Reflexión interna total

Reflexión de una onda desde un límite entre dos medios (en lugar de refracción)

Fig. 1 :  Plantas submarinas en una pecera y sus imágenes invertidas (arriba) formadas por reflexión interna total en la superficie agua-aire.

En física , la reflexión interna total ( TIR ) ​​es el fenómeno en el que las ondas que llegan a la interfaz (límite) de un medio a otro (por ejemplo, del agua al aire) no se refractan hacia el segundo medio ("externo"), sino que se refractan completamente. reflejado nuevamente en el primer medio ("interno"). Ocurre cuando el segundo medio tiene una velocidad de onda más alta (es decir, un índice de refracción más bajo ) que el primero, y las ondas inciden en un ángulo suficientemente oblicuo en la interfaz. Por ejemplo, la superficie de agua-aire en una pecera típica, vista oblicuamente desde abajo, refleja la escena submarina como un espejo sin pérdida de brillo (Fig. 1).

TIR ocurre no solo con ondas electromagnéticas como la luz y las microondas , sino también con otros tipos de ondas, incluidas las de sonido y agua . Si las ondas son capaces de formar un haz estrecho (Fig. 2), la reflexión tiende a describirse en términos de " rayos " más que de ondas; en un medio cuyas propiedades son independientes de la dirección, como el aire, el agua o el vidrio , los "rayos" son perpendiculares a los frentes de onda asociados .

Fig. 2 :  Reflexión interna total repetida de un rayo láser de 405 nm entre las superficies frontal y posterior de un panel de vidrio. El color de la luz láser es violeta intenso; pero su longitud de onda es lo suficientemente corta como para provocar fluorescencia en el vidrio, que reirradia luz verdosa en todas direcciones, haciendo visible el haz en zigzag.

La refracción suele ir acompañada de una reflexión parcial . Cuando las ondas se refractan desde un medio de menor velocidad de propagación (mayor índice de refracción ) a un medio de mayor velocidad de propagación (menor índice de refracción), por ejemplo, del agua al aire, el ángulo de refracción (entre el rayo saliente y la normal a la superficie ) es mayor que el ángulo de incidencia (entre el rayo entrante y la normal). A medida que el ángulo de incidencia se acerca a un cierto umbral, llamado ángulo crítico , el ángulo de refracción se acerca a 90°, en el cual el rayo refractado se vuelve paralelo a la superficie límite. A medida que el ángulo de incidencia aumenta más allá del ángulo crítico, las condiciones de refracción ya no pueden satisfacerse, por lo que no hay rayo refractado y la reflexión parcial se vuelve total. Para la luz visible , el ángulo crítico es de aproximadamente 49° para la incidencia del agua al aire, y de aproximadamente 42° para la incidencia del vidrio común al aire.

Los detalles del mecanismo de TIR dan lugar a fenómenos más sutiles. Si bien la reflexión total, por definición, no implica un flujo continuo de energía a través de la interfaz entre los dos medios, el medio externo transporta una onda evanescente , que viaja a lo largo de la interfaz con una amplitud que cae exponencialmente con la distancia desde la interfaz. La reflexión "total" es de hecho total si el medio externo no tiene pérdidas (perfectamente transparente), es continua y de extensión infinita, pero puede ser notoriamente menor que total si la onda evanescente es absorbida por un medio externo con pérdidas (" reflectancia total atenuada " ), o desviados por el límite exterior del medio externo o por objetos incrustados en ese medio (TIR "frustrado"). A diferencia de la reflexión parcial entre medios transparentes, la reflexión interna total va acompañada de un cambio de fase no trivial (no sólo cero o 180°) para cada componente de polarización (perpendicular o paralela al plano de incidencia ), y los cambios varían con el ángulo. de incidencia. La explicación de este efecto por parte de Augustin-Jean Fresnel , en 1823, se sumó a la evidencia a favor de la teoría ondulatoria de la luz .

Los cambios de fase son utilizados por el invento de Fresnel, el rombo de Fresnel , para modificar la polarización. La eficiencia de la reflexión interna total es aprovechada por fibras ópticas (utilizadas en cables de telecomunicaciones y en fibroscopios formadores de imágenes ) y por prismas reflectantes , como los prismas Porro / de techo formadores de imágenes para monoculares y binoculares .

Descripción óptica

Fig. 3 :  Reflexión interna total de la luz en un bloque acrílico semicircular.

Aunque la reflexión interna total puede ocurrir con cualquier tipo de onda que pueda decirse que tiene incidencia oblicua, incluidas (por ejemplo) las microondas ^[1] y las ondas sonoras , ^[2]  es más familiar en el caso de las ondas de luz .

La reflexión interna total de la luz se puede demostrar utilizando un bloque semicircular-cilíndrico de vidrio común o vidrio acrílico . En la Fig. 3, una "caja de rayos" proyecta un haz de luz estrecho (un " rayo ") radialmente hacia adentro. La sección transversal semicircular del vidrio permite que el rayo entrante permanezca perpendicular a la porción curva de la superficie de aire/vidrio y luego continúe en línea recta hacia la parte plana de la superficie, aunque su ángulo con la parte plana varía.

Cuando el rayo se encuentra con la interfaz plana vidrio-aire, el ángulo entre el rayo y la normal (perpendicular) a la interfaz se llama ángulo de incidencia . ^[3] Si este ángulo es lo suficientemente pequeño, el rayo se refleja parcialmente pero se transmite en su mayor parte, y la porción transmitida se refracta lejos de la normal, de modo que el ángulo de refracción (entre el rayo refractado y la normal a la interfaz) es mayor. que el ángulo de incidencia. Por el momento, llamemos al ángulo de incidencia θ _i y al ángulo de refracción θ _t (donde t es para transmitido , reservando r para reflejado ). A medida que θ _i aumenta y se acerca a un cierto "ángulo crítico", denotado por θ _c (o a veces θ _cr ), el ángulo de refracción se acerca a 90° (es decir, el rayo refractado se acerca a una tangente a la interfaz), y el rayo refractado se vuelve más débil mientras que el rayo reflejado se vuelve más brillante. ^[4] A medida que θ _i aumenta más allá de θ _c , el rayo refractado desaparece y solo queda el rayo reflejado, de modo que toda la energía del rayo incidente se refleja; esto es reflexión interna total (TIR). En breve:

• Si θ _i < θ _c ‍ , ‍ el rayo incidente se divide, siendo en parte reflejado y en parte refractado; 
• Si θ _i > θ _c ‍ , ‍ el rayo incidente sufre reflexión interna total (TIR); nada de esto se transmite. 

Ángulo crítico

El ángulo crítico es el ángulo de incidencia más pequeño que produce una reflexión total o, equivalentemente, el ángulo más grande para el cual existe un rayo refractado. ^[5] Para ondas de luz que inciden desde un medio "interno" con un índice de refracción único n ₁  , ‍ a un medio "externo" con un índice de refracción único n ₂  , ‍ el ángulo crítico viene dado por ‍ y se define si ‍ n ₂ ≤ norte ₁ . Para algunos otros tipos de ondas, es más conveniente pensar en términos de velocidades de propagación que de índices de refracción. La explicación del ángulo crítico en términos de velocidades es más general y, por lo tanto, se discutirá primero. ${\displaystyle \theta _{{\text{c}}\!}=\arcsin(n_{2}/n_{1})\,,}$  

Fig. 4 :  Refracción de un frente de onda (rojo) desde el medio 1, con menor velocidad normal v ₁ , hasta el medio 2, con mayor velocidad normal v ₂ . Los segmentos incidente y refractado del frente de onda se encuentran en una línea común L (vista "de extremo"), que viaja a lo largo de la interfaz a una velocidad u .

Cuando un frente de onda se refracta de un medio a otro, las porciones incidente (entrante) y refractada (saliente) del frente de onda se encuentran en una línea común en la superficie refractante (interfaz). Deje que esta línea, denotada por L , se mueva a velocidad u a través de la superficie, ^{[6] [7]} donde u se mide normal a  L ‍ ( Fig. 4). Dejemos que los frentes de onda incidente y refractado se propaguen con velocidades normales y (respectivamente), y dejemos que formen los ángulos diédricos θ ₁ y θ ₂ (respectivamente) con la interfaz. Desde la geometría, ‍ es la componente de u en la dirección normal a la onda incidente, de modo que ‍ De manera similar , ‍ Resolviendo cada ecuación para 1/ u e igualando los resultados, obtenemos la ley general de refracción de las ondas: ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$ ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{1\!}=u\sin \theta _{1}\,.}$ ${\displaystyle v_{2}=u\sin \theta _{2}\,.}$

Pero el ángulo diédrico entre dos planos es también el ángulo entre sus normales. Entonces θ ₁ es el ángulo entre la normal al frente de onda incidente y la normal a la interfaz, mientras que θ ₂ es el ángulo entre la normal al frente de onda refractado y la normal a la interfaz; y la ecuación. ( 1 ) nos dice que los senos de estos ángulos están en la misma proporción que las velocidades respectivas. ^[8]

Este resultado tiene la forma de " ley de Snell ", excepto que todavía no hemos dicho que la relación de velocidades es constante, ni hemos identificado θ ₁ y θ ₂ con los ángulos de incidencia y refracción (llamados θ _i y θ _t arriba). Sin embargo, si ahora suponemos que las propiedades de los medios son isotrópicas (independientes de la dirección), se siguen dos conclusiones más: primero, las dos velocidades, y por tanto su relación, son independientes de sus direcciones; y segundo, las direcciones normales de las ondas coinciden con las direcciones de los rayos , de modo que θ ₁ y θ ₂ coinciden con los ángulos de incidencia y refracción definidos anteriormente. ^{[Nota 1]}

Fig. 5 :  Comportamiento de un rayo incidente desde un medio de mayor índice de refracción n ₁ hacia un medio de menor índice de refracción n ₂ ,  con ángulos de incidencia crecientes ^{[Nota 2]}

Fig. 6 :  El ángulo de refracción para la incidencia del pastoreo del aire al agua es el ángulo crítico para la incidencia del agua al aire.

Obviamente el ángulo de refracción no puede exceder los 90°. En el caso límite, ponemos ‍ θ ₂ = 90° y ‍ θ ₁ = θ _c ‍ en la ecuación. ( 1 ) y resuelve el ángulo crítico:  

Al derivar este resultado, mantenemos el supuesto de medios isotrópicos para identificar θ ₁ y θ ₂ con los ángulos de incidencia y refracción. ^{[Nota 3]}

Para las ondas electromagnéticas , y especialmente para la luz, se acostumbra expresar los resultados anteriores en términos de índices de refracción . El índice de refracción de un medio con velocidad normal se define como ‍ donde c es la velocidad de la luz en el vacío. ^[9] Por lo tanto ‍ De manera similar , ‍ Haciendo estas sustituciones en las Ecs. ( 1 ) y ( 2 ), obtenemos ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle n_{1\!}=c/v_{1}\,,}$  ${\displaystyle v_{1\!}=c/n_{1}\,.}$  ${\displaystyle v_{2}=c/n_{2}\,.}$   

y

Ec. ( 3 ) es la ley de refracción para medios generales, en términos de índices de refracción, siempre que se tomen θ ₁ y θ ₂ como ángulos diédricos; pero si los medios son isotrópicos , entonces n ₁ y n ₂ se vuelven independientes de la dirección, mientras que θ ₁ y θ ₂ pueden tomarse como los ángulos de incidencia y refracción de los rayos, y la ecuación. ( 4 ) sigue. Entonces, para medios isotrópicos, las Ecs. ( 3 )  y  ( 4 ) juntos describen el comportamiento en la Fig. 5.

Según la ecuación. ( 4 ), para la incidencia del agua ( n ₁ ≈ 1.333 ) ‍ al aire ( n ₂ ≈ 1 ), ‍ tenemos ‍ θ _c ≈ 48,6° , ‍ mientras que para la incidencia del vidrio común o acrílico ( n ₁ ≈ 1,50 ) al aire ( n ₂ ≈ 1 ), ‍ tenemos ‍ θ _c ≈ 41,8° .

La función arcosen que produce θ _c se define sólo si ‍ n ₂ ≤ n ₁ Por lo tanto, para medios isotrópicos, la reflexión interna total no puede ocurrir si el segundo medio tiene un índice de refracción más alto (velocidad normal más baja) que el primero. Por ejemplo, no puede haber TIR para la incidencia del aire al agua; más bien, el ángulo crítico para la incidencia del agua al aire ‍ es el ángulo de refracción en la incidencia rasante del aire al agua (Fig. 6). ^[10]  ${\displaystyle (v_{2}\geq v_{1})\,.}$ 

El medio con mayor índice de refracción se describe comúnmente como ópticamente más denso , y el que tiene menor índice de refracción como ópticamente más raro . ^[11] Por lo tanto, se dice que la reflexión interna total es posible para la incidencia "densa a rara", pero no para la incidencia "rara a densa".

Ejemplos cotidianos

Fig. 7 :  Reflexión interna total por la superficie del agua en el extremo poco profundo de una piscina. La amplia aparición en forma de burbuja entre el nadador y su reflejo es simplemente una perturbación de la superficie reflectante. Parte del espacio sobre el nivel del agua se puede ver a través de la " ventana de Snell " en la parte superior del marco.

Cuando uno se encuentra junto a un acuario con los ojos por debajo del nivel del agua, es probable que vea peces u objetos sumergidos reflejados en la superficie del agua y el aire (Fig. 1). El brillo de la imagen reflejada (tan brillante como la vista "directa") puede resultar sorprendente.

Se puede observar un efecto similar al abrir los ojos mientras se nada justo debajo de la superficie del agua. Si el agua está en calma, la superficie fuera del ángulo crítico (medido desde la vertical) parece un espejo, reflejando los objetos que se encuentran debajo. La región sobre el agua no se puede ver excepto desde arriba, donde el campo de visión hemisférico se comprime en un campo cónico conocido como ventana de Snell , cuyo diámetro angular es el doble del ángulo crítico (cf. Fig. 6). ^[12]  El campo de visión sobre el agua es teóricamente de 180° de ancho, pero parece menor porque a medida que miramos más cerca del horizonte, la dimensión vertical se comprime más fuertemente por la refracción; por ejemplo, por la ecuación. ( 3 ), para ángulos incidentes aire-agua de 90°, 80° y 70°, los ángulos de refracción correspondientes son 48,6° ( θ _cr en la Fig. 6), 47,6° y 44,8°, lo que indica que el La imagen de un punto a 20° sobre el horizonte está a 3,8° del borde de la ventana de Snell, mientras que la imagen de un punto a 10° sobre el horizonte está a sólo 1° del borde. ^[13]

La figura 7, por ejemplo, es una fotografía tomada cerca del fondo del extremo poco profundo de una piscina. Lo que parece una amplia franja horizontal en la pared de la derecha consiste en los bordes inferiores de una hilera de azulejos de color naranja y sus reflejos; esto marca el nivel del agua, que luego se puede rastrear a través de la otra pared. El nadador ha perturbado la superficie sobre ella, alterando la mitad inferior de su reflejo y distorsionando el reflejo de la escalera (a la derecha). Pero la mayor parte de la superficie todavía está en calma, lo que refleja claramente el fondo de baldosas de la piscina. El espacio sobre el agua no es visible excepto en la parte superior del marco, donde los mangos de la escalera son apenas discernibles por encima del borde de la ventana de Snell, dentro de la cual el reflejo del fondo de la piscina es sólo parcial, pero aún perceptible en la fotografía. Incluso se puede discernir la franja de color del borde de la ventana de Snell, debido a la variación del índice de refracción, y por tanto del ángulo crítico, con la longitud de onda (ver Dispersión ).

Fig. 8 : Un diamante  redondo de talla "brillante"

El ángulo crítico influye en los ángulos en los que se cortan las piedras preciosas . La talla redonda " brillante ", por ejemplo, está diseñada para refractar la luz que incide en las facetas frontales, reflejarla dos veces mediante TIR en las facetas posteriores y transmitirla nuevamente a través de las facetas frontales, de modo que la piedra parezca brillante. El diamante (Fig. 8) es especialmente adecuado para este tratamiento, porque su alto índice de refracción (aproximadamente 2,42) y, en consecuencia, su pequeño ángulo crítico (aproximadamente 24,5°) producen el comportamiento deseado en una amplia gama de ángulos de visión. ^[14] Los materiales más baratos que son igualmente susceptibles a este tratamiento incluyen la circona cúbica (índice ≈ 2,15) y la moissanita (no isotrópica, por lo tanto doblemente refractiva , con un índice que oscila entre aproximadamente 2,65 y 2,69, ^{[Nota 4]} dependiendo de la dirección y la polarización. ); Por lo tanto, ambos son populares como simulantes de diamantes .

Ola evanescente

Matemáticamente, las ondas se describen en términos de campos variables en el tiempo , siendo un "campo" una función de su ubicación en el espacio. Una onda que se propaga requiere un campo de "esfuerzo" y un campo de "flujo", siendo este último un vector (si trabajamos en dos o tres dimensiones). El producto del esfuerzo y el flujo está relacionado con la potencia (ver Equivalencia del sistema ). Por ejemplo, para ondas sonoras en un fluido no viscoso , podríamos tomar el campo de esfuerzo como la presión (un escalar) y el campo de flujo como la velocidad del fluido (un vector). El producto de estos dos es la intensidad (potencia por unidad de área). ^[15] [ Nota ^5] Para ondas electromagnéticas, tomaremos el campo de esfuerzo como el campo eléctrico   E  y el campo de flujo como el campo magnetizante   H. Ambos son vectores y su producto vectorial es nuevamente la intensidad (ver vector de Poynting ). ^[dieciséis]

Cuando una onda en (digamos) el medio 1 se refleja en la interfaz entre el medio 1 y el medio 2, el campo de flujo en el medio 1 es la suma vectorial de los campos de flujo debido a las ondas incidente y reflejada. ^{[Nota 6]}  Si la reflexión es oblicua, los campos incidente y reflejado no están en direcciones opuestas y por lo tanto no pueden cancelarse en la interfaz; incluso si la reflexión es total, la componente normal o la componente tangencial del campo combinado (en función de la ubicación y el tiempo) debe ser distinta de cero adyacente a la interfaz. Además, las leyes físicas que gobiernan los campos generalmente implicarán que uno de los dos componentes es continuo a lo largo de la interfaz (es decir, no cambia repentinamente cuando cruzamos la interfaz); por ejemplo, para las ondas electromagnéticas, una de las condiciones de la interfaz es que la componente tangencial de H sea continua si no hay corriente superficial. ^[17] Por lo tanto, incluso si la reflexión es total, debe haber alguna penetración del campo de flujo en el medio 2; y esto, en combinación con las leyes que relacionan los campos de esfuerzo y flujo, implica que también habrá cierta penetración en el campo de esfuerzo. La misma condición de continuidad implica que la variación ("ondulación") del campo en el medio 2 estará sincronizada con la de las ondas incidentes y reflejadas en el medio 1.

Fig. 9 :  Representación de una onda plana sinusoidal incidente (abajo) y la onda evanescente asociada (arriba), en condiciones de reflexión interna total. La onda reflejada no se muestra.

Pero, si la reflexión es total, la penetración espacial de los campos en el medio 2 debe limitarse de alguna manera, o de lo contrario la extensión total y, por tanto, la energía total de esos campos continuaría aumentando, drenando energía del medio 1. Reflexión total de un El tren de ondas continuo permite almacenar algo de energía en el medio 2, pero no permite una transferencia continua de potencia del medio 1 al medio 2.

Por lo tanto, utilizando principalmente un razonamiento cualitativo, podemos concluir que la reflexión interna total debe ir acompañada de un campo ondulatorio en el medio "externo", que viaja a lo largo de la interfaz en sincronismo con las ondas incidente y reflejada, pero con algún tipo de penetración espacial limitada en el interior. el medio "externo"; dicho campo puede denominarse onda evanescente .

La figura 9 muestra la idea básica. Se supone que la onda incidente es plana y sinusoidal . Por simplicidad, no se muestra la onda reflejada. La onda evanescente viaja hacia la derecha al mismo ritmo que las ondas incidente y reflejada, pero su amplitud disminuye al aumentar la distancia desde la interfaz.

(Dos características de la onda evanescente de la Fig. 9 se explicarán más adelante: primero, que las crestas de la onda evanescente son perpendiculares a la interfaz; y segundo, que la onda evanescente está ligeramente por delante de la onda incidente.)

FTIR (reflexión interna total frustrada)

Para que la reflexión interna sea total, no debe haber desviación de la onda evanescente. Supongamos, por ejemplo, que las ondas electromagnéticas que inciden desde el vidrio (con un índice de refracción más alto) al aire (con un índice de refracción más bajo) en un cierto ángulo de incidencia están sujetas a TIR. Y supongamos que tenemos un tercer medio (a menudo idéntico al primero) cuyo índice de refracción es lo suficientemente alto como para que, si el tercer medio reemplazara al segundo, obtendríamos un tren de ondas transmitido estándar para el mismo ángulo de incidencia. Luego, si el tercer medio se acerca a una distancia de unas pocas longitudes de onda desde la superficie del primer medio, donde la onda evanescente tiene una amplitud significativa en el segundo medio, entonces la onda evanescente se refracta efectivamente hacia el tercer medio, dando no- transmisión cero al tercer medio y, por lo tanto, reflexión menor que total al primer medio. ^[18] A medida que la amplitud de la onda evanescente decae a través del espacio de aire, las ondas transmitidas se atenúan , de modo que hay menos transmisión y, por lo tanto, más reflexión que la que habría sin espacio; pero mientras haya alguna transmisión, la reflexión es menos que total. Este fenómeno se denomina reflexión interna total frustrada (donde "frustrado" niega "total"), abreviado "TIR frustrado" o "FTIR".

Fig. 10 :  Huellas dactilares incorpóreas visibles desde el interior de un vaso de agua, debido a una reflexión interna total frustrada. Las huellas dactilares observadas están rodeadas de áreas blancas donde se produce una reflexión interna total.

La TIR frustrada se puede observar mirando la parte superior de un vaso de agua que se sostiene en la mano (Fig. 10). Si el vidrio se sostiene sin apretar, es posible que el contacto no sea lo suficientemente cercano y amplio como para producir un efecto perceptible. Pero si se sujeta con más fuerza, las crestas de las huellas dactilares interactúan fuertemente con las ondas evanescentes, permitiendo que las crestas se vean a través de la superficie de vidrio y aire que de otro modo sería totalmente reflectante. ^[19]

El mismo efecto se puede demostrar con microondas, utilizando cera de parafina como medio "interno" (donde existen las ondas incidentes y reflejadas). En este caso, el ancho de separación permitido podría ser (por ejemplo) de 1 cm o de varios cm, lo cual es fácilmente observable y ajustable. ^{[1] [20]}

El término TIR frustrado también se aplica al caso en el que la onda evanescente es dispersada por un objeto suficientemente cerca de la interfaz reflectante. Este efecto, junto con la fuerte dependencia de la cantidad de luz dispersada de la distancia desde la interfaz, se explota en la microscopía de reflexión interna total . ^[21]

El mecanismo de FTIR se llama acoplamiento de ondas evanescentes y es un buen análogo para visualizar el túnel cuántico . ^[22] Debido a la naturaleza ondulatoria de la materia, un electrón tiene una probabilidad distinta de cero de "hacer un túnel" a través de una barrera, incluso si la mecánica clásica diría que su energía es insuficiente. ^{[18] [19]} De manera similar, debido a la naturaleza ondulatoria de la luz, un fotón tiene una probabilidad distinta de cero de cruzar un espacio, incluso si la óptica de rayos diría que su aproximación es demasiado oblicua.

Otra razón por la cual la reflexión interna puede ser menor que total, incluso más allá del ángulo crítico, es que el medio externo puede tener "pérdidas" (menos que perfectamente transparente), en cuyo caso el medio externo absorberá energía de la onda evanescente, de modo que el mantenimiento de la onda evanescente extraerá energía de la onda incidente. La consiguiente reflexión inferior a la total se denomina reflectancia total atenuada (ATR). Este efecto, y especialmente la dependencia de la frecuencia de la absorción, se puede utilizar para estudiar la composición de un medio externo desconocido. ^[23]

Derivación de onda evanescente.

En una onda electromagnética sinusoidal plana uniforme, el campo eléctrico  E tiene la forma

donde E _k es el vector de amplitud  complejo (constante), i es la unidad imaginaria ,  k es el vector de onda (cuya magnitud k es el número de onda angular ),  r es el vector de posición ,  ω es la frecuencia angular ,  t es el tiempo y se entiende que la parte real de la expresión es el campo físico. ^{[Nota 7]} El campo magnetizante  H tiene la misma forma con la misma k y ω . El valor de la expresión no cambia si la posición r varía en una dirección normal a k ; por tanto k es normal a los frentes de onda .

Si ℓ es el componente de r en la dirección de k ‍ , ‍ el campo ( 5 ) se puede escribir.   Si el argumento de debe ser constante,  ℓ  debe aumentar a la velocidad ‍ conocida como velocidad de fase . ^[24] Esto a su vez es igual a donde c es la velocidad de fase en el medio de referencia (tomado como vacío) y n es el índice de refracción local respecto del medio de referencia. Resolviendo para k se obtiene ‍ es decir ${\displaystyle \mathbf {E_{k}} e^{i(k\ell -\omega t)}\,.}$ ${\displaystyle e^{i(\cdots )}}$ ${\displaystyle \omega /k\,,\,}$ ${\displaystyle c/n\,,\,}$ ${\displaystyle k=n\omega /c\,,\,}$

¿Dónde está el número de onda en el vacío? ^{[25] [Nota 8]} ${\displaystyle \,k_{0}=\omega /c\,}$

De ( 5 ), el campo eléctrico en el medio "externo" tiene la forma

donde k _t es el vector de onda de la onda transmitida (asumimos medios isotrópicos, pero aún no se supone que la onda transmitida sea evanescente).

Fig. 11 :  Vectores de onda incidente, reflejada y transmitida ( k _i ‍ , k _r ‍ y k _t  ), para la incidencia desde un medio con mayor índice de refracción _{n 1} a un medio con menor índice de refracción n ₂ . Las flechas rojas son perpendiculares a los vectores de onda y, por tanto, paralelas a los respectivos frentes de onda.

En coordenadas cartesianas ( x ,  y , ‍ z ) , sea la región ‍ y < 0 ‍ que tenga un índice de refracción n ₁ ‍ , ‍ y que la región ‍ y > 0 ‍ tenga un índice de refracción n ₂ . Entonces el plano xz es la interfaz y el eje y es normal a la interfaz (Fig. 11). Sean i y j (en negrita ) los vectores unitarios en las direcciones x e y , respectivamente. Sea el plano de incidencia (que contiene la normal de onda incidente y la normal a la interfaz) el plano xy (el plano de la página), con el ángulo de incidencia θ _i medido desde j hacia i . Sea el ángulo de refracción, medido en el mismo sentido, θ _t ( t para transmitido , reservando r para reflejado ).  

De ( 6 ), el vector de onda transmitido k _t tiene magnitud n ₂ k ₀ . Por tanto, desde la geometría,

$${\displaystyle \mathbf {k} _{\text{t}}=n_{2}k_{0}(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{t}}+\mathbf {j} \cos \theta _{\text{t}})=k_{0}(\mathbf {i} \,n_{1}\sin \theta _{\text{i}}+\mathbf {j} \,n_{2}\cos \theta _{\text{t}})\,,}$$

producto escalar

$${\displaystyle \mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} =k_{0}(n_{1}x\sin \theta _{\text{i}}+n_{2}y\cos \theta _{\text{t}})\,,}$$

7

En el caso de TIR, el ángulo θ _t no existe en el sentido habitual. Pero aún podemos interpretar ( 8 ) para la onda transmitida (evanescente), permitiendo que cos θ _t  sea complejo . Esto se vuelve necesario cuando escribimos cos θ _t  en términos de sin θ _t ‍ ,  ‍ y de allí en términos de sin θ _i  usando la ley de Snell:

$${\displaystyle \cos \theta _{\text{t}}={\sqrt {1-\sin ^{2}\theta _{\text{t}}}}={\sqrt {1-(n_{1}/n_{2})^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}}}\,.}$$

θ _i^[26]

Para determinar qué signo es aplicable, sustituimos ( 9 ) en ( 8 ), obteniendo

donde el signo indeterminado es el opuesto al de ( 9 ). Para una onda transmitida evanescente , es decir, una cuya amplitud decae a medida que aumenta y , el signo indeterminado en ( 10 ) debe ser menos , por lo que el signo indeterminado en ( 9 ) debe ser más . ^{[Nota 9]}

Con el signo correcto se puede abreviar el resultado ( 10 )

dónde

y k ₀ es el número de onda en el vacío, es decir  ${\displaystyle \,\omega /c\,.}$

Entonces, la onda evanescente es una onda sinusoidal plana que viaja en la dirección x , con una amplitud que decae exponencialmente en la dirección y (cf. Fig. 9). Es evidente que la energía almacenada en esta onda también viaja en la dirección x y no cruza la interfaz. Por lo tanto, el vector de Poynting generalmente tiene una componente en la dirección x , pero su componente y promedia cero (aunque su componente y instantánea no es idénticamente cero). ^{[27] [28]}

Fig.  12 :  Profundidad de penetración de la onda evanescente (en longitudes de onda) versus ángulo de incidencia, para varios valores del índice de refracción relativo (interno frente a externo)

Ec. ( 11 ) indica que la amplitud de la onda evanescente disminuye en un factor e a medida que la coordenada y (medida desde la interfaz) aumenta en la distancia, comúnmente llamada "profundidad de penetración" de la onda evanescente. ^[29] Tomando los recíprocos de la primera ecuación de ( 12 ), encontramos que la profundidad de penetración es ^[28] ${\displaystyle d=1/\kappa \,,\,}$

$${\displaystyle d={\frac {\lambda _{0}}{2\pi \,{\sqrt {n_{1}^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}\,-\,n_{2}^{2}}}}}~,}$$

λ ₀^[30]n ₂ ${\displaystyle \,2\pi /k_{0}\,.}$ 

$${\displaystyle d={\frac {\lambda _{2}}{2\pi \,{\sqrt {(n_{1}/n_{2})^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}\,-\,1}}}}~,}$$

dλ ₂θ _idθ _imenorθ _id ${\displaystyle \,\lambda _{2}=\lambda _{0}/n_{2}\,}$ ${\displaystyle n_{1}/n_{2\,}}$  

$${\displaystyle d_{\text{min}}={\frac {\lambda _{2}}{2\pi \,{\sqrt {(n_{1}/n_{2})^{2}-1}}}}~.}$$

d _min λ ₂/2 π dde ^−4,6de 4,6 ‍ d

Cambios de fase

Entre 1817 y 1823, Augustin-Jean Fresnel descubrió que la reflexión interna total va acompañada de un cambio de fase no trivial (es decir, un cambio de fase que no se limita a 0° o 180°), ya que el coeficiente de reflexión de Fresnel adquiere un valor no -cero parte imaginaria . ^[31] Ahora explicaremos este efecto para las ondas electromagnéticas en el caso de medios lineales , homogéneos , isotrópicos y no magnéticos. El desfase resulta ser un avance , que crece a medida que el ángulo de incidencia aumenta más allá del ángulo crítico, pero que depende de la polarización de la onda incidente.

En las ecuaciones ( 5 ), ( 7 ), ( 8 ), ( 10 ) y ( 11 ), avanzamos la fase en el ángulo ϕ si reemplazamos ωt por ωt+ϕ  (es decir, si reemplazamos −ωt por − ωt−ϕ ),  con el resultado de que el campo (complejo) se multiplica por e ^−iϕ . Entonces un avance de fase equivale a la multiplicación por una constante compleja con un argumento negativo . Esto se vuelve más obvio cuando (por ejemplo) el campo ( 5 ) se factoriza donde el último factor contiene la dependencia del tiempo. ^{[Nota 10]} ${\displaystyle \mathbf {E_{k}} e^{i\mathbf {k\cdot r} }e^{-i\omega t},\,}$

Para representar la polarización de la onda incidente, reflejada o transmitida, el campo eléctrico adyacente a una interfaz se puede resolver en dos componentes perpendiculares, conocidas como componentes s  y  p , que son paralelas a la superficie y al plano de incidencia, respectivamente. ; en otras palabras, las componentes s  y  p son respectivamente cuadradas y paralelas al plano de incidencia. ^{[Nota 11]}

Para cada componente de polarización, el campo eléctrico incidente, reflejado o transmitido ( E en la ecuación ( 5 ) ) tiene una dirección determinada y puede representarse mediante su componente escalar (compleja) en esa dirección. El coeficiente de reflexión o transmisión se puede definir entonces como una relación de componentes complejos en el mismo punto, o en puntos infinitamente separados en lados opuestos de la interfaz. Pero, para fijar los signos de los coeficientes, debemos elegir sentidos positivos para las "direcciones". Para los componentes s , la elección obvia es decir que las direcciones positivas de los campos incidente, reflejado y transmitido son todas iguales (por ejemplo, la dirección z en la Fig. 11). Para los componentes p , este artículo adopta la convención de que las direcciones positivas de los campos incidente, reflejado y transmitido están inclinadas hacia el mismo medio (es decir, hacia el mismo lado de la interfaz, por ejemplo, como las flechas rojas en la Fig. 11). ). ^{[Nota 12]}  Pero se debe advertir al lector que algunos libros utilizan una convención diferente para los componentes p , lo que provoca un signo diferente en la fórmula resultante para el coeficiente de reflexión. ^[32]

Para la polarización s , sean los coeficientes de reflexión y transmisión r _s y t _s respectivamente. Para la polarización p , sean los coeficientes correspondientes r _p y t _p  . Entonces, para medios lineales , homogéneos , isotrópicos y no magnéticos , los coeficientes vienen dados por: ^[33]

(Para obtener una derivación de lo anterior, consulte  Ecuaciones de Fresnel § Teoría ).

Ahora suponemos que la onda transmitida es evanescente. Con el signo correcto (+), sustituyendo ( 9 ) en ( 13 ) se obtiene

$${\displaystyle r_{s}=\,{\frac {n\cos \theta _{\text{i}}-i{\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}{n\cos \theta _{\text{i}}+i{\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}}\,,}$$

$${\displaystyle n=n_{1}/n_{2}\,;}$$

n^{[Nota 13]} r _sargumentor _s

$${\displaystyle -2\arctan {\frac {\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}{n\cos \theta _{\text{i}}}}\,,}$$

avance‍ [ ^34]

Haciendo la misma sustitución en ( 14 ), encontramos que t _s tiene el mismo denominador que r _s con un numerador real positivo (en lugar de un numerador conjugado complejo) y por lo tanto tiene la mitad del argumento de r _s ‍, ‍ de modo que la fase El avance de la onda evanescente es la mitad que el de la onda reflejada .

Con la misma elección de signo, ^{[Nota 14]} sustituyendo ( 9 ) en ( 15 ) se obtiene

$${\displaystyle r_{p}=\,{\frac {\cos \theta _{\text{i}}-in{\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}{\cos \theta _{\text{i}}+in{\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}}\,,}$$

$${\displaystyle -2\arctan {\frac {\,n{\sqrt {n^{2}\sin ^{2}\theta _{\text{i}}-1}}}{\cos \theta _{\text{i}}}}\,,}$$

avance‍ [ ^34]

Haciendo la misma sustitución en ( 16 ), encontramos nuevamente que el avance de fase de la onda evanescente es la mitad que el de la onda reflejada.

Las ecuaciones ( 17 ) y ( 18 ) se aplican cuando ‍ θ _c ≤ θ _i < 90°, donde θ _i es el ángulo de incidencia y θ _c es el ángulo crítico ‍ arcsin (1/ n ) . Estas ecuaciones muestran que  

• cada avance de fase es cero en el ángulo crítico (para el cual el numerador es cero);
• cada avance de fase se aproxima a 180° cuando ‍ θ _i → 90° ; y
• δ _p > δ _s ‍ en valores intermedios de θ _i ( porque el factor n está en el numerador de ( 18 ) y el denominador de ( 17 ) ) . ^[35]

Para θ _i ≤ θ _c ‍ , ‍ los coeficientes de reflexión están dados por las ecuaciones ( 13 ) y ( 15 ) y son reales , de modo que el cambio de fase es 0° (si el coeficiente es positivo) o 180° (si el el coeficiente es negativo).

En ( 13 ), si ponemos ‍ ( ley de Snell) y multiplicamos el numerador y denominador por ${\displaystyle n_{2}=n_{1}\sin \theta _{\text{i}}/\sin \theta _{\text{t}}}$ 1/n ₁ sin θ _t  ‍ , ‍ obtenemos  ^{[36] [37]}

que es positivo para todos los ángulos de incidencia con un rayo transmitido (ya que ‍ θ _t > θ _i ), dando un cambio de fase δ _s de cero.

Si hacemos lo mismo con ( 15 ), se demuestra fácilmente que el resultado es equivalente a  ^{[38] [39]}

que es negativo para ángulos pequeños (es decir, incidencia casi normal), pero cambia de signo en el ángulo de Brewster , donde  θ _i y θ _t son complementarios. Por tanto, el desplazamiento de fase δ _p es de 180° para θ _i pequeño pero cambia a 0° en el ángulo de Brewster. Combinando la complementariedad con la ley de Snell se obtiene ‍ θ _i = arctan (1/ n ) ‍ como ángulo de Brewster para incidencias de densas a raras. ^{[Nota 15]}

( Las ecuaciones ( 19 ) y ( 20 ) se conocen como ley del seno de Fresnel y ley de la tangente de Fresnel . ^[40] Ambas se reducen a 0/0 en incidencia normal, pero producen resultados correctos en el límite como ‍ θ _i → 0. Que tener signos opuestos a medida que nos acercamos a la incidencia normal es una desventaja obvia de la convención de signos utilizada en este artículo; la ventaja correspondiente es que tienen los mismos signos en la incidencia rasante) .

Fig.  13 :  Avance de fase en reflexiones "internas" para índices de refracción de 1,55, 1,5 y 1,45 ("internos" con respecto a "externos"). Más allá del ángulo crítico, las polarizaciones p  (rojo) y s  (azul) sufren cambios de fase desiguales en la reflexión interna total ; la diferencia macroscópicamente observable entre estos cambios se representa en negro.

Esto completa la información necesaria para trazar δ _s y δ _p para todos los ángulos de incidencia. Esto se hace en la Fig. 13, ^[34] con δ _p en rojo y δ _s en azul, para tres índices de refracción. En la escala de ángulo de incidencia (eje horizontal), el ángulo de Brewster es donde δ _p (rojo) cae de 180° a 0°, y el ángulo crítico es donde tanto δ _p como δ _s (rojo y azul) comienzan a aumentar. de nuevo. A la izquierda del ángulo crítico está la región de reflexión parcial , donde ambos coeficientes de reflexión son reales (fase 0° o 180°) con magnitudes menores que 1. A la derecha del ángulo crítico está la región de reflexión total , donde ambos Los coeficientes de reflexión son complejos con magnitudes iguales a 1. En esa región, las curvas negras muestran el avance de fase del componente p  con respecto al componente s  : ^[41]

$${\displaystyle \delta =\delta _{p\!}-\delta _{s}\,.}$$

Este desplazamiento relativo de 45° se emplea en la invención de Fresnel, ahora conocida como rombo de Fresnel, en la que los ángulos de incidencia se eligen de manera que las dos reflexiones internas provoquen un cambio de fase relativo total de 90° entre las dos polarizaciones de una onda incidente. Este dispositivo realiza la misma función que una placa birrefringente de cuarto de onda , pero es más acromático (es decir, el desfase del rombo es menos sensible a la longitud de onda ). Cualquiera de los dispositivos puede usarse, por ejemplo, para transformar la polarización lineal en polarización circular (que también descubrió Fresnel) y viceversa.

En la Fig. 13,  δ se calcula mediante una resta final; pero hay otras formas de expresarlo. El propio Fresnel, en 1823, ^[42] dio una fórmula para  cos δ  .  Born y Wolf (1970, p. 50) derivan una expresión para ‍ tan ( δ /2) y encuentran su máximo analíticamente.

Para TIR de un haz con ancho finito, la variación en el desplazamiento de fase con el ángulo de incidencia da lugar al efecto Goos-Hänchen , que es un desplazamiento lateral del haz reflejado dentro del plano de incidencia. ^{[28] [43]} Este efecto se aplica a la polarización lineal en la dirección s o p . El efecto Imbert-Fedorov es un efecto análogo a la polarización circular o elíptica y produce un desplazamiento perpendicular al plano de incidencia. ^[44]

Aplicaciones

Las fibras ópticas aprovechan la reflexión interna total para transportar señales a largas distancias con poca atenuación. ^[45] Se utilizan en cables de telecomunicaciones y en fibroscopios formadores de imágenes, como los colonoscopios . ^[46]

En la lente catadióptrica de Fresnel , inventada por Augustin-Jean Fresnel para su uso en faros , los prismas exteriores utilizan TIR para desviar la luz de la lámpara en un ángulo mayor del que sería posible con prismas puramente refractivos, pero con menos absorción de luz (y menos riesgo de deslustre) que con los espejos convencionales. ^[47]

Fig.  14 :  Prismas de Porro (etiquetados 2 y 3) en un par de binoculares

Otros prismas reflectantes que utilizan TIR incluyen los siguientes (con cierta superposición entre las categorías): ^[48]

• Los prismas formadores de imágenes para binoculares y catalejos incluyen los prismas Porro emparejados de 45°-90°-45°(Fig. 14), el prisma Porro-Abbe , los prismas en línea Koenig ^[49] y Abbe-Koenig , y el compacto en línea Schmidt. –Prisma de Pechan . (Este último consta de dos componentes, uno de los cuales es una especie de prisma de Bauernfeind , que debido a un ángulo de incidencia subcrítico requiere un revestimiento reflectante en una de sus dos caras reflectantes.) Estos prismas tienen la función adicional de plegarse. la trayectoria óptica desde la lente del objetivo hasta el foco principal , reduciendo la longitud total para una distancia focal primaria determinada .
• Una diagonal de estrella prismática para un telescopio astronómico puede consistir en un solo prisma de Porro (configurado para una sola reflexión, dando una imagen invertida en espejo) o un prisma de techo Amici (que da una imagen no invertida).
• Los prismas de techo utilizan TIR en dos caras que se encuentran en un ángulo agudo de 90°. Esta categoría incluye los tipos Koenig, Abbe-Koenig, Schmidt-Pechan y Amici (ya mencionados), y el pentaprisma de techo utilizado en las cámaras SLR ; el último de ellos requiere un revestimiento reflectante en una cara que no sea TIR .
• Un reflector de esquina prismático utiliza tres reflejos internos en total para invertir la dirección de la luz entrante.
• El prisma Dove ofrece una visión en línea con inversión de espejo.

Prismas polarizadores : Aunque el rombo de Fresnel, que convierte entre polarización lineal y elíptica, no es birrefringente (doblemente refractivo), existen otros tipos de prismas que combinan la birrefringencia con el TIR de tal manera que la luz de una determinada polarización se refleja totalmente mientras que la luz de la polarización ortogonal se transmite al menos en parte. Los ejemplos incluyen el prisma de Nicol , ^[50] el prisma de Glan-Thompson , el prisma de Glan-Foucault (o "prisma de Foucault"), ^{[51] [52]} y el prisma de Glan-Taylor . ^[53]

Los refractómetros , que miden los índices de refracción, suelen utilizar el ángulo crítico. ^{[54] [55]}

Los sensores de lluvia para parabrisas/limpiaparabrisas automáticos se han implementado utilizando el principio de que la reflexión interna total guiará un haz de infrarrojos desde una fuente a un detector si la superficie exterior del parabrisas está seca, pero cualquier gota de agua sobre la superficie desviará parte de la luz. ^[56]

Los paneles LED con iluminación de borde , utilizados (p. ej.) para la retroiluminación de monitores de computadora LCD , aprovechan TIR para confinar la luz LED al panel de vidrio acrílico, excepto que parte de la luz se dispersa mediante grabados en un lado del panel, lo que proporciona aproximadamente Emisión luminosa uniforme . ^[57]

Fig.  15 :  Funcionamiento de un microscopio de fluorescencia TIR de "transgeometría": (1) objetivo, (2) haz de emisión [señal], (3) aceite de inmersión, (4) cubreobjetos, (5) muestra, (6) rango de onda evanescente, (7) haz de excitación, (8) prisma de cuarzo.

La microscopía de reflexión interna total (TIRM) utiliza la onda evanescente para iluminar objetos pequeños cerca de la interfaz reflectante. La consiguiente dispersión de la onda evanescente (una forma de TIR frustrado) hace que los objetos parezcan brillantes cuando se ven desde el lado "externo". ^[21] En el microscopio de fluorescencia de reflexión interna total (TIRFM), en lugar de confiar en la dispersión simple, elegimos una longitud de onda evanescente lo suficientemente corta como para causar fluorescencia (Fig. 15). ^[58] La alta sensibilidad de la iluminación a la distancia desde la interfaz permite medir desplazamientos y fuerzas extremadamente pequeños. ^[59]

Un cubo divisor de haz utiliza TIR frustrado para dividir la potencia del haz entrante entre los haces transmitidos y reflejados. ^[18] El ancho del espacio de aire (o espacio de bajo índice de refracción) entre los dos prismas se puede hacer ajustable, dando mayor transmisión y menor reflexión para un espacio más estrecho, o mayor reflexión y menor transmisión para un espacio más amplio. ^[60]

La modulación óptica se puede lograr mediante TIR frustrado con una brecha rápidamente variable. ^[61] Como el coeficiente de transmisión es muy sensible al ancho del espacio (la función es aproximadamente exponencial hasta que el espacio está casi cerrado), esta técnica puede lograr un gran rango dinámico .

Los dispositivos ópticos de toma de huellas dactilares han utilizado TIR frustrado para registrar imágenes de huellas dactilares de personas sin el uso de tinta (cf. Fig. 11). ^[62]

El análisis de la marcha se puede realizar utilizando TIR frustrado con una cámara de alta velocidad para capturar y analizar huellas. ^[63]

Un gonioscopio , utilizado en optometría y oftalmología para el diagnóstico de glaucoma , suprime la TIR para observar el ángulo entre el iris y la córnea . Esta visión suele estar bloqueada por TIR en la interfaz córnea-aire. El gonioscopio reemplaza el aire con un medio de índice más alto, lo que permite la transmisión con incidencia oblicua, seguida generalmente por la reflexión en un "espejo", que a su vez puede implementarse mediante TIR. ^{[64] [65]}

Algunas mesas y pizarras interactivas multitáctiles utilizan FTIR para detectar dedos que tocan la pantalla. Detrás de la superficie de la pantalla se coloca una cámara de infrarrojos, cuyos bordes están iluminados por LED infrarrojos; Al tocar la superficie, FTIR hace que parte de la luz infrarroja escape del plano de la pantalla y la cámara las ve como áreas brillantes. Luego se utiliza un software de visión por computadora para traducir esto en una serie de coordenadas y gestos.

Historia

Descubrimiento

Las explicaciones sorprendentemente completas y en gran medida correctas del arco iris por parte de Teodorico de Freiberg (escrito entre 1304 y 1310) ^[66] y Kamāl al-Dīn al-Fārisī (completado en 1309), ^[67] aunque a veces se mencionan en relación con la reflexión interna total (TIR), son de dudosa relevancia porque la reflexión interna de la luz solar en una gota de lluvia esférica no es total. ^{[Nota 16]} Pero, según Carl Benjamin Boyer , el tratado de Teodorico sobre el arco iris también clasificó los fenómenos ópticos en cinco causas, la última de las cuales fue "una reflexión total en el límite de dos medios transparentes". ^[68] La obra de Teodorico fue olvidada hasta que fue redescubierta por Giovanni Battista Venturi en 1814. ^[69]

Johannes Kepler (1571-1630)

Habiendo caído Teodorico en la oscuridad, el descubrimiento de TIR se atribuyó generalmente a Johannes Kepler , quien publicó sus hallazgos en su Dioptrice en 1611. Aunque Kepler no logró encontrar la verdadera ley de refracción, demostró mediante experimentos que para la incidencia aire-vidrio , los rayos incidente y refractado giraban en el mismo sentido alrededor del punto de incidencia, y que como el ángulo de incidencia variaba ±90°, el ángulo de refracción (como lo llamamos ahora) variaba ±42°. También era consciente de que los rayos incidentes y refractados eran intercambiables. Pero estas observaciones no cubrieron el caso de un rayo que incide desde el vidrio al aire en un ángulo superior a 42°, y Kepler rápidamente concluyó que tal rayo sólo podía reflejarse . ^[70]

René Descartes redescubrió la ley de refracción y la publicó en su Dioptrique de 1637. En la misma obra mencionó los sentidos de rotación de los rayos incidentes y refractados y el estado de TIR. Pero se olvidó de discutir el caso límite y, en consecuencia, no dio una expresión para el ángulo crítico, aunque fácilmente podría haberlo hecho. ^[71]

Huygens y Newton: explicaciones rivales

Christiaan Huygens , en su Tratado sobre la luz (1690), prestó mucha atención al umbral en el que el rayo incidente es "incapaz de penetrar en la otra sustancia transparente". ^[72] Aunque no dio un nombre ni una expresión algebraica para el ángulo crítico, dio ejemplos numéricos para la incidencia vidrio-aire y agua-aire, notó el gran cambio en el ángulo de refracción para un pequeño cambio en el ángulo de incidencia cerca del ángulo crítico, y citó esto como la causa del rápido aumento en el brillo del rayo reflejado a medida que el rayo refractado se acerca a la tangente a la interfaz. ^[73] La idea de Huygens es confirmada por la teoría moderna: en las Ecs. ( 13 ) y ( 15 ) anteriores, no hay nada que diga que los coeficientes de reflexión aumentan excepcionalmente abruptamente cuando θ _t se aproxima a 90°, excepto que, de acuerdo con la ley de Snell, θ _t  en sí es una función cada vez más pronunciada de θ _i . 

Christian Huygens (1629-1695)

Huygens ofreció una explicación de TIR dentro del mismo marco que sus explicaciones de las leyes de propagación rectilínea, reflexión, refracción ordinaria e incluso la refracción extraordinaria del " cristal de Islandia " (calcita). Ese marco se basaba en dos premisas: en primer lugar, cada punto atravesado por un frente de onda en propagación se convierte en una fuente de frentes de onda secundarios ("principio de Huygens"); y segundo, dado un frente de onda inicial, cualquier posición posterior del frente de onda es la envolvente (superficie tangente común) de todos los frentes de onda secundarios emitidos desde la posición inicial. Todos los casos de reflexión o refracción de una superficie se explican simplemente considerando las ondas secundarias emitidas desde esa superficie. En el caso de la refracción de un medio de propagación más lenta a un medio de propagación más rápida, existe una cierta oblicuidad de incidencia más allá de la cual es imposible que los frentes de onda secundarios formen una tangente común en el segundo medio; ^[74] esto es lo que ahora llamamos el ángulo crítico. A medida que el frente de onda incidente se acerca a esta oblicuidad crítica, el frente de onda refractado se concentra contra la superficie refractiva, aumentando las ondas secundarias que producen la reflexión de regreso al primer medio. ^[75]

El sistema de Huygens incluso admitía la reflexión parcial en la interfaz entre diferentes medios, aunque de forma vaga, por analogía con las leyes de colisiones entre partículas de diferentes tamaños. ^[76] Sin embargo, mientras la teoría ondulatoria continuara asumiendo ondas longitudinales , no tenía ninguna posibilidad de acomodar la polarización, por lo tanto, no había posibilidad de explicar la dependencia de la polarización de la refracción extraordinaria, ^[77] o del coeficiente de reflexión parcial, o de el cambio de fase en TIR.

Isaac Newton (1642/3–1726/7)

Isaac Newton rechazó la explicación ondulatoria de la propagación rectilínea, creyendo que si la luz estuviera formada por ondas, "se curvaría y se extendería en todas direcciones" hacia las sombras. ^[78] Su teoría corpuscular de la luz explicaba la propagación rectilínea de forma más sencilla y explicaba las leyes ordinarias de refracción y reflexión, incluida la TIR, basándose en la hipótesis de que los corpúsculos de luz estaban sujetos a una fuerza que actuaba perpendicular a la interfaz. ^[79] En este modelo, para una incidencia de densa a rara, la fuerza era una atracción hacia el medio más denso, y el ángulo crítico era el ángulo de incidencia en el que la velocidad normal del corpúsculo que se acercaba era suficiente para alcanzar el lado lejano del campo de fuerza; en una incidencia más oblicua, el corpúsculo se daría vuelta hacia atrás. ^[80] Newton dio lo que equivale a una fórmula para el ángulo crítico, aunque en palabras: "así como los senos son los que miden la refracción, también lo es el seno de incidencia en el que comienza la reflexión total, hasta el radio del círculo". ^[81]

Newton fue más allá de Huygens en dos sentidos. En primer lugar, como era de esperar, Newton señaló la relación entre TIR y dispersión : cuando un haz de luz blanca se acerca a una interfaz vidrio-aire con una oblicuidad creciente, los rayos más fuertemente refractados (violeta) son los primeros en ser "sacados". " por "Reflexión total", seguida de los rayos menos refractados. ^[82] En segundo lugar, observó que la reflexión total podría frustrarse (como decimos ahora) juntando dos prismas, uno plano y el otro ligeramente convexo; y lo explicó simplemente señalando que los corpúsculos serían atraídos no sólo por el primer prisma, sino también por el segundo. ^[83]

Sin embargo, en otros dos aspectos el sistema de Newton era menos coherente. En primer lugar, su explicación de la reflexión parcial dependía no sólo de las supuestas fuerzas de atracción entre corpúsculos y medios, sino también de la hipótesis más nebulosa de "ataques de fácil reflexión" y "ataques de fácil transmisión". ^[84] En segundo lugar, aunque sus corpúsculos posiblemente podrían tener "lados" o "polos", cuyas orientaciones podrían determinar si los corpúsculos sufrieron refracción ordinaria o extraordinaria en "Island-Crystal", ^[85] su descripción geométrica de la refracción extraordinaria ^{[ 86]} no tenía fundamento teórico ^[87] y era empíricamente inexacto. ^[88]

Laplace, Malus y reflectancia total atenuada (ATR)

William Hyde Wollaston , en el primero de un par de artículos leídos ante la Royal Society de Londres en 1802, ^[55] informó sobre su invención de un refractómetro basado en el ángulo crítico de incidencia de un medio interno de conocido "poder refractivo" (refractivo). índice) a un medio externo cuyo índice se iba a medir. ^[89] Con este dispositivo, Wollaston midió los "poderes de refracción" de numerosos materiales, algunos de los cuales eran demasiado opacos para permitir la medición directa de un ángulo de refracción. Las traducciones de sus artículos se publicaron en Francia en 1803 y aparentemente llamaron la atención de Pierre-Simon Laplace . ^[90]

Pierre-Simon Laplace (1749–1827)

Según la elaboración de Laplace de la teoría de la refracción de Newton, un corpúsculo que incide en una interfaz plana entre dos medios isotrópicos homogéneos estaba sujeto a un campo de fuerza que era simétrico con respecto a la interfaz. Si ambos medios fueran transparentes, se produciría una reflexión total si el corpúsculo se volviera hacia atrás antes de salir del campo en el segundo medio. Pero si el segundo medio fuera opaco, la reflexión no sería total a menos que el corpúsculo retrocediera antes de abandonar el primer medio; esto requirió un ángulo crítico mayor que el dado por la ley de Snell y, en consecuencia, impugnó la validez del método de Wollaston para medios opacos. ^[91] Laplace combinó los dos casos en una única fórmula para el índice de refracción relativo en términos del ángulo crítico (ángulo de incidencia mínimo para TIR). La fórmula contenía un parámetro que tomaba un valor para un medio externo transparente y otro valor para un medio externo opaco. La teoría de Laplace predijo además una relación entre el índice de refracción y la densidad de una sustancia determinada. ^[92]

Étienne-Louis Malus (1775–1812)

En 1807, la teoría de Laplace fue probada experimentalmente por su protegido, Étienne-Louis Malus . Tomando la fórmula de Laplace para el índice de refracción como se da y usándola para medir el índice de refracción de la cera de abejas en estado líquido (transparente) y sólido (opaco) a varias temperaturas (por lo tanto, varias densidades), Malus verificó la relación de Laplace entre índice de refracción y densidad. ^{[93] [94]}

Pero la teoría de Laplace implicaba que si el ángulo de incidencia excedía su ángulo crítico modificado, la reflexión sería total incluso si el medio externo fuera absorbente. Claramente esto estaba mal: en las Ecs. ( 12 ) anterior, no existe un valor umbral del ángulo θ _i más allá del cual κ se vuelve infinito; por lo que la profundidad de penetración de la onda evanescente (1/ κ ) siempre es distinta de cero, y el medio externo, si tiene alguna pérdida, atenuará la reflexión. En cuanto a por qué Malus aparentemente observó tal ángulo para la cera opaca, debemos inferir que había un cierto ángulo más allá del cual la atenuación del reflejo era tan pequeña que ATR era visualmente indistinguible de TIR. ^[95]

Fresnel y el cambio de fase

Fresnel llegó al estudio de la reflexión interna total a través de su investigación sobre la polarización. En 1811, François Arago descubrió que la luz polarizada aparentemente se "despolarizaba" de una manera dependiente de la orientación y del color cuando pasaba a través de una rebanada de cristal doblemente refractivo: la luz emergente mostraba colores cuando se miraba a través de un analizador (segundo polarizador). La polarización cromática , como llegó a denominarse este fenómeno, fue investigada más a fondo en 1812 por Jean-Baptiste Biot . En 1813, Biot estableció que un caso estudiado por Arago, a saber, el cuarzo cortado perpendicularmente a su eje óptico , era en realidad una rotación gradual del plano de polarización con la distancia. ^[96]

Agustín-Jean Fresnel (1788–1827)

En 1816, Fresnel ofreció su primer intento de elaborar una teoría de la polarización cromática basada en ondas . Sin (todavía) invocar explícitamente ondas transversales , su teoría trataba la luz como si estuviera formada por dos componentes perpendicularmente polarizados. ^[97] En 1817 notó que la luz polarizada en un plano parecía estar parcialmente despolarizada por reflexión interna total, si inicialmente estaba polarizada en un ángulo agudo con respecto al plano de incidencia. ^[98] Al incluir la reflexión interna total en un experimento de polarización cromática, descubrió que la luz aparentemente despolarizada era una mezcla de componentes polarizados paralelos y perpendiculares al plano de incidencia, y que la reflexión total introducía una diferencia de fase entre ellos. ^[99] La elección de un ángulo de incidencia apropiado (aún no especificado exactamente) dio como resultado una diferencia de fase de 1/8 de ciclo. Dos de esas reflexiones de las "caras paralelas" de "dos prismas acoplados" dieron una diferencia de fase de 1/4 de ciclo. En ese caso, si la luz estaba inicialmente polarizada a 45° con respecto al plano de incidencia y reflexión, parecía estar completamente despolarizada después de las dos reflexiones. Estos hallazgos se informaron en una memoria enviada y leída a la Academia de Ciencias de Francia en noviembre de 1817. ^[100]

En 1821, Fresnel derivó fórmulas equivalentes a sus leyes del seno y la tangente ( ecuaciones ( 19 ) y ( 20 ), arriba )  modelando ondas de luz como ondas elásticas transversales con vibraciones perpendiculares a lo que anteriormente se había llamado plano de polarización . ^{[101] [Nota 17]} Utilizando datos experimentales antiguos, confirmó rápidamente que las ecuaciones predijeron correctamente la dirección de polarización del haz reflejado cuando el haz incidente estaba polarizado a 45° con respecto al plano de incidencia, para la luz incidente desde el aire sobre el vidrio. o agua. ^[102] La confirmación experimental se informó en una "posdata" del trabajo en el que Fresnel expuso su teoría madura de la polarización cromática, introduciendo ondas transversales. ^[103] Los detalles de la derivación se dieron más tarde, en una memoria leída en la academia en enero de 1823. ^[104] La derivación combinó la conservación de la energía con la continuidad de la vibración tangencial en la interfaz, pero no permitió ninguna condición en la componente normal de la vibración. ^[105]

Mientras tanto, en una memoria presentada en diciembre de 1822, ^[106] Fresnel acuñó los términos polarización lineal , polarización circular y polarización elíptica . ^[107] Para la polarización circular , los dos componentes perpendiculares estaban desfasados ​​un cuarto de ciclo (±90°).

La nueva terminología fue útil en las memorias de enero de 1823, ^[104] que contenían las derivaciones detalladas de las leyes del seno y la tangente: en esas mismas memorias, Fresnel encontró que para ángulos de incidencia mayores que el ángulo crítico, los coeficientes de reflexión resultantes eran complejos. con magnitud unitaria. Al notar que la magnitud representaba la relación de amplitud como de costumbre, supuso que el argumento representaba el cambio de fase y verificó la hipótesis mediante un experimento. ^[108] La verificación involucrada

• calcular el ángulo de incidencia que introduciría una diferencia de fase total de 90° entre las componentes s y p , para varios números de reflexiones internas totales en ese ángulo (generalmente había dos soluciones),
• someter la luz a ese número de reflexiones internas totales en ese ángulo de incidencia, con una polarización lineal inicial a 45° con respecto al plano de incidencia, y
• comprobando que la polarización final era circular. ^[109]

Este procedimiento era necesario porque, con la tecnología de la época, no se podían medir los cambios de fase s  y  p directamente, y no se podía medir un grado arbitrario de elipticalidad de la polarización, como el que podría ser causado por la diferencia entre las fases. turnos. Pero se pudo comprobar que la polarización era circular , porque el brillo de la luz era entonces insensible a la orientación del analizador.

Para vidrio con un índice de refracción de 1,51, Fresnel calculó que una diferencia de fase de 45° entre los dos coeficientes de reflexión (por lo tanto, una diferencia de 90° después de dos reflexiones) requería un ángulo de incidencia de 48°37' o 54°37'. Cortó un rombo en el último ángulo y descubrió que funcionaba como se esperaba. ^[110] Así se completó la especificación del rombo de Fresnel. De manera similar, Fresnel calculó y verificó el ángulo de incidencia que daría una diferencia de fase de 90° después de tres reflexiones en el mismo ángulo y cuatro reflexiones en el mismo ángulo. En cada caso había dos soluciones, y en cada caso informó que el ángulo de incidencia mayor daba una polarización circular precisa (para una polarización lineal inicial a 45° con respecto al plano de reflexión). Para el caso de tres reflexiones, también probó el ángulo más pequeño, pero descubrió que daba cierta coloración debido a la proximidad del ángulo crítico y su ligera dependencia de la longitud de onda. (Compárese con la Fig. 13 anterior, que muestra que la diferencia de fase δ es más sensible al índice de refracción para ángulos de incidencia más pequeños).

Para mayor confianza, Fresnel predijo y verificó que cuatro reflexiones internas en total a 68°27' darían una polarización circular precisa si dos de las reflexiones tuvieran agua como medio externo mientras que las otras dos tuvieran aire, pero no si todas las superficies reflectantes fueran mojado o todo seco. ^[111]

Se cree que la deducción de Fresnel del cambio de fase en TIR fue la primera ocasión en la que se atribuyó un significado físico al argumento de un número complejo. Aunque este razonamiento se aplicó sin el beneficio de saber que las ondas de luz eran electromagnéticas, pasó la prueba del experimento y sobrevivió notablemente intacto después de que James Clerk Maxwell cambiara la supuesta naturaleza de las ondas. ^[112] Mientras tanto, el éxito de Fresnel inspiró a James MacCullagh y Augustin-Louis Cauchy , a partir de 1836, a analizar la reflexión de los metales mediante el uso de las ecuaciones de Fresnel con un índice de refracción complejo . ^[113] La parte imaginaria del índice complejo representa la absorción. ^[114]

El término ángulo crítico , utilizado por conveniencia en la narrativa anterior, es anacrónico: aparentemente data de 1873. ^[115]

En el siglo XX, la electrodinámica cuántica reinterpretó la amplitud de una onda electromagnética en términos de la probabilidad de encontrar un fotón. ^[116] En este marco, la transmisión parcial y la TIR frustrada se refieren a la probabilidad de que un fotón cruce un límite, y la reflectancia total atenuada se refiere a la probabilidad de que un fotón sea absorbido en el otro lado.

La investigación sobre los aspectos más sutiles del cambio de fase en TIR, incluidos los efectos Goos-Hänchen e Imbert-Fedorov y sus interpretaciones cuánticas, ha continuado en el siglo XXI. ^[44]

Galería

• 
  Un pez ballesta indio y su reflejo total en la superficie del agua.
• 
  Reflexión total de un pincel por la superficie agua-aire en un vaso.
• 
  Reflexión interna total de un láser verde en el pie de una copa de vino

Ver también

• Reflectancia total atenuada
• campo evanescente
• fibroscopio
• ecuaciones de fresnel
• lente de Fresnel
• rombo de fresnel
• Efecto Goos-Hänchen
• Efecto Imbert-Fedorov
• Fibra óptica
• Polarización (ondas)
• La ventana de Snell
• Microscopio de fluorescencia TIR
• microscopía TIR
• Reflexión externa total

Notas

1. birrefringentes , como la calcita , no son isotrópicos (anisotrópicos). Cuando decimos que la refracción extraordinaria de un cristal de calcita "viola la ley de Snell", queremos decir que la ley de Snell no se aplica al rayo extraordinario , porque la dirección de este rayo dentro del cristal generalmente difiere de la de la onda normal asociada ( Huygens, 1690, tr. Thompson, p.65, Art. 24), y porque la velocidad normal de la onda depende en sí misma de la dirección. (Tenga en cuenta que el pasaje citado contiene un error de traducción: en la frase "conjugado con respecto a diámetros que no están en la línea recta AB", la palabra "no" no está respaldada por el francés original de Huygens y es geométricamente incorrecta).
2. Según las ecuaciones. ( 13 )  y  ( 15 ), la reflexión es total para la incidencia en el ángulo crítico. Sobre esa base, la Fig. 5 debería mostrar un rayo completamente reflejado, y ningún rayo tangencial, para la incidencia en θ _c . Pero, debido a la difracción , un haz incidente de anchura finita no puede tener un único ángulo de incidencia; debe haber alguna divergencia del haz. Además, la gráfica del coeficiente de reflexión versus el ángulo de incidencia se vuelve vertical en θ _c (Jenkins & White, 1976, p. 527), de modo que una pequeña divergencia del haz provoca una gran pérdida de reflexión. De manera similar, cerca del ángulo crítico, una pequeña divergencia en el ángulo de incidencia provoca una gran divergencia en el ángulo de refracción (cf. Huygens, 1690, tr. Thompson, p. 41); por lo tanto, el rayo refractado tangencial debe tomarse sólo como un caso límite.
3. Para medios no isotrópicos, la ecuación. ( 1 ) todavía describe la ley de refracción en términos de direcciones y velocidades normales de onda , pero el rango de aplicabilidad de esa ley está determinado por las limitaciones de las direcciones de los rayos (cf. Buchwald, 1989, p. 29).
4. El rango citado varía debido a los diferentes politipos de cristal .
5. La potencia "por unidad de área" es apropiada para campos en tres dimensiones. En dos dimensiones, podríamos querer que el producto del esfuerzo y el flujo sea potencia por unidad de longitud . En una dimensión, o en un modelo de elementos agrupados , podríamos querer que sea simplemente poder.
6. Suponemos que las ecuaciones que describen los campos son lineales .
7. Los físicos suelen utilizar la forma anterior ( 5 ). Los ingenieros eléctricos normalmente prefieren la forma , es decir, no solo usan j en lugar de i para la unidad imaginaria, sino que también cambian el signo del exponente, con el resultado de que toda la expresión es reemplazada por su conjugado complejo , dejando la parte real sin cambios. . La forma de los ingenieros eléctricos y las fórmulas derivadas de ellas pueden convertirse a la convención de los físicos sustituyendo −i por j (Stratton, 1941, págs. vii-viii). ${\displaystyle \mathbf {E_{k}} e^{j(\omega t-\mathbf {k\cdot r} )};}$
8. Suponemos que no hay desplazamientos Doppler , de modo que ω no cambia en las interfaces entre medios.
9. Si convertimos esto correctamente a la convención de ingeniería eléctrica, obtenemos −j ‍ √ ⋯  en el lado derecho de ( 9 ), que no es la raíz cuadrada principal. Por tanto, no es válido suponer, a priori , que lo que los matemáticos llaman la " raíz cuadrada principal " sea la físicamente aplicable.
10. En la convención de ingeniería eléctrica, el factor dependiente del tiempo es e ^{‍ jωt} , de modo que un avance de fase corresponde a la multiplicación por una constante compleja con un argumento positivo . Este artículo, sin embargo, utiliza la convención de física, con el factor dependiente del tiempo e ^−iωt .
11. La s proviene originalmente del alemán senkrecht , que significa "perpendicular" (al plano de incidencia). Las mnemónicas alternativas del texto quizás sean más adecuadas para los angloparlantes.
12. En otras palabras, para ambas polarizaciones, este artículo utiliza la convención de que las direcciones positivas de los campos incidente, reflejado y transmitido son todas iguales para cualquier campo que sea normal al plano de incidencia; este es el campo E para la polarización s y el campo H para la polarización p .
13. Esta nomenclatura sigue a Jenkins & White, 1976, págs. 526–9. Algunos autores, sin embargo, utilizan el índice de refracción recíproco y por tanto obtienen formas diferentes para nuestras Ecs. ( 17 ) y ( 18 ). Los ejemplos incluyen Born & Wolf [1970, p. 49, ecuaciones. (60)] ‍ y Stratton [1941, p. 499, ecuaciones. (43)]. Además, Born & Wolf definen δ _⊥ y δ _∥ como argumentos en lugar de cambios de fase, lo que provoca un cambio de signo.
14. Es simplemente fortuito que la raíz cuadrada principal resulte ser la correcta en la situación actual, y sólo porque utilizamos el factor dependiente del tiempo e ^−iωt .  Si en cambio usáramos el factor dependiente del tiempo de los ingenieros eléctricos e ^{‍ jωt} ,  elegir la raíz cuadrada principal produciría el mismo argumento para el coeficiente de reflexión, pero esto se interpretaría como el cambio de fase opuesto , lo cual sería incorrecto. Pero si elegimos la raíz cuadrada para que el campo transmitido sea evanescente, obtenemos el cambio de fase correcto con cualquiera de los factores dependientes del tiempo.
15. La fórmula más familiar  arctan n  ‍ es para una incidencia de rara a densa. En ambos casos, n es el índice de refracción del medio más denso en relación con el medio más raro.
16. Para un rayo externo que incide sobre una gota de lluvia esférica, el rayo refractado está en el plano del rayo incidente y el centro de la gota, y el ángulo de refracción es menor que el ángulo crítico para la incidencia agua-aire; pero este ángulo de refracción, por la simetría esférica, es también el ángulo de incidencia de la reflexión interna, que por tanto es menor que el total. Además, si esa reflexión fuera total, todas las reflexiones internas posteriores tendrían el mismo ángulo de incidencia (debido a la simetría) y también serían totales, de modo que la luz nunca escaparía para producir un arco visible.
17. Por lo tanto, cuando Fresnel dice que después de una reflexión interna total con la incidencia adecuada, la onda polarizada paralela al plano de incidencia está "atrasada" en 1/8 de ciclo (citado por Buchwald, 1989, p. 381), se refiere a la onda cuyo plano de polarización es paralelo al plano de incidencia, es decir, la onda cuya vibración es perpendicular a ese plano, es decir, lo que ahora llamamos componente s .

Referencias

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3. Jenkins y White, 1976, pág. 11.
4. Jenkins y White, 1976, pág. 527. (El haz refractado se vuelve más débil en términos de potencia total, pero no necesariamente en términos de visibilidad, porque el haz también se vuelve más estrecho a medida que se vuelve más casi tangencial.)
5. Jenkins y White, 1976, pág. 26.
6. Cfr.  Thomas Young en Quarterly Review , abril de 1814, reimpreso en T. Young (ed. G. Peacock), Miscellaneous Works of the difunto Thomas Young , Londres: J. Murray, 1855, vol.  1, en la pág. 263.
7. Cfr. Born & Wolf, 1970, págs. 12-13.
8. Cfr.  Huygens, 1690, trad. Thompson, pág. 38.
9. Nacido y lobo, 1970, pág. 13; Jenkins y White, 1976, págs. 9-10. Esta definición utiliza el vacío como "medio de referencia". En principio, se puede elegir cualquier medio isotrópico como referencia. Para algunos propósitos es conveniente elegir el aire, en el que la velocidad de la luz es aproximadamente un 0,03% menor que en el vacío (cf. Rutten y van Venrooij, 2002, págs. 10, 352). El presente artículo, sin embargo, opta por el vacío.
10. Cfr. Jenkins y White, 1976, pág. 25.
11. Jenkins y White, 1976, págs.10, 25.
12. Cfr.  DK Lynch (1 de febrero de 2015), "La ventana de Snell en agua ondulada", Applied Optics , 54  (4): B8–B11, doi :10.1364/AO.54.0000B8.
13. Huygens (1690, tr. Thompson, p. 41), para la incidencia vidrio-aire, señaló que si la oblicuidad del rayo incidente está a sólo 1° del punto crítico, el rayo refractado está a más de 11° de la tangente. . NB:  La definición de Huygens del "ángulo de incidencia" es el complemento de la definición moderna.
14. JR Graham, "¿Se puede cortar un diseño de gema para obtener brillo de inclinación?", International Gem Society, consultado el 21 de marzo de 2019; archivado el 14 de diciembre de 2018.
15. 'PJS' (autor), "Presión sonora, potencia sonora e intensidad del sonido: ¿cuál es la diferencia?" Comunidad PLM de Siemens , consultado el 10 de abril de 2019; archivado el 10 de abril de 2019.
16. Stratton, 1941, págs. 131–7.
17. Stratton, 1941, pág. 37.
18. Cfr.  Demostraciones de conferencias de ciencias naturales de Harvard, "Frustrated Total Internal Reflection", consultado el 9 de abril de 2019; archivado el 2 de agosto de 2018.
19. R. Ehrlich, 1997, Por qué Toast aterriza con el lado gelatinoso hacia abajo: demostraciones del zen y el arte de la física , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-02891-0 , p. 182, consultado el 26 de marzo de 2019. 
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23. Thermo Fisher Scientific, "Técnicas de muestra FTIR: reflexión total atenuada (ATR)", consultado el 9 de abril de 2019.
24. Jenkins y White, 1976, pág. 228.
25. Born & Wolf, 1970, págs. 16-17, ecuaciones. (20), (21).
26. Nacido y lobo, 1970, pág. 47, ecuación. (54), donde su n es nuestra ( no nuestra ). ${\displaystyle n_{2}/n_{1}}$ ${\displaystyle n_{1}/n_{2}}$
27. Stratton, 1941, pág. 499; Nacido y lobo, 1970, pág. 48.
28. de átomos fríos cerca de superficies (Universidad Jagellónica), "Propiedades de ondas evanescentes", consultado el 11 de abril de 2019; archivado el 28 de abril de 2018. ( NB: esta página usa z para la coordenada normal a la interfaz y los superíndices ⊥ y ∥ para las polarizaciones s ("TE") y p , respectivamente. Las páginas de este sitio usan el factor dependiente del tiempo e ^{+ iωt} , es decir, el factor dependiente del tiempo de los ingenieros eléctricos con el símbolo de los físicos para la unidad imaginaria).
29. Hecht, 2017, pág. 136.
30. Nacido y lobo, 1970, pág. dieciséis.
31. Whittaker, 1910, págs. 132, 135–6.
32. Una autoridad notable que utiliza la convención "diferente" (pero sin llevarla muy lejos) es The Feynman Lectures on Physics , en el Volumen  I , eq. (33.8) (para B ), y Volumen  II , Figs. 33-6 y 33-7.
33. Nacido y lobo, 1970, pág. 40, ecuaciones. (20), (21), donde el subíndice ⊥ corresponde a s , y ∥ a p .
34. Cfr. Jenkins y White, 1976, pág. 529.
35. "La fase de la polarización en la que el campo magnético es paralelo a la interfaz avanza con respecto a la de la otra polarización". — Fitzpatrick, 2013, pág. 140; Fitzpatrick, 2013a; énfasis añadido.
36. Fresnel, 1866, págs. 773, 789n.
37. Nacido y lobo, 1970, pág. 40, ecuaciones. (21a); Hecht, 2017, pág. 125, ecuación. (4.42); Jenkins y White, 1976, pág. 524, ecuaciones. (25a).
38. Fresnel, 1866, págs. 757, 789n.
39. Nacido y lobo, 1970, pág. 40, ecuaciones. (21a); Hecht, 2017, pág. 125, ecuación. (4.43); Jenkins y White, 1976, pág. 524, ecuaciones. (25a).
40. Whittaker, 1910, pág. 134; Darrigol, 2012, pág. ‍ 213 .
41. Stratton, 1941, pág. 500, ecuaciones. (44). La expresión correspondiente en Born & Wolf (1970, p. 50) es al revés porque los términos representan argumentos más que cambios de fase.
42. Buchwald, 1989, págs. 394, ‍ 453 ; Fresnel, 1866, págs. 759,  786–7,  790.
43. PR Berman, 2012, "Efecto Goos-Hänchen", Scholarpedia 7  (3): 11584,  § 2.1, especialmente ecs. (1) a (3). Tenga en cuenta que la n de Berman es la recíproca de la n en el presente artículo.
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49. Nacido y lobo, 1970, pág. 241.
50. Nacido y lobo, 1970, págs. 690–91.
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78. Newton, 1730, pág. 362.
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80. Newton, 1730, págs. 370–71.
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95. Cfr. Buchwald, 1989, pág. 30 (citando a Malus)
96. Darrigol, 2012, págs. 193–6,  290.
97. Darrigol, 2012, pág. 206.
98. Brewster había descubierto previamente este efecto , pero aún no se había informado adecuadamente. Ver: "Sobre una nueva especie de polarización móvil", [Trimestralmente] Journal of Science and the Arts , vol. 2, núm. 3, 1817, pág. 213;  T. Young , "Chromatics", Suplemento de las ediciones cuarta, quinta y sexta de la Encyclopædia Britannica , vol. 3 (primera mitad, publicado en febrero de 1818), págs. 141–63, en pág. 157; Lloyd, 1834, pág. 368.
99. Darrigol, 2012, pág. 207.
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101. Darrigol, 2012, pág. 212.
102. Buchwald, 1989, págs. 390–91; Fresnel, 1866, págs. 646–8.
103. A. Fresnel, "Note sur le calcul des teintes que la polarization développe dans les lames cristallisées" et seq., Annales de Chimie et de Physique , Ser. 2, vol. 17, págs. 102–11 (mayo de 1821), 167–96 (junio de 1821), 312–15 ("Posdata", julio de 1821); reimpreso en Fresnel, 1866, págs. 609–48; traducido como "Sobre el cálculo de los tintes que desarrolla la polarización en placas cristalinas, y posdata", Zenodo :  4058004 , 2021.
104. A. Fresnel, "Mémoire sur la loi desmodificaciones que la réflexion imprime à la lumière polarisée" ("Memoria sobre la ley de las modificaciones que la reflexión imprime en la luz polarizada"), leída el 7 de enero de 1823; reimpreso en Fresnel, 1866, págs. 767–99 (texto completo, publicado en 1831), págs. 753–62 (extracto, publicado en 1823). Véanse especialmente las páginas 773 (ley del seno), 757 (ley de la tangente), 760–61 y 792–6 (ángulos de reflexión interna total para diferencias de fase dadas).
105. Buchwald, 1989, págs. 391–3; Darrigol, 2012, págs. 212-13; Whittaker, 1910, págs. 133–5.
106. A. Fresnel, "Mémoire sur la double réfraction que les rayons lumineux éprouvent en traversant les aiguilles de cristal de roche suivant les Directions parallèles à l'axe", leído el 9 de diciembre de 1822; impreso en Fresnel, 1866, págs. 731–51 (texto completo), págs. 719–29 ( extrait , publicado por primera vez en Bulletin de la Société philomathique de 1822, págs. 191–8); texto completo traducido como "Memoria sobre la doble refracción que sufren los rayos de luz al atravesar las agujas de cuarzo en direcciones paralelas al eje", Zenodo :  4745976 , 2021.
107. Buchwald, 1989, págs. 230–31; Fresnel, 1866, pág. 744.
108. Lloyd, 1834, págs. 369–70; Buchwald, 1989, págs. 393–4,  453; Fresnel, 1866, págs. 781–96.
109. Fresnel, 1866, págs.  760–61,  792–6; Whewell, 1857, pág. 359.
110. Fresnel, 1866, págs. 760–61, 792–3.
111. Fresnel, 1866, págs. 761,  793–6; Whewell, 1857, pág. 359.
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Bibliografía

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enlaces externos

• Sr. Mangiacapre, "Fluorescencia en un líquido" (video, 1 m ‍ 28 s ), subido el 13 de marzo de 2012  (Fluorescencia y TIR de un rayo láser violeta en agua con quinina).
• PhysicsatUVM, "Frustrated Total Internal Reflection" (vídeo, 37 segundos), subido el 21 de noviembre de 2011  ("Un rayo láser sufre una reflexión interna total en un trozo de plexiglás empañado...")
• SMUPhysics, "Internal Reflection" (vídeo, 12 s), subido el 20 de mayo de 2010.  (Transición de la refracción a través del ángulo crítico a TIR en un prisma de 45°-90°-45°).