Teorema de Zsigmondy

Sobre divisores primos de diferencias dos enésimas potencias

En teoría de números , el teorema de Zsigmondy , que lleva el nombre de Karl Zsigmondy , establece que si son números enteros coprimos , entonces, para cualquier número entero , existe un número primo p (llamado divisor primo primitivo ) que divide y no divide a cualquier entero positivo , con el siguientes excepciones: ${\displaystyle a>b>0}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle a^{n}-b^{n}}$ ${\displaystyle a^{k}-b^{k}}$ ${\displaystyle k<n}$

• ${\displaystyle n=1}$, ; entonces que no tiene divisores primos ${\displaystyle a-b=1}$ ${\displaystyle a^{n}-b^{n}=1}$
• ${\displaystyle n=2}$, una potencia de dos ; entonces cualquier factor primo impar de debe estar contenido en , que también es par ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a^{1}-b^{1})}$ ${\displaystyle a^{1}-b^{1}}$
• ${\displaystyle n=6}$, , ; entonces ${\displaystyle a=2}$ ${\displaystyle b=1}$ ${\displaystyle a^{6}-b^{6}=63=3^{2}\times 7=(a^{2}-b^{2})^{2}(a^{3}-b^{3})}$

Esto generaliza el teorema de Bang, ^[1] que establece que si y no es igual a 6, entonces tiene un divisor primo que no divide a ninguno con . ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}-1}$ ${\displaystyle 2^{k}-1}$ ${\displaystyle k<n}$

De manera similar, tiene al menos un divisor primo primitivo con la excepción . ${\displaystyle a^{n}+b^{n}}$ ${\displaystyle 2^{3}+1^{3}=9}$

El teorema de Zsigmondy suele ser útil, especialmente en teoría de grupos , donde se utiliza para demostrar que varios grupos tienen órdenes distintos excepto cuando se sabe que son iguales. ^{[2] [3]}

Historia

El teorema fue descubierto por Zsigmondy trabajando en Viena desde 1894 hasta 1925.

Generalizaciones

Sea una secuencia de números enteros distintos de cero. El conjunto de Zsigmondy asociado a la secuencia es el conjunto ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$

${\displaystyle {\mathcal {Z}}(a_{n})=\{n\geq 1:a_{n}{\text{ has no primitive prime divisors}}\}.}$

es decir, el conjunto de índices tales que todo primo que se divide también divide a algunos por algunos . Así, el teorema de Zsigmondy implica que , y el teorema de Carmichael dice que el conjunto de Zsigmondy de la secuencia de Fibonacci es , y el de la secuencia de Pell es . En 2001, Bilu, Hanrot y Voutier ^[4] demostraron que, en general, si es una secuencia de Lucas o una secuencia de Lehmer , entonces (ver OEIS : A285314 , solo hay 13 de este tipo, a saber, 1, 2, 3, 4, 5). , 6, 7, 8, 10, 12, 13, 18, 30). Las secuencias de Lucas y Lehmer son ejemplos de secuencias de divisibilidad . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{m}}$ ${\displaystyle m<n}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(a^{n}-b^{n})\subset \{1,2,6\}}$ ${\displaystyle \{1,2,6,12\}}$ ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(a_{n})\subseteq \{1\leq n\leq 30\}}$ ${\displaystyle n}$

También se sabe que si es una secuencia de divisibilidad elíptica , entonces su conjunto de Zsigmondy es finito . ^[5] Sin embargo, el resultado es ineficaz en el sentido de que la prueba no da un límite superior explícito para el elemento más grande en , aunque es posible dar un límite superior efectivo para el número de elementos en . ^[6] ${\displaystyle (W_{n})_{n\geq 1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(W_{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(W_{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(W_{n})}$

Ver también

• teorema de carmichael

Referencias

1. COMO Bang (1886). "Taltheoretiske Undersøgelser". Tidsskrift para Mathematik . 5. 4 . Mathematica Scandinavica: 70–80. JSTOR  24539988.Y Bang, AS (1886). "Taltheoretiske Undersøgelser (continuación, ver pág. 80)". Tidsskrift para Mathematik . 4 : 130-137. JSTOR  24540006.
2. Montgomery, H. "Divisibilidad de los números de Mersenne". 17 de septiembre de 2001.
3. Artin, Emil (agosto de 1955). "Los Órdenes de los Grupos Lineales". Com. Pura aplicación. Matemáticas. 8 (3): 355–365. doi :10.1002/cpa.3160080302.
4. Y. Bilu, G. Hanrot, PM Voutier, Existencia de divisores primitivos de los números de Lucas y Lehmer, J. Reine Angew. Matemáticas. 539 (2001), 75-122
5. JH Silverman, el criterio de Wieferich y la conjetura abc , J. Number Theory 30 (1988), 226-237
6. P. Ingram, JH Silverman, Estimaciones uniformes para divisores primitivos en secuencias de divisibilidad elípticas, Teoría de números, análisis y geometría , Springer-Verlag, 2010, 233-263.

• K. Zsigmondy (1892). "Zur Theorie der Potenzreste". Revista Monatshefte für Mathematik . 3 (1): 265–284. doi :10.1007/BF01692444. hdl : 10338.dmlcz/120560 .
• Th. Schmid (1927). "Karl Zsigmondy". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 36 : 167–168.
• Moshé Roitman (1997). "Sobre los primos de Zsigmondy". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 125 (7): 1913-1919. doi : 10.1090/S0002-9939-97-03981-6 . JSTOR  2162291.
• Walter Feit (1988). "Sobre los grandes primos de Zsigmondy". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 102 (1). Sociedad Estadounidense de Matemáticas : 29–36. doi : 10.2307/2046025 . JSTOR  2046025.
• Everest, Graham; van der Poorten, Alf ; Shparlinski, Igor; Barrio, Thomas (2003). Secuencias de recurrencia . Encuestas y monografías matemáticas. vol. 104. Providence, RI : Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 103-104. ISBN 0-8218-3387-1. Zbl  1033.11006.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Teorema de Zsigmondy". MundoMatemático .