Teorema de aproximación de Dirichlet

Cualquier número real tiene una secuencia de buenas aproximaciones racionales.

En teoría de números , el teorema de Dirichlet sobre aproximación diofántica , también llamado teorema de aproximación de Dirichlet , establece que para cualquier número real y , con , existen números enteros y tales que y ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 1\leq N}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle 1\leq q\leq N}$

${\displaystyle \left|q\alpha -p\right|\leq {\frac {1}{\lfloor N\rfloor +1}}<{\frac {1}{N}}.}$

Aquí se representa la parte entera de . Este es un resultado fundamental en la aproximación diofántica , que muestra que cualquier número real tiene una secuencia de buenas aproximaciones racionales: de hecho, una consecuencia inmediata es que para un α irracional dado, la desigualdad ${\displaystyle \lfloor N\rfloor }$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle 0<\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}}$

se satisface con una infinidad de números enteros p y q . Esto demuestra que cualquier número irracional tiene una medida de irracionalidad de al menos 2.

El teorema de Thue-Siegel-Roth dice que, para los números irracionales algebraicos, el exponente de 2 en el corolario del teorema de aproximación de Dirichlet es lo mejor que podemos hacer: dichos números no pueden aproximarse mediante ningún exponente mayor que 2. El teorema de Thue-Siegel-Roth utiliza técnicas avanzadas de teoría de números, pero se puede verificar mucho más fácilmente que muchos números más simples, como la proporción áurea, son inaproximables más allá del exponente 2. ${\displaystyle (1+{\sqrt {5}})/2}$

Versión simultánea

La versión simultánea del teorema de aproximación de Dirichlet establece que dados números reales y un número natural , existen números enteros tales que ^[1] ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{d},q\in \mathbb {Z} ,1\leq q\leq N^{d}}$ ${\displaystyle \left|\alpha _{i}-{\frac {p_{i}}{q}}\right|\leq {\frac {1}{qN}}.}$

Método de prueba

Prueba por el principio del palomar

Este teorema es una consecuencia del principio del palomar . Peter Gustav Lejeune Dirichlet, que demostró el resultado, utilizó el mismo principio en otros contextos (por ejemplo, la ecuación de Pell ) y al nombrar el principio (en alemán) popularizó su uso, aunque su estatus en términos de libros de texto llegó más tarde. ^[2] El método se extiende a la aproximación simultánea. ^[3]

Esquema de la demostración : Sea un número irracional y un entero. Para cada podemos escribir de manera que sea un entero y . Se puede dividir el intervalo en intervalos más pequeños de medida . Ahora, tenemos números e intervalos. Por lo tanto, por el principio del palomar, al menos dos de ellos están en el mismo intervalo. Podemos llamarlos de manera que . Ahora: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k=0,1,...,N}$ ${\displaystyle k\alpha =m_{k}+x_{k}}$ ${\displaystyle m_{k}}$ ${\displaystyle 0\leq x_{k}<1}$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\frac {1}{N}}}$ ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle x_{0},x_{1},...,x_{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{i},x_{j}}$ ${\displaystyle i<j}$

${\displaystyle |(j-i)\alpha -(m_{j}-m_{i})|=|j\alpha -m_{j}-(i\alpha -m_{i})|=|x_{j}-x_{i}|<{\frac {1}{N}}}$

Dividir ambos lados por dará como resultado: ${\displaystyle j-i}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {m_{j}-m_{i}}{j-i}}\right|<{\frac {1}{(j-i)N}}\leq {\frac {1}{\left(j-i\right)^{2}}}}$

Y demostramos el teorema.

Demostración mediante el teorema de Minkowski

Otra prueba sencilla del teorema de aproximación de Dirichlet se basa en el teorema de Minkowski aplicado al conjunto

${\displaystyle S=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:-N-{\frac {1}{2}}\leq x\leq N+{\frac {1}{2}},\vert \alpha x-y\vert \leq {\frac {1}{N}}\right\}.}$

Como el volumen de es mayor que , el teorema de Minkowski establece la existencia de un punto no trivial con coordenadas integrales. Esta demostración se extiende naturalmente a aproximaciones simultáneas considerando el conjunto ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 4}$

${\displaystyle S=\left\{(x,y_{1},\dots ,y_{d})\in \mathbb {R} ^{1+d}:-N-{\frac {1}{2}}\leq x\leq N+{\frac {1}{2}},|\alpha _{i}x-y_{i}|\leq {\frac {1}{N^{1/d}}}\right\}.}$

Teoremas relacionados

Teorema de Legendre sobre fracciones continuas

En su Ensayo sobre la teoría de los nombres (1798), Adrien-Marie Legendre deduce una condición necesaria y suficiente para que un número racional sea convergente de la fracción continua de un número real dado. ^[4] Una consecuencia de este criterio, a menudo llamado teorema de Legendre dentro del estudio de las fracciones continuas, es la siguiente: ^[5]

Teorema . Si α es un número real y p , q son números enteros positivos tales que , entonces p / q es un convergente de la fracción continua de α . ${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{2q^{2}}}}$

Este teorema constituye la base del ataque de Wiener , una explotación en tiempo polinomial del protocolo criptográfico RSA que puede ocurrir por una elección imprudente de claves públicas y privadas (específicamente, este ataque tiene éxito si los factores primos de la clave pública n = pq satisfacen p < q < 2 p y la clave privada d es menor que (1/3) n ^1/4 ). ^[7]

Véase también

• Teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas
• Teorema de Hurwitz (teoría de números)
• Conjunto de Heilbronn
• Teorema de Kronecker (generalización del teorema de Dirichlet)

Notas

1. Schmidt, página 27 Teorema 1A
2. http://jeff560.tripod.com/p.html para una serie de referencias históricas.
3. "Teorema de Dirichlet", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
4. Legendre, Adrien-Marie (1798). Essai sur la théorie des nombres (en francés). París: Duprat. págs. 27-29.
5. Barbolosi, Dominique; Jäger, Hendrik (1994). "Sobre un teorema de Legendre en la teoría de fracciones continuas". Journal de Théorie des Nombres de Burdeos . 6 (1): 81–94 - vía JSTOR.
6. Hardy, GH ; Wright, EM (1938). Introducción a la teoría de números . Londres: Oxford University Press . págs. 140–141, 153.
7. Wiener, Michael J. (1990). "Criptoanálisis de exponentes secretos RSA cortos". IEEE Transactions on Information Theory . 36 (3): 553–558 – vía IEEE.

Referencias

• Schmidt, Wolfgang M (1980). Aproximación diofántica . Apuntes de clase de matemáticas. Vol. 785. Springer. doi :10.1007/978-3-540-38645-2. ISBN. 978-3-540-38645-2.
• Schmidt, Wolfgang M. (1991). Aproximaciones diofánticas y ecuaciones diofánticas . Serie de libros Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1467. Springer. doi :10.1007/BFb0098246. ISBN 978-3-540-47374-9.S2CID118143570  .​

Enlaces externos

• Teorema de aproximación de Dirichlet en PlanetMath .