Un cuarto de coma significaba uno , o 1 /4 -coma meantone , fue el temperamento meantone más común en los siglos XVI y XVII, y se utilizó a veces más tarde. En este sistema, la quinta perfecta se aplana con un cuarto de coma sintónica (81:80), con respecto a su entonación justa utilizada en la afinación pitagórica ( relación de frecuencia 3:2); el resultado es 3 /2× [ 80 /81 ] 1 / 4 = 4 √ 5 ≈ 1,49535 ,o una quinta de 696,578 centésimas. (La potencia 12 de ese valor es 125, mientras que 7 octavas son 128, y por lo tanto se queda 41,059 centésimas por debajo). Esta quinta se itera luego para generar la escala diatónica y otras notas del temperamento. El propósito es obtenerterceras mayores(con una relación de frecuencia igual a 5 : 4 ).Fue descrito porPietro Aronen suToscanello de la Musicade 1523, diciendo que las terceras mayores deben afinarse para que sean "sonoras y justas, lo más unidas posible".[1]Los teóricos posterioresGioseffo ZarlinoyFrancisco de Salinasdescribieron la afinación con exactitud matemática.
En una afinación de medio tono, tenemos diferentes semitonos cromáticos y diatónicos ; el semitono cromático es la diferencia entre C y C ♯ , y el semitono diatónico la diferencia entre C y D ♭ . En la afinación pitagórica, el semitono diatónico a menudo se llama limma pitagórica y el semitono cromático apótomo pitagórico , pero en la afinación pitagórica el apótomo es más grande, mientras que en 1 /4 coma significa que el limma es más grande. Dicho de otra manera, en la afinación pitagórica tenemos que C ♯ es más alto que D ♭ , mientras que en 1 /4La coma significa que tenemos C ♯ más bajo que D ♭ .
En cualquier afinación de tono medio o pitagórica, donde un tono entero está compuesto de un semitono de cada tipo, una tercera mayor son dos tonos enteros y por lo tanto consta de dos semitonos de cada tipo, una quinta perfecta de tono medio contiene cuatro semitonos diatónicos y tres cromáticos, y una octava siete semitonos diatónicos y cinco cromáticos, se sigue que:
Así, en la afinación pitagórica, donde se utilizan secuencias de sólo quintas ( relación de frecuencia 3:2) y octavas para producir los otros intervalos, se obtiene un tono entero.
y una tercera mayor es
La diferencia es la coma sintónica , 81 / 80 .
Un intervalo de diecisieteava, que consta de dieciséis semitonos diatónicos y doce cromáticos, como el intervalo de D 4 a F ♯ 6 , se puede obtener de manera equivalente utilizando cualquiera de los dos
Este gran intervalo de una decimoséptima contiene 5 + (5 − 1) + (5 − 1) + (5 − 1) = 20 − 3 = 17 posiciones de pentagrama . En la afinación pitagórica, el tamaño de una decimoséptima se define utilizando una pila de cuatro quintas afinadas de manera justa (relación de frecuencia 3 : 2 ):
En el temperamento de media voz de negra, donde se requiere solo una tercera mayor (5:4) , se obtiene una decimoséptima ligeramente más estrecha apilando dos octavas y una tercera mayor:
Por definición, sin embargo, se debe obtener una decimoséptima del mismo tamaño (5:1) , incluso en tono medio de un cuarto de coma, apilando cuatro quintas. Dado que las quintas afinadas correctamente, como las que se usan en la afinación pitagórica, producen una decimoséptima ligeramente más ancha, en tono medio de un cuarto de coma las quintas deben ser ligeramente aplanadas para cumplir con este requisito. Si x es la relación de frecuencias de la quinta aplanada, se desea que cuatro quintas tengan una relación de 5:1.
lo que implica que un quinto es
Un tono completo, construido moviendo dos quintas partes hacia arriba y una octava hacia abajo, es
y un semitono diatónico, construido moviendo tres octavas hacia arriba y cinco quintas hacia abajo, es
Obsérvese que, en el cuarto de coma significa uno, el decimoséptimo es 81 / 80 veces más estrecho que en la afinación pitagórica. Esta diferencia de tamaño, igual a aproximadamente 21,506 centésimas , se llama coma sintónica . Esto implica que la quinta es un cuarto de coma sintónica más estrecha que la quinta pitagórica afinada correctamente. Es decir, este sistema afina las quintas en la proporción de
que se expresa en la escala logarítmica de centavos como
que es ligeramente más pequeña (o más plana) que la relación de una quinta correctamente afinada:
que se expresa en la escala logarítmica de centavos como
La diferencia entre estos dos tamaños es un cuarto de coma sintónica:
En suma, este sistema afina las terceras mayores a la justa proporción de 5 : 4 (así, por ejemplo, si A 4 está afinado a 440 Hz , C ♯ 5 está afinado a 550 Hz), la mayoría de los tonos enteros (es decir, las segundas mayores ) en la proporción √ 5 : 2, y la mayoría de los semitonos (es decir, los semitonos diatónicos o segundas menores ) en la proporción (8 : 5) 5 ⁄ 4 . Esto se logra afinando la decimoséptima una coma sintónica más plana que la decimoséptima pitagórica, lo que implica afinar la quinta un cuarto de coma sintónica más plana que la justa proporción de 3 : 2. Es esto lo que le da al sistema su nombre de medio tono de cuarto de coma .
La escala cromática completa (un subconjunto de la cual es la escala diatónica), se puede construir partiendo de una nota base dada , y aumentando o disminuyendo su frecuencia en una o más quintas. Este método es idéntico a la afinación pitagórica, excepto por el tamaño de la quinta, que se templa como se explicó anteriormente. Sin embargo, los temperamentos de mediatono (excepto el 12 TET ) no caben en un teclado de 12 notas; y al igual que el de mediatono de negra, la mayoría requiere un número infinito de notas (aunque hay una aproximación muy cercana a la de negra que puede caber en un teclado con 31 teclas). Cuando se afina en un teclado de 12 notas, muchas notas deben omitirse y, a menos que la afinación esté "templada" para cubrir las notas que faltan, los teclistas que sustituyen la nota de tono más cercana disponible (que siempre es el tono incorrecto) por la nota de negra apropiada real (que sonaría consonante, si estuviera disponible) crean notas disonantes en lugar de la nota de negra consonante .
La tabla de construcción que aparece a continuación ilustra cómo se obtienen los tonos de las notas con respecto a D (la nota base ), en una escala basada en D (consulte la afinación pitagórica para obtener una explicación más detallada). Para cada nota de la octava básica, la tabla proporciona el nombre convencional del intervalo desde D (la nota base), la fórmula para calcular su relación de frecuencias y los valores aproximados de su relación de frecuencias y tamaño en centésimas.
En las fórmulas, x = 4 √ 5 = 5 1 ⁄ 4 es el tamaño de la quinta perfecta temperada, y las razones x : 1 o 1 : x representan una quinta perfecta temperada ascendente o descendente (es decir, un aumento o disminución en la frecuencia por x ), mientras que 2 : 1 o 1 : 2 representan una octava ascendente o descendente.
Al igual que en la afinación pitagórica, este método genera 13 tonos, con la ♭ y la ♯ separadas por casi un cuarto de tono. Para construir una escala de 12 tonos, normalmente se descarta la ♭ .
La tabla anterior muestra una pila de quintas basada en D (es decir, una pila en la que todas las proporciones se expresan en relación con D, y D tiene una proporción de 1/1). Dado que está centrada en D, la nota base, esta pila puede denominarse simétrica basada en D :
Con la quinta perfecta tomada como 4 √ 5 , los extremos de esta escala están separados por una relación de frecuencia de 125, lo que provoca un espacio de 125/128 (aproximadamente dos quintas partes de un semitono) entre sus extremos si están normalizados a la misma octava. Si el último paso (aquí, G ♯ ) se reemplaza por una copia de A ♭ pero en la misma octava que G ♯ , eso aumentará el intervalo C ♯ –G ♯ a una discordancia llamada quinta de lobo .
Excepto por el tamaño de la quinta, esta es idéntica a la pila utilizada tradicionalmente en la afinación pitagórica . Algunos autores prefieren mostrar una pila de quintas basada en C, que va desde A ♭ hasta G ♯ . Como C no está en su centro, esta pila se llama asimétrica basada en C :
Dado que los límites de esta pila (A ♭ y G ♯ ) son idénticos a los de la pila simétrica basada en D, los nombres de las notas de la escala de 12 tonos producida por esta pila también son idénticos. La única diferencia es que la tabla de construcción muestra intervalos desde C, en lugar de desde D. Observe que se pueden formar 144 intervalos a partir de una escala de 12 tonos (ver la tabla a continuación), que incluyen intervalos desde C, D y cualquier otra nota. Sin embargo, la tabla de construcción muestra solo 12 de ellos, en este caso los que comienzan desde C. Esta es al mismo tiempo la principal ventaja y la principal desventaja de la pila asimétrica basada en C, ya que los intervalos desde C se usan comúnmente, pero como C no está en el centro de esta pila, desafortunadamente incluyen una quinta aumentada (es decir, el intervalo de C a G ♯ ), en lugar de una sexta menor (de C a A ♭ ). Esta quinta aumentada es un intervalo de lobo extremadamente disonante , ya que se desvía 41,1 cents (una diesis de proporción 128:125, casi el doble de una coma sintónica ) del intervalo puro correspondiente de 8:5 o 813,7 cents.
Por el contrario, los intervalos desde D que se muestran en la tabla anterior, dado que D está en el centro de la pila, no incluyen intervalos de Wolf e incluyen una sexta menor pura (de D a B ♭ ), en lugar de una quinta aumentada impura. Nótese que en el conjunto mencionado anteriormente de 144 intervalos, las sextas menores puras se observan con mayor frecuencia que las quintas aumentadas impuras (ver la tabla siguiente), y esta es una de las razones por las que no es deseable mostrar una quinta aumentada impura en la tabla de construcción. También se podría utilizar una pila simétrica basada en C , para evitar el inconveniente mencionado anteriormente:
En esta pila, G ♭ y F ♯ tienen una frecuencia similar, y G ♭ se descarta típicamente. Además, la nota entre C y D se llama D ♭ en lugar de C ♯ , y la nota entre G y A se llama A ♭ en lugar de G ♯ . La pila simétrica basada en C rara vez se usa, posiblemente porque produce la quinta de lobo en la posición inusual de F ♯ –D ♭ en lugar de G ♯ –E ♭ , donde los músicos que usaban la afinación pitagórica esperaban que lo hiciera).
Una versión de entonación justa del temperamento de medio tono de coma negra se puede construir de la misma manera que la versión racional de Johann Kirnberger de 12-TET . El valor de 5 1 ⁄ 8 · 35 1 ⁄ 3 es muy cercano a 4, por lo que un intervalo de 7 límites 6144 : 6125 (que es la diferencia entre la diesis de 5 límites 128 : 125 y la diesis septimal 49 : 48), igual a 5,362 cents, aparece muy cerca del temperamento de coma negra ( 81/80 ) 1 ⁄ 4 de 5,377 centésimas. Por lo tanto, la quinta perfecta tiene la proporción de 6125 : 4096, que es la diferencia entre tres terceras mayores justas y dos segundas mayores séptimas ; cuatro de esas quintas superan la proporción de 5 : 1 por el pequeño intervalo de 0,058 centésimas. La quinta de lobo parece ser 49 : 32, la diferencia entre la séptima menor séptima y la segunda mayor séptima .
Como se ha comentado anteriormente, en el temperamento de cuarto de coma,
Los tonos de la escala diatónica se pueden dividir en pares de semitonos. Sin embargo, como S 2 no es igual a T , cada tono debe estar compuesto por un par de semitonos desiguales, S , y X :
Por eso,
Tenga en cuenta que S es 117,1 centésimas y X es 76,0 centésimas. Por lo tanto, S es el semitono mayor y X es el menor. S se denomina comúnmente semitono diatónico (o segunda menor ), mientras que X se denomina semitono cromático (o unísono aumentado ).
Los tamaños de S y X se pueden comparar con la proporción de entonación justa de 18:17, que es de 99,0 centésimas. S se desvía de ella en +18,2 centésimas y X en -22,9 centésimas. Estas dos desviaciones son comparables a la coma sintónica (21,5 centésimas), que este sistema está diseñado para desconectar de la tercera mayor pitagórica. Sin embargo, dado que incluso la proporción de entonación justa de 18:17 suena marcadamente disonante, estas desviaciones se consideran aceptables en un semitono.
En el tono medio de un cuarto de coma, la segunda menor se considera aceptable, mientras que el unísono aumentado suena disonante y debe evitarse.
La tabla anterior muestra únicamente intervalos a partir de D. Sin embargo, se pueden formar intervalos a partir de cada una de las 12 notas mencionadas anteriormente. De este modo, se pueden definir doce intervalos para cada tipo de intervalo (doce unísonos, doce semitonos , doce intervalos compuestos de 2 semitonos, doce intervalos compuestos de 3 semitonos, etc.).
Como se explicó anteriormente, una de las doce "quintas" nominales (la quinta de lobo ) tiene un tamaño diferente con respecto a las otras once. Por una razón similar, cada uno de los otros tipos de intervalos (excepto los unísonos y las octavas) tiene dos tamaños diferentes en el tono medio de una negra cuando se trunca para encajar en una octava que solo permite 12 notas (mientras que el tono medio de una negra real requiere aproximadamente 31 notas por octava ). Este es el precio que se paga por intentar encajar un temperamento de muchas notas en un teclado sin suficientes tonos distintos por octava: la consecuencia son notas "falsas", por ejemplo, una de las llamadas "quintas" no es una quinta, sino en realidad una sexta disminuida de una negra , cuyo tono es un mal sustituto de la quinta necesaria.
La tabla muestra el tamaño aproximado de las notas en centavos: las notas genuinas están sobre un fondo gris claro, los sustitutos desafinados están sobre un fondo rojo o naranja; el nombre de los intervalos genuinos está en la parte superior o inferior de una columna con fondo gris liso; los nombres de los intervalos de los sustitutos defectuosos están en el extremo opuesto, impresos sobre un fondo de color. Los nombres de los intervalos se dan en su forma abreviada estándar. [a] Por ejemplo, el tamaño del intervalo de D a A, que es una quinta perfecta (P5), se puede encontrar en la séptima columna de la fila etiquetada D . Los intervalos estrictamente justos (o puros ) se muestran en negrita . Los intervalos de Wolf están resaltados en rojo. [b]
Sorprendentemente, aunque este sistema de afinación fue diseñado para producir terceras mayores puramente consonantes, solo ocho de los intervalos que son terceras en 12 TET son puramente simplemente (5: 4 o aproximadamente 386,3 cents) en la coma negra truncada que se muestra en la tabla: Las notas de coma negra reales necesarias para iniciar o finalizar el intervalo de una tercera faltan entre los 12 tonos disponibles, y la sustitución de notas cercanas disponibles pero incorrectas conduce a terceras disonantes.
La razón por la que los tamaños de los intervalos varían a lo largo de la escala es que el uso de notas sustitutas, cuyos tonos están correctamente afinados para un uso diferente en la escala, en lugar de las notas de coma negra genuinas para el intervalo deseado, crea intervalos desafinados. Las notas reales en una escala de coma negra completamente implementada (que requiere alrededor de 31 teclas por octava en lugar de solo 12) serían consonantes, como todos los intervalos sin color: La disonancia es la consecuencia de reemplazar las notas de coma negra correctas con notas incorrectas que están asignadas a la misma tecla en el teclado de 12 tonos. Como se mencionó anteriormente, las frecuencias definidas por la construcción para las doce notas determinan dos tipos diferentes de semitonos (es decir, intervalos entre notas adyacentes):
Por el contrario, en una escala cromática igualmente temperada , por definición los doce tonos están igualmente espaciados, y todos los semitonos tienen un tamaño exactamente igual.
Como consecuencia, todos los intervalos de cualquier tipo tienen el mismo tamaño (por ejemplo, todas las terceras mayores tienen el mismo tamaño, todas las quintas tienen el mismo tamaño, etc.). El precio que se paga, en este caso, es que ninguno de ellos está correctamente afinado ni es perfectamente consonante, excepto, por supuesto, el unísono y la octava.
Para una comparación con otros sistemas de ajuste, consulte también esta tabla .
Por definición, en el caso del cuarto de coma, la llamada quinta "perfecta" (P5 en la tabla) tiene un tamaño de aproximadamente 696,6 céntimos ( 700 − ε céntimos, donde ε ≈ 3,422 céntimos); dado que el tamaño medio de las 12 quintas debe ser exactamente igual a 700 céntimos (como en el temperamento igual), la otra debe tener un tamaño de 700 + 11 ε céntimos, lo que supone unos 737,6 céntimos (una de las quintas de lobo ). Nótese que, como se muestra en la tabla, el último intervalo, aunque se utiliza como sustituto de una quinta, el intervalo real es en realidad una sexta disminuida ( d6 ), que, por supuesto, está desafinada con la quinta cercana pero diferente a la que sustituye. De forma similar,
En resumen, se observan diferencias similares en anchura para todos los tipos de intervalos, excepto para los unísonos y las octavas, y los excesos y déficits en anchura son todos múltiplos de ε , la diferencia entre la quinta media de un cuarto de coma y la quinta media requerida para cerrar la espiral de quintas en un círculo.
Obsérvese que, como consecuencia obvia, cada intervalo aumentado o disminuido es exactamente 12 ε cents (≈ 41,1 cents) más ancho o más estrecho que su equivalente enarmónico. Por ejemplo, la sexta disminuida (o quinta lobo) es 12 ε cents más ancha que cada quinta perfecta, y cada segunda aumentada es 12 ε cents más estrecha que cada tercera menor. Este intervalo de tamaño 12 ε cents se conoce como diesis o segunda disminuida . Esto implica que ε también puede definirse como un doceavo de una diesis.
La tríada mayor se puede definir mediante un par de intervalos a partir de la nota fundamental: una tercera mayor (intervalo que abarca 4 semitonos) y una quinta justa (7 semitonos). La tríada menor se puede definir asimismo mediante una tercera menor (3 semitonos) y una quinta justa (7 semitonos).
Como se muestra arriba, una escala cromática tiene doce intervalos que abarcan siete semitonos. Once de ellos son quintas perfectas, mientras que la duodécima es una sexta disminuida. Dado que abarcan el mismo número de semitonos, las quintas perfectas y las sextas disminuidas se consideran enarmónicamente equivalentes . En una escala cromática igualmente afinada, las quintas perfectas y las sextas disminuidas tienen exactamente el mismo tamaño. Lo mismo es cierto para todos los intervalos enarmónicamente equivalentes que abarcan 4 semitonos (terceras mayores y cuartas disminuidas), o 3 semitonos (terceras menores y segundas aumentadas). Sin embargo, en el temperamento de tono medio esto no es cierto. En este sistema de afinación, los intervalos enarmónicamente equivalentes pueden tener diferentes tamaños, y algunos intervalos pueden desviarse notablemente de sus proporciones ideales justamente afinadas . Como se explicó en la sección anterior, si la desviación es demasiado grande, entonces el intervalo dado no es utilizable, ya sea por sí mismo o en un acorde.
La siguiente tabla se centra únicamente en los tres tipos de intervalos mencionados anteriormente, utilizados para formar tríadas mayores y menores. Cada fila muestra tres intervalos de diferentes tipos pero que tienen la misma nota fundamental. Cada intervalo se especifica mediante un par de notas. A la derecha de cada intervalo se indica la fórmula para la proporción de intervalos . Los intervalos de cuarta disminuida, sexta disminuida y segunda aumentada pueden considerarse intervalos de Wolf y se han marcado en rojo . S y X indican la proporción de los dos tipos de semitonos mencionados anteriormente (segunda menor y unísono aumentado).
Primero, mira las dos últimas columnas de la derecha. Todos los intervalos de 7 semitonos excepto uno tienen una proporción de
que se desvía en −5,4 céntimos de los justos 3:2 de 702,0 céntimos. Cinco céntimos es poco y aceptable. Por otro lado, la sexta disminuida de sol ♯ a mi ♭ tiene una proporción de
que se desvía en +35,7 centavos de la quinta perfecta. Treinta y cinco centavos está fuera del rango aceptable.
Ahora observe las dos columnas del medio. Ocho de los doce intervalos de 4 semitonos tienen una proporción de
que es exactamente un 5:4. Por otro lado, las cuatro cuartas disminuidas con raíces en C ♯ , F ♯ , G ♯ y B tienen una proporción de
que se desvía en +41,1 centésimas de la tercera mayor. Nuevamente, suena muy desafinado.
Las tríadas mayores se forman a partir de terceras mayores y quintas perfectas. Si cualquiera de los dos intervalos se sustituye por un intervalo Wolf (d6 en lugar de P5, o d4 en lugar de M3), entonces la tríada no es aceptable. Por lo tanto, las tríadas mayores con notas fundamentales C ♯ , F ♯ , G ♯ y B no se utilizan en escalas de tonos medios cuya nota fundamental es C.
Ahora observe las dos primeras columnas de la izquierda. Nueve de los doce intervalos de 3 semitonos tienen una proporción de
lo que se desvía en −5,4 céntimos del justo 6:5 de 315,6 céntimos. Cinco céntimos es aceptable. Por otro lado, las tres segundas aumentadas cuyas raíces son Mi ♭ , Fa y Si ♭ tienen una proporción de
que se desvía en −46,4 centésimas de la tercera menor justa. Sin embargo, es una coincidencia cercana para la tercera menor séptima 7: 6 de 266,9 centésimas, que se desvía en +2,3 centésimas. Estas segundas aumentadas, aunque suficientemente consonantes por sí mismas, sonarán "exóticas" o atípicas cuando se tocan junto con una quinta perfecta.
Las tríadas menores se forman a partir de terceras y quintas menores. Si cualquiera de los dos intervalos se sustituye por un intervalo enarmónicamente equivalente (d6 en lugar de P5, o A2 en lugar de m3), la tríada no sonará bien. Por lo tanto, las tríadas menores con notas fundamentales de E ♭ , F, G ♯ y B ♭ no se utilizan en la escala de tonos medios definida anteriormente.
Como se ha comentado anteriormente, en el temperamento de media coma de cuarto de coma truncado a sólo 12 notas,
Se puede verificar mediante cálculo que la mayoría de los tonos enteros (es decir, los segundos mayores) están compuestos de un semitono mayor y uno menor:
De manera similar, una quinta suele estar compuesta por tres tonos y un semitono mayor:
lo que equivale a cuatro semitonos mayores y tres menores:
Una escala diatónica se puede construir partiendo de la nota fundamental y multiplicándola por un semitono T para subir un paso grande o por un semitono S para subir un paso pequeño.
CDEFGABC′ D′‖----|----|----|----‖----|----|----‖----| T. T. S. T. S. T. S.
Los tamaños de intervalo resultantes con respecto a la nota base C se muestran en la siguiente tabla. Para enfatizar el patrón repetitivo, las fórmulas utilizan el símbolo P ≡ T 3 S para representar una quinta perfecta ( penta ):
La construcción de una escala cromática de medio tono de un cuarto de coma se puede realizar apilando una secuencia de 12 semitonos, cada uno de los cuales puede ser el diatónico más largo ( S ) o el cromático más corto ( Χ ).
CC ♯ DE ♭ EFF ♯ GG ♯ AB ♭ B C′ C′ ♯‖----|----|----|----|----|----|----‖----|----|---- |----|----‖----| Χ S S Χ S Χ S Χ S S Χ S Χ
Tenga en cuenta que esta escala es una extensión de la escala diatónica que se muestra en la tabla anterior. Solo se han agregado cinco notas: do ♯ , mi ♭ , fa ♯ , sol ♯ y si ♭ (una escala pentatónica ).
Como se explicó anteriormente, una escala idéntica se definió y produjo originalmente utilizando una secuencia de quintas temperadas, que iban desde Mi ♭ (cinco quintas por debajo de Re) hasta Sol ♯ (seis quintas por encima de Re), en lugar de una secuencia de semitonos. Este enfoque más convencional, similar al sistema de afinación pitagórico basado en Re , explica la razón por la que los semitonos Χ y S están dispuestos en la secuencia particular y aparentemente arbitraria que se muestra arriba.
Los tamaños de intervalo con respecto a la nota base C se presentan en la siguiente tabla. Las relaciones de frecuencia se calculan como se muestra en las fórmulas. Delta es la diferencia en centavos entre el tono medio y 12 TET ; la columna titulada "1/ 4 -c" es la diferencia entre comas y cuartos entre la afinación media y la pitagórica. Nótese que Χ ≡ yo/ S , de modo que Χ S = T ;la mayoría de losΧque aparecen en el gráfico anterior desaparecen en la tabla siguiente, porque se combinan con unSy se convierten en unT.
La quinta perfecta de un cuarto de coma medio, expresada como fracción de octava, es 1/4 log 2 5. Como log 2 5 es un número irracional , una cadena de quintas de medio tono nunca se cierra (es decir, nunca es igual a una cadena de octavas). Sin embargo, las aproximaciones fraccionarias continuas a este número fraccionario irracional nos permiten encontrar divisiones iguales de la octava que sí se cierran; los denominadores de estas son 1, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 174, 205, 789, ... A partir de esto, encontramos que 31 quintas de medio tono de un cuarto de coma se acercan al cierre y, a la inversa, 31 temperamentos iguales representan una buena aproximación al medio tono de un cuarto de coma.
![{\displaystyle x={\sqrt[{4}]{5\ }}=5^{1/4}\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39ff524e4ada4ac682fa8b8e7f672eed513e9351)
![{\displaystyle S_{\mathsf {ET}}={\sqrt[{12}]{2\ }}=100{\mathsf {\cents.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c06411d85459778a799cbf69377e99e9a3cbff1e)
![{\displaystyle P=T^{3}\cdot S={\frac {5^{3/2}}{2^{3}}}\cdot {\frac {8}{5^{5/4}}}={\sqrt[{4}]{5}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d030302ae19405bca7c7b3408da3994a43edaca5)
