonces puede definirse por un punto en el espacio de fase de cuatro dimensiones x ₁ x ₂ p ₁ p ₂ . ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2},p_{3})}$ ${\displaystyle p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}=n^{2}}$

Conservación del etendue

Figure "volume variation" shows a volume V bound by an area A. Over time, if the boundary A moves, the volume of V may vary. In particular, an infinitesimal area dA with outward pointing unit normal n moves with a velocity v.

Volume variation

This leads to a volume variation ${\displaystyle dV=dA(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )dt}$. Making use of Gauss's theorem, the variation in time of the total volume V volume moving in space is

$${\displaystyle {\frac {dV}{dt}}=\int _{A}\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} \,dA=\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {v} \,dV}$$

The rightmost term is a volume integral over the volume V and the middle term is the surface integral over the boundary A of the volume V. Also, v is the velocity with which the points in V are moving.

In optics coordinate ${\displaystyle x_{3}}$ takes the role of time. In phase space a light ray is identified by a point ${\displaystyle (x_{1},x_{2},p_{1},p_{2})}$ which moves with a "velocity" ${\displaystyle \mathbf {v} =({\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},{\dot {p}}_{1},{\dot {p}}_{2})}$ where the dot represents a derivative relative to ${\displaystyle x_{3}}$. A set of light rays spreading over ${\displaystyle dx_{1}}$ in coordinate ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle dx_{2}}$ in coordinate ${\displaystyle x_{2}}$, ${\displaystyle dp_{1}}$ in coordinate ${\displaystyle p_{1}}$ and ${\displaystyle dp_{2}}$ in coordinate ${\displaystyle p_{2}}$ occupies a volume ${\displaystyle dV=dx_{1}dx_{2}dp_{1}dp_{2}}$ in phase space. In general, a large set of rays occupies a large volume ${\displaystyle V}$ in phase space to which Gauss's theorem may be applied

$${\displaystyle {\frac {dV}{dx_{3}}}=\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {v} \,dV}$$

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial {\dot {x}}_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial {\dot {x}}_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}_{1}}{\partial p_{1}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}_{2}}{\partial p_{2}}}={\frac {\partial }{\partial x_{1}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{1}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{2}}}-{\frac {\partial }{\partial p_{1}}}{\frac {\partial H}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial }{\partial p_{2}}}{\frac {\partial H}{\partial x_{2}}}=0}$$

${\displaystyle dV/dx_{3}=0}$ ${\displaystyle dV=dx_{1}dx_{2}dp_{1}dp_{2}={\text{Constant}}}$

The volume occupied by a set of rays in phase space is called etendue, which is conserved as light rays progress in the optical system along direction x₃. This corresponds to Liouville's theorem, which also applies to Hamiltonian mechanics.

Sin embargo, el significado del teorema de Liouville en mecánica es bastante diferente del teorema de conservación del étendue. El teorema de Liouville es de naturaleza esencialmente estadística y se refiere a la evolución en el tiempo de un conjunto de sistemas mecánicos de idénticas propiedades pero con diferentes condiciones iniciales. Cada sistema está representado por un único punto en el espacio de fases y el teorema establece que la densidad promedio de puntos en el espacio de fases es constante en el tiempo. Un ejemplo serían las moléculas de un gas clásico perfecto en equilibrio en un recipiente. Cada punto en el espacio de fase, que en este ejemplo tiene 2N dimensiones, donde N es el número de moléculas, representa uno de un conjunto de contenedores idénticos, un conjunto lo suficientemente grande como para permitir tomar un promedio estadístico de la densidad de puntos representativos. El teorema de Liouville establece que si todos los contenedores permanecen en equilibrio, la densidad promedio de puntos permanece constante. ^[3]

Óptica de imagen y de no imagen

La figura "conservación de etendue" muestra a la izquierda un sistema óptico bidimensional esquemático en el que x ₂ =0 y p ₂ =0, por lo que la luz viaja en el plano x ₁ x ₃ en direcciones de valores crecientes de x ₃ .

Conservación del etendue

Los rayos de luz que cruzan la apertura de entrada de la óptica en el punto x ₁ = x _I están contenidos entre los rayos de borde r _A y r _B representados por una línea vertical entre los puntos r _A y r _B en el espacio de fase de la apertura de entrada (derecha, abajo esquina de la figura). Todos los rayos que cruzan la apertura de entrada están representados en el espacio de fase por una región R _I .

Además, los rayos de luz que cruzan la apertura de salida de la óptica en el punto x ₁ = x _O están contenidos entre los rayos de borde r _A y r _B representados por una línea vertical entre los puntos r _A y r _B en el espacio de fase de la apertura de salida (derecha). , esquina superior de la figura). Todos los rayos que cruzan la apertura de salida están representados en el espacio de fase por una región R _O .

La conservación del etendue en el sistema óptico significa que el volumen (o área en este caso bidimensional) en el espacio de fase ocupado por R _I en la apertura de entrada debe ser el mismo que el volumen en el espacio de fase ocupado por R _O en la apertura de salida. .

En óptica de imágenes, todos los rayos de luz que cruzan la apertura de entrada en x 1 ₌ x I _son redirigidos hacia la apertura de salida en x ₁ = x _O donde x _I = mx _O. Esto asegura que se forme una imagen de la entrada en la salida con una ampliación m . En el espacio de fase, esto significa que las líneas verticales en el espacio de fase en la entrada se transforman en líneas verticales en la salida. Ese sería el caso de la recta vertical r _A r _B en R _I transformada a recta vertical r _A r _B en R _O .

En la óptica sin imágenes , el objetivo no es formar una imagen sino simplemente transferir toda la luz desde la apertura de entrada a la apertura de salida. Esto se logra transformando los rayos de borde ∂ R _I de R _I en rayos de borde ∂ R _O de R _O . Esto se conoce como principio del rayo de borde .

Generalizaciones

Arriba se supuso que la luz viaja a lo largo del eje x ₃ , en el principio de Hamilton anterior, coordina y toma el papel de coordenadas generalizadas mientras toma el papel de parámetro , es decir, parámetro σ  = x ₃ y N =2. Sin embargo, son posibles diferentes parametrizaciones de los rayos de luz, así como el uso de coordenadas generalizadas . ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle q_{k}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Parametrización general de rayos.

Se puede considerar una situación más general en la que la trayectoria de un rayo de luz está parametrizada como en la que σ es un parámetro general. En este caso, en comparación con el principio de Hamilton anterior, las coordenadas y toman el papel de las coordenadas generalizadas con N =3. Aplicar el principio de Hamilton a la óptica en este caso conduce a ${\displaystyle s=\left(x_{1}{\left(\sigma \right)},x_{2}{\left(\sigma \right)},x_{3}{\left(\sigma \right)}\right)}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle q_{k}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta S&=\delta \int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }n\,ds=\delta \int _{\sigma _{A}}^{\sigma _{B}}n{\frac {ds}{d\sigma }}\,d\sigma \\&=\delta \int _{\sigma _{A}}^{\sigma _{B}}L\left(x_{1},x_{2},x_{3},{\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},{\dot {x}}_{3},\sigma \right)\,d\sigma =0\end{aligned}}}$$

${\displaystyle L=nds/d\sigma }$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/d\sigma }$

$${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x_{k}}}-{\frac {d}{d\sigma }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{k}}}=0}$$

kL

$${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{k}}}}$$

PN ${\displaystyle x_{1}{\left(\sigma \right)}}$ ${\displaystyle x_{2}{\left(\sigma \right)}}$ ${\displaystyle x_{3}{\left(\sigma \right)}}$

$${\displaystyle P={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+{\dot {x}}_{3}p_{3}-L}$$

Y las ecuaciones de Hamilton correspondientes con k = 1,2,3 óptica aplicada son

$${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}=-{\dot {p}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}={\dot {x}}_{k}}$$

${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/d\sigma }$ ${\displaystyle {\dot {p}}_{k}=dp_{k}/d\sigma }$

El lagrangiano óptico viene dado por

$${\displaystyle L=n{\frac {ds}{d\sigma }}=n\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right){\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}=L\left(x_{1},x_{2},x_{3},{\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},{\dot {x}}_{3}\right)}$$

σLσ

Los componentes del momento óptico se pueden obtener de

$${\displaystyle p_{k}=n{\frac {{\dot {x}}_{k}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}=n{\frac {dx_{k}}{\sqrt {dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}}}}=n{\frac {dx_{k}}{ds}}}$$

${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/d\sigma }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}L&=n{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}={\dot {x}}_{1}{\frac {n{\dot {x}}_{1}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}+{\dot {x}}_{2}{\frac {n{\dot {x}}_{2}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}+{\dot {x}}_{3}{\frac {n{\dot {x}}_{3}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}\\&={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+{\dot {x}}_{3}p_{3}\end{aligned}}}$$

Comparando esta expresión para L con la del hamiltoniano P se puede concluir que

$${\displaystyle P=0}$$

De las expresiones de las componentes del momento óptico se obtiene ${\displaystyle p_{k}}$

$${\displaystyle p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}-n^{2}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=0}$$

El hamiltoniano óptico se elige como

$${\displaystyle P=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}-n^{2}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=0}$$

aunque se podrían tomar otras decisiones. ^{[3] [4]} Las ecuaciones de Hamilton con k = 1, 2, 3 definidas anteriormente definen junto con los posibles rayos de luz. ${\displaystyle P=0}$

Coordenadas generalizadas

Como en la mecánica hamiltoniana , también es posible escribir las ecuaciones de la óptica hamiltoniana en términos de coordenadas generalizadas , momentos generalizados y P hamiltoniana como ^{[3] [4]} ${\displaystyle \left(q_{1}\left(\sigma \right),q_{2}\left(\sigma \right),q_{3}\left(\sigma \right)\right)}$ ${\displaystyle \left(u_{1}\left(\sigma \right),u_{2}\left(\sigma \right),u_{3}\left(\sigma \right)\right)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dq_{1}}{d\sigma }}&={\frac {\partial P}{\partial u_{1}}}\quad \quad {\frac {du_{1}}{d\sigma }}=-{\frac {\partial P}{\partial q_{1}}}\\{\frac {dq_{2}}{d\sigma }}&={\frac {\partial P}{\partial u_{2}}}\quad \quad {\frac {du_{2}}{d\sigma }}=-{\frac {\partial P}{\partial q_{2}}}\\{\frac {dq_{3}}{d\sigma }}&={\frac {\partial P}{\partial u_{3}}}\quad \quad {\frac {du_{3}}{d\sigma }}=-{\frac {\partial P}{\partial q_{3}}}\\P&=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} -n^{2}=0\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &=u_{1}\nabla q_{1}+u_{2}\nabla q_{2}+u_{3}\nabla q_{3}\\&=u_{1}\|\nabla q_{1}\|{\frac {\nabla q_{1}}{\|\nabla q_{1}\|}}+u_{2}\|\nabla q_{2}\|{\frac {\nabla q_{2}}{\|\nabla q_{2}\|}}+u_{3}\|\nabla q_{3}\|{\frac {\nabla q_{3}}{\|\nabla q_{3}\|}}\\&=u_{1}a_{1}\mathbf {\hat {e}} _{1}+u_{2}a_{2}\mathbf {\hat {e}} _{2}+u_{3}a_{3}\mathbf {\hat {e}} _{3}\end{aligned}}}$$

vectores unitariosbase ortonormal ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{3}}$ ${\displaystyle u_{k}a_{k}/n}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{k}}$

Ver también

• Materiales de aprendizaje relacionados con una derivación unidimensional simple de la óptica hamiltoniana en Wikiversity
• Mecánica hamiltoniana
• Cálculo de variaciones

Referencias

1. HA Buchdahl, Introducción a la óptica hamiltoniana , Publicaciones de Dover, 1993, ISBN  978-0486675978 .
2. Vasudevan Lakshminarayanan et al., Óptica Lagrangiana , Springer Países Bajos, 2011, ISBN 978-0792375821 . 
3. Chaves, Julio (2015). Introducción a la óptica sin imágenes, segunda edición. Prensa CRC . ISBN 978-1482206739.
4. Roland Winston et al., Óptica sin imágenes , Academic Press, 2004, ISBN 978-0127597515 . 
5. Dietrich Marcuse, Óptica de transmisión de luz , Van Nostrand Reinhold Company, Nueva York, 1972, ISBN 978-0894643057 . 
6. Rudolf Karl Luneburg, Teoría matemática de la óptica , University of California Press, Berkeley, CA, 1964, pág. 90.