Teseracto truncado (acrónimo tat) (George Olshevsky y Jonathan Bowers) [1]
Construcción
El tesseract truncado se puede construir truncando los vértices del tesseract a la longitud del borde. En cada vértice truncado se forma un tetraedro regular.
Las coordenadas cartesianas de los vértices de un teseracto truncado que tiene una longitud de borde 2 vienen dadas por todas las permutaciones de:
Proyecciones
Una proyección estereoscópica en 3D de un teseracto truncado.
En la primera proyección paralela del cubo truncado del teseracto truncado en un espacio tridimensional, la imagen se presenta de la siguiente manera:
La envolvente de proyección es un cubo .
Dos de las celdas del cubo truncado se proyectan sobre un cubo truncado inscrito en la envoltura cúbica.
Los otros 6 cubos truncados se proyectan sobre las caras cuadradas de la envolvente.
Los 8 volúmenes tetraédricos entre la envolvente y las caras triangulares del cubo truncado central son las imágenes de los 16 tetraedros, un par de celdas para cada imagen.
El tesseract bitruncado , el de 16 celdas bitruncado o el tesseractihexadecachoron se construye mediante una operación de bitruncado aplicada al tesseract . También se le puede llamar un tesseract runcicantic con la mitad de los vértices de un tesseract runcicantellated con unconstrucción.
Tesseractihexadecachoron (acrónimo tah) (George Olshevsky y Jonathan Bowers) [2]
Construcción
Un teseracto se bitrunca truncando sus celdas más allá de sus puntos medios, convirtiendo los ocho cubos en ocho octaedros truncados . Estos todavía comparten sus caras cuadradas, pero las caras hexagonales forman tetraedros truncados que comparten sus caras triangulares entre sí.
Las coordenadas cartesianas de los vértices de un tesseract bitruncado que tiene una longitud de borde 2 vienen dadas por todas las permutaciones de:
Estructura
Los octaedros truncados están conectados entre sí a través de sus caras cuadradas y a los tetraedros truncados a través de sus caras hexagonales. Los tetraedros truncados están conectados entre sí mediante sus caras triangulares.
Proyecciones
Proyecciones estereográficas
La primera proyección del octaedro truncado del teseracto bitruncado en el espacio 3D tiene una envoltura cúbica truncada . Dos de las celdas octaédricas truncadas se proyectan sobre un octaedro truncado inscrito en esta envolvente, con las caras cuadradas tocando los centros de las caras octaédricas. Las 6 caras octaédricas son las imágenes de las 6 celdas octaédricas truncadas restantes. El espacio restante entre el octaedro truncado inscrito y la envoltura se llena con 8 tetraedros truncados aplanados, cada uno de los cuales es la imagen de un par de celdas tetraédricas truncadas.
Hexadecachoron truncado (acrónimo thex) (George Olshevsky y Jonathan Bowers) [3]
Construcción
Las 16 celdas truncadas se pueden construir a partir de las 16 celdas truncando sus vértices a 1/3 de la longitud del borde. Esto da como resultado las 16 celdas tetraédricas truncadas e introduce los 8 octaedros (figuras de vértices).
(Al truncar una figura de 16 celdas a la mitad de la longitud del borde se obtiene una de 24 celdas , que tiene un mayor grado de simetría porque las celdas truncadas se vuelven idénticas a las figuras de vértice).
Las coordenadas cartesianas de los vértices de una celda truncada de 16 celdas con una longitud de borde √2 están dadas por todas las permutaciones y combinaciones de signos de
(0,0,1,2)
Una construcción alternativa comienza con un demitesseract con coordenadas de vértice (±3,±3,±3,±3), que tiene un número par de cada signo, y lo trunca para obtener las permutaciones de
(1,1,3,3), con un número par de cada signo.
Estructura
Los tetraedros truncados están unidos entre sí mediante sus caras hexagonales. Los octaedros se unen a los tetraedros truncados mediante sus caras triangulares.
Proyecciones
Centrado en el octaedro
Primera proyección paralela del octaedro en 3 dimensiones, con celdas octaédricas resaltadas
La primera proyección paralela del octaedro de las 16 celdas truncadas en un espacio tridimensional tiene la siguiente estructura:
Las 6 caras cuadradas de la envoltura son las imágenes de 6 de las celdas octaédricas.
En el centro de la envolvente se encuentra un octaedro, unido al centro de las 6 caras cuadradas por 6 aristas. Esta es la imagen de las otras 2 celdas octaédricas.
El espacio restante entre la envolvente y el octaedro central lo llenan 8 tetraedros truncados (distorsionados por proyección). Estas son las imágenes de las 16 celdas tetraédricas truncadas, un par de celdas para cada imagen.
Esta disposición de celdas en proyección es análoga a la disposición de caras en la proyección del octaedro truncado en un espacio bidimensional. Por lo tanto, las 16 celdas truncadas pueden considerarse como el análogo tetradimensional del octaedro truncado.
Centrado en tetraedro truncado
Proyección de 16 celdas truncadas en 3 dimensiones, centrada en una celda tetraédrica truncada, con celdas ocultas eliminadas
La primera proyección paralela del tetraedro truncado de las 16 celdas truncadas en un espacio tridimensional tiene la siguiente estructura:
El tetraedro truncado más cercano al mirador 4D se proyecta hacia el centro de la envolvente, con sus caras triangulares unidas a 4 volúmenes octaédricos que lo conectan con 4 de las caras triangulares de la envolvente.
El espacio restante en el sobre se llena con otros 4 tetraedros truncados.
Estos volúmenes son las imágenes de las celdas que se encuentran en el lado cercano de las 16 celdas truncadas; las otras celdas se proyectan en el mismo diseño excepto en la configuración dual.
Las seis caras octogonales de la envolvente de proyección son las imágenes de las 6 celdas tetraédricas truncadas restantes.
Imágenes
Politopos relacionados
Un 16 celdas truncado, como un cubo cántico de 4, está relacionado con la familia dimensional de n-cubos cánticos:
Politopos uniformes relacionados
Politopos uniformes relacionados en simetría demitesseract
Politopos uniformes relacionados en simetría tesseract
Notas
^ Klitzing, (o3o3o4o - tat)
^ Klitzing, (o3x3x4o - tah)
^ Klitzing, (x3x3o4o - thex)
Referencias
T. Gosset : Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
Coxeter, Regular Polytopes , (3.ª edición, 1973), edición de Dover, ISBN 0-486-61480-8 , p. 296, Tabla I (iii): Politopos regulares, tres politopos regulares en n dimensiones (n≥5)
HSM Coxeter, Politopos regulares , tercera edición, Dover Nueva York, 1973, p. 296, Tabla I (iii): Politopos regulares, tres politopos regulares en n dimensiones (n≥5)
Caleidoscopios: escritos seleccionados de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
(Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semiregulares I , [Math. Tiempo. 46 (1940) 380-407, SEÑOR 2,10]
(Documento 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Tiempo. 188 (1985) 559-591]
(Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares III , [Math. Tiempo. 200 (1988) 3-45]
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 26. págs. 409: Hemicubes: 1 n1 )
