En geometría proyectiva , el teorema de Pascal (también conocido como teorema del hexagrammum mysticum , que en latín significa hexagrama místico ) establece que si se eligen seis puntos arbitrarios en una cónica (que puede ser una elipse , una parábola o una hipérbola en un plano afín apropiado ) y se unen mediante segmentos de línea en cualquier orden para formar un hexágono , entonces los tres pares de lados opuestos del hexágono ( extendidos si es necesario) se encuentran en tres puntos que se encuentran en una línea recta, llamada línea de Pascal del hexágono. Recibe su nombre en honor a Blaise Pascal .
El teorema también es válido en el plano euclidiano , pero es necesario ajustar el enunciado para abordar los casos especiales en los que los lados opuestos son paralelos.
Este teorema es una generalización del teorema de Pappus (hexágono) , que es el caso especial de una cónica degenerada de dos líneas con tres puntos en cada línea.
El contexto más natural para el teorema de Pascal es el plano proyectivo, ya que dos líneas cualesquiera se encuentran y no es necesario hacer excepciones para las líneas paralelas. Sin embargo, el teorema sigue siendo válido en el plano euclidiano, con la interpretación correcta de lo que sucede cuando algunos lados opuestos del hexágono son paralelos.
Si exactamente un par de lados opuestos del hexágono son paralelos, entonces la conclusión del teorema es que la "línea de Pascal" determinada por los dos puntos de intersección es paralela a los lados paralelos del hexágono. Si dos pares de lados opuestos son paralelos, entonces los tres pares de lados opuestos forman pares de líneas paralelas y no hay línea de Pascal en el plano euclidiano (en este caso, la línea en el infinito del plano euclidiano extendido es la línea de Pascal del hexágono).
El teorema de Pascal es el dual recíproco y proyectivo polar del teorema de Brianchon . Fue formulado por Blaise Pascal en una nota escrita en 1639 cuando tenía 16 años y publicada al año siguiente como panfleto titulado "Ensayo para las conicas. Por BP" [1]
El teorema de Pascal es un caso especial del teorema de Cayley-Bacharach .
Un caso degenerado del teorema de Pascal (cuatro puntos) es interesante; dados los puntos ABCD en una cónica Γ , la intersección de los lados alternos, AB ∩ CD , BC ∩ DA , junto con la intersección de las tangentes en los vértices opuestos ( A , C ) y ( B , D ) son colineales en cuatro puntos; las tangentes son 'lados' degenerados, tomados en dos posibles posiciones en el 'hexágono' y la línea de Pascal correspondiente comparte cualquiera de las intersecciones degeneradas. Esto se puede demostrar independientemente utilizando una propiedad de polo-polar . Si la cónica es un círculo, entonces otro caso degenerado dice que para un triángulo, los tres puntos que aparecen como la intersección de una línea lateral con la línea lateral correspondiente del triángulo de Gergonne , son colineales.
Seis es el número mínimo de puntos en una cónica sobre el cual se pueden hacer afirmaciones especiales, ya que cinco puntos determinan una cónica .
El recíproco es el teorema de Braikenridge-Maclaurin , llamado así por los matemáticos británicos del siglo XVIII William Braikenridge y Colin Maclaurin (Mills 1984), que establece que si los tres puntos de intersección de los tres pares de líneas que pasan por lados opuestos de un hexágono se encuentran en una línea, entonces los seis vértices del hexágono se encuentran en una cónica; la cónica puede ser degenerada, como en el teorema de Pappus. [2] El teorema de Braikenridge-Maclaurin se puede aplicar en la construcción de Braikenridge-Maclaurin , que es una construcción sintética de la cónica definida por cinco puntos, variando el sexto punto.
El teorema fue generalizado por August Ferdinand Möbius en 1847, de la siguiente manera: supongamos que un polígono con 4 n + 2 lados está inscrito en una sección cónica, y los pares opuestos de lados se extienden hasta que se encuentran en 2 n + 1 puntos. Entonces, si 2 n de esos puntos se encuentran en una línea común, el último punto también estará en esa línea.
Si se dan seis puntos no ordenados en una sección cónica, se pueden conectar para formar un hexágono de 60 maneras diferentes, lo que da como resultado 60 instancias diferentes del teorema de Pascal y 60 líneas de Pascal diferentes. Esta configuración de 60 líneas se denomina Hexagrammum Mysticum . [3] [4]
Como demostró Thomas Kirkman en 1849, estas 60 líneas pueden asociarse con 60 puntos de tal manera que cada punto se encuentra sobre tres líneas y cada línea contiene tres puntos. Los 60 puntos formados de esta manera se conocen ahora como los puntos de Kirkman . [5] Las líneas de Pascal también pasan, de tres en tres, por 20 puntos de Steiner . Hay 20 líneas de Cayley que consisten en un punto de Steiner y tres puntos de Kirkman. Los puntos de Steiner también se encuentran, de cuatro en cuatro, sobre 15 líneas de Plücker . Además, las 20 líneas de Cayley pasan de cuatro en cuatro por 15 puntos conocidos como los puntos de Salmon . [6]
La nota original de Pascal [1] no tiene prueba, pero hay varias pruebas modernas del teorema.
Es suficiente demostrar el teorema cuando la cónica es un círculo, porque cualquier cónica (no degenerada) puede ser reducida a un círculo mediante una transformación proyectiva. Esto fue comprendido por Pascal, cuyo primer lema enuncia el teorema para un círculo. Su segundo lema establece que lo que es cierto en un plano sigue siendo cierto tras la proyección a otro plano. [1] Las cónicas degeneradas se siguen por continuidad (el teorema es cierto para las cónicas no degeneradas y, por lo tanto, se cumple en el límite de la cónica degenerada).
Van Yzeren (1993) encontró una breve demostración elemental del teorema de Pascal en el caso de un círculo, basándose en la demostración de (Guggenheimer 1967). Esta demostración demuestra el teorema para el círculo y luego lo generaliza para las cónicas.
Stefanovic (2010) encontró una breve prueba computacional elemental en el caso del plano proyectivo real.
También podemos inferir la prueba a partir de la existencia de un conjugado isogonal . Si queremos demostrar que X = AB ∩ DE , Y = BC ∩ EF , Z = CD ∩ FA son colineales para el concíclico ABCDEF , entonces observe que △ EYB y △ CYF son similares, y que X y Z corresponderán al conjugado isogonal si superponemos los triángulos similares. Esto significa que ∠ CYX = ∠ CYZ , por lo que XYZ es colineal.
Se puede construir una prueba corta utilizando la preservación de la razón cruzada. Proyectando la tétrada ABCE desde D sobre la línea AB , obtenemos la tétrada ABPX , y proyectando la tétrada ABCE desde F sobre la línea BC , obtenemos la tétrada QBCY . Esto significa, por tanto, que R ( AB ; PX ) = R ( QB ; CY ) , donde uno de los puntos de las dos tétradas se superpone, lo que significa que las otras líneas que conectan los otros tres pares deben coincidir para preservar la razón cruzada. Por tanto, XYZ son colineales.
Otra prueba del teorema de Pascal para un círculo utiliza repetidamente el teorema de Menelao .
Dandelin , el geómetra que descubrió las famosas esferas de Dandelin , ideó una hermosa demostración utilizando la técnica de "elevación 3D" que es análoga a la demostración 3D del teorema de Desargues . La demostración hace uso de la propiedad de que para cada sección cónica podemos encontrar un hiperboloide de una sola hoja que pasa a través de la cónica.
También existe una prueba sencilla del teorema de Pascal para un círculo usando la ley de senos y semejanza .
El teorema de Pascal tiene una prueba corta usando el teorema de Cayley-Bacharach que dice que dados 8 puntos cualesquiera en posición general, hay un único noveno punto tal que todas las cúbicas a través de las primeras 8 también pasan por el noveno punto. En particular, si 2 cúbicas generales se intersecan en 8 puntos entonces cualquier otra cúbica a través de los mismos 8 puntos se encuentra con el noveno punto de intersección de las primeras dos cúbicas. El teorema de Pascal se deduce tomando los 8 puntos como los 6 puntos en el hexágono y dos de los puntos (digamos, M y N en la figura) en la línea de Pascal potencial, y el noveno punto como el tercer punto ( P en la figura). Las primeras dos cúbicas son dos conjuntos de 3 líneas a través de los 6 puntos en el hexágono (por ejemplo, el conjunto AB, CD, EF y el conjunto BC, DE, FA ), y la tercera cúbica es la unión de la cónica y la línea MN . Aquí la "novena intersección" P no puede estar en la cónica por genericidad, y por lo tanto está en MN .
El teorema de Cayley-Bacharach también se utiliza para demostrar que la operación de grupo en curvas elípticas cúbicas es asociativa. La misma operación de grupo se puede aplicar en una cónica si elegimos un punto E en la cónica y una línea MP en el plano. La suma de A y B se obtiene encontrando primero el punto de intersección de la línea AB con MP , que es M . A continuación, A y B se suman al segundo punto de intersección de la cónica con la línea EM , que es D . Por lo tanto, si Q es el segundo punto de intersección de la cónica con la línea EN , entonces
Por tanto, la operación de grupo es asociativa. Por otra parte, el teorema de Pascal se deduce de la fórmula de asociatividad anterior y, por tanto, de la asociatividad de la operación de grupo de las curvas elípticas por vía de continuidad.
Supóngase que f es el polinomio cúbico que se desvanece en las tres líneas que pasan por AB, CD, EF y que g es el polinomio cúbico que se desvanece en las otras tres líneas BC, DE, FA . Elija un punto genérico P en la cónica y elija λ de modo que la cúbica h = f + λg se desvanezca en P. Entonces h = 0 es una cúbica que tiene 7 puntos A, B, C, D, E, F, P en común con la cónica. Pero por el teorema de Bézout, una cúbica y una cónica tienen como máximo 3 × 2 = 6 puntos en común, a menos que tengan un componente común. Por lo tanto, la cúbica h = 0 tiene un componente en común con la cónica que debe ser la cónica misma, por lo que h = 0 es la unión de la cónica y una línea. Ahora es fácil comprobar que esta línea es la línea de Pascal.
Dado nuevamente el hexágono en una cónica del teorema de Pascal con la notación anterior para los puntos (en la primera figura), tenemos [7]
Existen casos degenerados de 5, 4 y 3 puntos del teorema de Pascal. En un caso degenerado, dos puntos de la figura previamente conectados coincidirán formalmente y la línea de conexión se convierte en la tangente en el punto fusionado. Véanse los casos degenerados que se dan en el esquema adicional y el enlace externo sobre geometrías circulares . Si se eligen líneas adecuadas de las figuras de Pascal como líneas en el infinito, se obtienen muchas figuras interesantes sobre parábolas e hipérbolas .
